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出版者:Addison Wesley

作者:Margaret L. Lial

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2004-06-17

价格:USD 33.33

装帧:Paperback

isbn号码:9780321228277

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微积分
• 有限数学
• 解题手册
• 学生用书
• 高等教育
• 大学教材
• 学习指南
• 数学应用
• 问题解答

《高等代数与线性代数：理论基础与应用探析》 图书简介 本书旨在为读者提供一套全面、深入且具有实践指导意义的高等代数和线性代数知识体系。它并非仅仅是数学公式和定理的堆砌，更是一部引导学习者理解抽象概念、掌握计算技巧并将其应用于实际问题的工具书与参考手册。本书的编写遵循了从基础概念到复杂理论的逻辑递进原则，力求在严谨的数学表达与清晰的教学阐释之间取得完美的平衡。 第一部分：代数结构的基础构建 (Foundations of Algebraic Structures) 本部分聚焦于代数思维的建立，是后续所有高等数学和工程应用的基础。 第一章：数系扩展与群论初探 (Extension of Number Systems and Introduction to Group Theory) 本章首先回顾了实数系统（$mathbb{R}$）的完备性，并系统介绍了复数（$mathbb{C}$）的代数与几何表示。重点在于复数的乘法、除法运算的几何意义，以及欧拉公式（$e^{i heta} = cos heta + isin heta$）的推导及其在三角函数简化中的应用。随后，我们将视角提升至抽象代数领域，引出代数结构的概念——集合与运算的配对。我们详细阐述了群 (Group) 的四大公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并提供了丰富的实例，包括整数对加法构成的群、非零复数对乘法构成的群（单位群 $mathbb{C}^$）、以及对称群 ($S_n$) 的初步介绍，特别是 $S_3$ 的 Cayley 表。通过这些具体的例子，读者将建立对“抽象性”的直观感受。 第二章：环与域的深入研究 (In-Depth Study of Rings and Fields) 在群论的基础上，本章引入了第二种重要的代数结构——环 (Ring)。我们定义了具有单位元的交换环，并详述了子环、理想（Ideals）的概念，特别是主理想（Principal Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）的性质及其与素性（Primeness）的关系。随后，我们深入探讨域 (Field) 的概念，它是满足除法运算的特殊环，如 $mathbb{Q}$ (有理数域)、$mathbb{R}$ (实数域) 和 $mathbb{C}$ (复数域)。本章的亮点在于对多项式环 $F[x]$ 的深入分析，包括多项式带余除法、最大公约式（GCD）的欧几里得算法，以及不可约多项式（Irreducible Polynomials）在域扩张中的作用。我们将解释如何构造有限域（Galois Fields）的基础，为密码学和编码理论打下理论基石。 第二部分：线性代数的核心理论 (Core Theory of Linear Algebra) 本部分是本书的重点，完全聚焦于向量空间、线性映射以及矩阵理论。 第三章：向量空间与线性组合 (Vector Spaces and Linear Combinations) 本章从最直观的几何空间（如 $mathbb{R}^2, mathbb{R}^3$）出发，逐步推广到抽象的向量空间 (Vector Space) 定义及其八条公理。我们详细区分了向量空间、子空间（Subspace）的定义与判定。线性组合、生成集 (Spanning Set) 的概念被系统地引入。线性相关性与线性无关性的判定方法（基于行列式或矩阵秩）被清晰阐述。本章的精髓在于基 (Basis) 和维数 (Dimension) 的理论：基是“最简生成集”，维数是生成该空间所需的最小向量个数。我们将证明任何有限维向量空间都存在基，并探讨了基变换对坐标表示的影响。 第四章：线性变换与矩阵表示 (Linear Transformations and Matrix Representation) 本章将代数运算与几何映射联系起来。线性变换 (Linear Transformation) 被定义为保持向量加法和标量乘法的函数。