Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Paul H. Rabinowitz

出品人:

页数:100

译者:

出版时间:1986-7-1

价格:USD 25.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821807156

丛书系列:Conference Board of the Mathematical Sciences

图书标签:

• Minimax Theory
• Critical Point Theory
• Differential Equations
• Variational Methods
• Topology
• Functional Analysis
• Nonlinear Analysis
• Optimization
• Mathematical Analysis
• Partial Differential Equations

《极值点理论中的Minimax方法及其在微分方程中的应用》 本书深入探讨了极值点理论中的核心工具——Minimax方法，并聚焦于其在解决各类微分方程问题中的强大应用。全书结构严谨，内容翔实，旨在为读者提供一个系统且深入的学习体验。 第一部分：Minimax方法的理论基础 本部分将奠定理解Minimax方法所需的核心数学框架。首先，我们将从拓扑学的基本概念出发，引入同调论和同伦论的工具，特别是奇异同调、胞腔同调以及同伦群等，这些概念将为后续的Minimax构造提供必要的语言和工具。 随后，我们将详细介绍Lusternik-Schnirelmann范畴、cl(A)范畴等与极值点理论密切相关的拓扑不变量，并阐述它们在刻画空间中“孔洞”或“连通性”方面的作用。这是理解Minimax方法如何从几何和拓扑角度寻找临界点的关键。 核心内容将围绕各种Minimax构造展开。我们将详细介绍一些经典的Minimax泛函，例如Lyusternik-Schnirelmann泛函、Ekeland的变分原理，以及更一般化的Ricceri条件下的Minimax构造。每一个构造都将通过清晰的定义、严格的证明以及对构造过程的直观解释来呈现，确保读者不仅能理解“是什么”，更能明白“为什么”。 此外，我们还将探讨Minimax方法的稳定性、收敛性以及在非光滑情形下的推广，例如通过凸分析和次梯度理论来处理非光滑能量泛函。这部分内容将涉及更高级的分析技术，为处理更复杂的数学模型打下基础。 第二部分：Minimax方法在微分方程中的应用 本部分将把理论付诸实践，详细展示Minimax方法在解决各类重要微分方程问题中的具体应用。我们关注的重点是利用Minimax方法来寻找微分方程的解，特别是那些传统方法难以捕捉的非平凡解，如孤立波解、周期解、共振解以及多解情形。 1. 拟线性椭圆型方程： 我们将从一类典型的拟线性椭圆型方程出发，例如： $$- ext{div}(A(x, abla u)) + B(x, u) = f(x, u)$$ 其中 $A$ 和 $B$ 具有适当的单调性和增长条件。我们将展示如何构建相应的能量泛函，并利用Minimax方法（如Lyusternik-Schnirelmann泛函或更高级的Minimax方法）来证明该方程在 Sobolev 空间中存在非平凡解。我们将深入分析不同Minimax构造与方程解的存在性、多重性以及性质之间的联系。 2. 拟线性抛物型方程： 对于拟线性抛物型方程，如： $$partial_t u - ext{div}(A(x, abla u)) + B(x, u) = f(x, u)$$ 我们将探讨如何将其转化为无限维Banach空间中的时间演化问题，并利用Minimax方法结合时间演化方程的特殊结构，来寻找其稳态解或吸引子。 3. 拟线性双曲型方程： 对于涉及拟线性波方程的问题，例如： $$partial_{tt} u - ext{div}(A(x, abla u)) + B(x, u) = f(x, u)$$ 我们将研究如何利用Minimax方法来寻找其不同类型的解，包括局域化解、周期解以及与空间区域相关的解。 4. 其他重要方程类型： 本书还将涵盖Minimax方法在其他重要方程类型中的应用，例如： Hamiltonian系统： 在保积空间中寻找周期轨道和孤立波。 非线性薛定谔方程（NLS）： 寻找孤立波解，并讨论其稳定性。 杨-米尔斯方程： 在规范场论中寻找经典解。 非线性波浪方程： 在流体力学等领域寻找解。 在每一个具体的应用场景中，我们都将： 清晰地建立数学模型： 将具体的物理或工程问题转化为数学方程。 构造相应的能量泛函： 详细说明如何从方程出发，构建出具有良好性质的能量泛函。 选择并应用合适的Minimax构造： 根据泛函的性质和期望的解的类型，选择最适宜的Minimax方法，并进行详细的构造和证明。 分析解的性质： 探讨所得解的存在性、唯一性、多重性、光滑性以及它们在原问题中的物理意义。 讨论方法的局限性和未来发展： 展望Minimax方法在解决更广泛或更复杂问题中的潜力。 本书的写作风格注重数学的严谨性和逻辑的连贯性，同时力求表达清晰易懂。我们假设读者具备一定的泛函分析、偏微分方程和基础拓扑学知识。本书既可以作为研究生或高年级本科生的教材，也可以作为研究人员的参考书，帮助他们掌握并应用Minimax方法来解决具有挑战性的数学问题。 通过对Minimax理论的深入学习和对其在微分方程应用中的广泛展示，本书旨在培养读者运用现代数学工具分析和解决复杂问题的能力。

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坦白说，这本书的阅读门槛是相当高的，它要求读者对泛函分析和变分法有一定的预备知识。然而，对于那些准备好迎接挑战的人来说，它提供的知识深度和广度是无可替代的。我特别关注到其中关于稳定性和非线性波动方程解的构造部分，作者似乎在暗示，许多看似随机或混沌的现象，其实都可以通过在特定的能量流形上寻找稳态（即临界点）来得到某种程度的解释和预测。这种将微积分的极值思想提升到整个动力学和结构稳定性的哲学高度的尝试，是这本书