我们深入分析线性变换的四个基本属性：核 (Kernel)（零空间）和像 (Image)（值域）。秩-零化度定理 ($ ext{rank}(T) + ext{nullity}(T) = dim(V)$) 被严格证明并应用于问题求解。最关键的部分是矩阵表示：如何根据选定的基，将抽象的线性变换表示为具体的矩阵。我们详细探讨了相似变换 (Similarity Transformation) 的概念，即改变基如何影响矩阵的表示，但保持了线性变换的内在本质。 第五章：矩阵代数、行列式与可逆性 (Matrix Algebra, Determinants, and Invertibility) 本章回顾并深化了矩阵的代数运算，包括矩阵乘法的非交换性、矩阵的转置与迹。行列式 (Determinant) 的定义（通过代数余子式或拉普拉斯展开）及其关键性质（如 $det(AB) = det(A)det(B)$）被详细阐述。行列式被用作判定矩阵可逆性的核心工具，并与线性方程组的解的唯一性直接关联。本章还包含了初等行变换 (Elementary Row Operations) 在求解线性系统（高斯消元法）和计算矩阵逆（伴随矩阵法）中的应用。 第三部分：特征值、对角化与应用 (Eigenvalues, Diagonalization, and Applications) 本部分探讨了线性代数中最重要的概念之一——特征分析，并将其应用于微分方程和二次型。 第六章：特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors) 本章的核心是特征值 (Eigenvalues) $lambda$ 和特征向量 (Eigenvectors) $mathbf{v}$ 的概念，它们满足 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。我们详细介绍了如何通过求解特征多项式 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到它们。本章还探讨了不同矩阵（如对称矩阵、三角矩阵）的特征值的性质，并引入了代数重数 (Algebraic Multiplicity) 和几何重数 (Geometric Multiplicity) 的概念，以及它们之间的关系。 第七章：矩阵对角化与谱理论 (Matrix Diagonalization and Spectral Theory) 对角化 (Diagonalization) 是本章的重中之重。我们提出了可对角化的充要条件：矩阵必须拥有一组完整的线性无关的特征向量。我们提供了具体的步骤，教导读者如何找到相似对角矩阵 $D$ 及其变换矩阵 $P$ ($A = PDP^{-1}$)。对角化在计算矩阵的高次幂 ($A^k$) 和求解线性常微分方程组（如 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$）中展现出强大的威力。对于实对称矩阵，我们引入了谱定理 (Spectral Theorem)，证明了它们总能被正交对角化，这在傅里叶分析和主成分分析 (PCA) 中至关重要。 第八章：内积空间与正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本章将维度提升至更一般的内积空间。我们定义了内积 (Inner Product) 及其衍生出的长度（范数）和角度概念。在 $mathbb{R}^n$ 中，我们着重于正交 (Orthogonality) 关系。施密特正交化过程 (Gram-Schmidt Process) 被详细展示，用于将任意一组基转化为一组正交基。随后，我们讨论了正交投影 (Orthogonal Projection) 在寻找向量空间中“最佳近似解”方面的应用，这直接连接到最小二乘法 (Least Squares Method)，是解决超定线性系统问题的标准方法。 第九章：二次型与主轴定理 (Quadratic Forms and the Principal Axes Theorem) 本章讨论了与二次方程相关的应用。二次型 (Quadratic Form) $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 被引入，其中 $A$ 是一个实对称矩阵。通过利用第七章中的谱理论，我们阐述了主轴定理 (Principal Axes Theorem)：任何二次型都可以通过正交变换（旋转坐标轴）化简为只含平方项的形式，即对角化。这在识别圆锥曲线（如椭圆、双曲线）的几何形状和分析多变量函数的极值点时具有不可替代的作用。 本书力求通过清晰的定理证明、详尽的示例分析和适当的练习题（不在此简介中列出），使读者不仅能“做”数学，更能“理解”数学背后的深刻结构和普适性。

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说实话，我对这类“学生解答手册”通常抱有很高的期望，因为它们往往是连接理论和实践的桥梁。然而，这本《学生解答手册》的表现远超我的预期，它不仅仅是提供了答案，更重要的是它构建了一种解决问题的思维框架。我通常会在自己独立解完题之后，再对照这本书的解法，看看有没有遗漏或者更优雅的解题路径。这本书的排版设计非常人性化，重点和难点都用不同的颜色或字体进行了标注，使得在快速浏览和深入研究之间可以灵活切换。举个例子，在讲解概率论中条件概率的计算时，书里不仅给出了标准的贝叶斯定理应用，还穿插了大量的实际生活场景模拟，比如医疗诊断、股票预测等，这让抽象的概率概念立刻变得鲜活起来。我发现，通过模仿它在解题步骤中的“自问自答”式的逻辑梳理，我自己的解题思路也变得更加严谨和系统化了。对于那些想在期末考试中拿到高分的同学来说，这本书无疑是一剂强心针，但更重要的是，它培养的是一种面对未知数学问题时不慌乱的能力。

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作为一名对数学应用领域充满热情的学生，我发现这本书在连接理论与实际应用方面做得尤为出色。有限数学的很多内容，比如马尔可夫链或者博弈论，如果只停留在纯粹的数学推导上，很容易让人觉得空泛无力。然而，这本书通过大量的真实案例——从生态系统的人口变动模型到经济学中的策略决策分析——成功地将抽象的数学概念锚定在了具体的现实场景中。它不仅提供了详细的解题步骤，更重要的是，它教会了我们如何解读最终的数学结果，用数学语言去解释现实世界中发生的现象。这种“翻译”能力是学习任何应用型学科的关键。我特别欣赏它在处理大型系统建模时的结构化思路，它将一个庞大复杂的问题分解成一系列可管理的子问题，每一步都清晰地展示了如何运用已学的有限数学工具来解决它们。这本书真正做到了“授人以渔”，它不是在喂养答案，而是在搭建通往独立思考和解决复杂实际问题的坚实阶梯。

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这本书的价值体现，尤其是在处理那些被主流教材一笔带过的边角知识点时。我发现很多时候，考试的陷阱往往藏在那些看似不重要的细节里，而这本书恰恰把这些细节挖掘了出来。它似乎比教材更了解教授们喜欢在试卷上出什么样“刁钻”的题目。比如，在关于矩阵求逆的部分，它特意增加了一节关于数值稳定性的讨论，虽然这在基础课程中很少被提及，但对于未来想进行更深层次学习的人来说，这个铺垫至关重要。而且，它对不同解法之间的优劣比较也分析得非常到位，不会盲目推荐某一种方法，而是会根据问题的具体条件，给出最有效率的策略。这种“知其然，更知其所以然”的讲解模式，使得我不仅仅满足于得到一个正确的答案，而是开始追求解题的效率和美感。可以说，这本书是那种会让你反复翻阅、每次都有新发现的工具书，而不是那种看完一遍就束之高阁的读物。

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这本书简直是为我量身定做的，尤其是对于那些初次接触有限数学感到无从下手的人来说。我记得我刚开始学这门课的时候，概念理解起来总是磕磕绊绊的，书本上的例题讲解得太简略，让我对着公式发懵。但是有了这本书，感觉就像是拥有了一个全天候的私人导师。它对每一个定理和公式的推导过程都解释得极其透彻，从最基本的集合论到后期的线性规划，每一步的逻辑衔接都清晰可见。特别是那些复杂的应用题，这本书并没有直接给出最终答案，而是像剥洋葱一样，层层深入地展示了如何将实际问题转化为数学模型，再逐步求解的过程。我特别喜欢它在每章末尾设置的“思维拓展”部分，它不仅仅是简单的习题，更像是一种对概念深层次的探讨，引导我去思考为什么这么做，而不是死记硬背公式。对于那些希望真正吃透有限数学精髓，而不仅仅是应付考试的人，这本书绝对是宝藏级别的参考资料，它的深度和广度都远超我之前使用的任何教材配套资料。

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我必须承认，我在微积分和线性代数方面一直比较吃力，所以当学习有限数学时，我内心是有点抗拒的，总觉得里面会充斥着那些我看不懂的矩阵运算和优化问题。但这本书成功地消除了我的恐惧感。它的叙述风格非常接地气，用词准确但又不失亲和力，完全没有那种高高在上的学术腔调。它的厉害之处在于，它能把最枯燥的代数运算和最复杂的应用背景完美地融合在一起。比如在处理线性规划问题时，它没有直接跳到单纯形法的复杂步骤，而是先用图形法直观地展示出可行域和目标函数的移动，让你先建立起“最优解存在于顶点”的概念认知。这种循序渐进、先直观后抽象的教学设计，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。我感觉自己不是在啃一本厚厚的参考书，而是在和一个经验丰富的数学助教进行一对一的辅导，他总能在你快要放弃的时候，用最简单清晰的方式点拨你找到正确的方向。

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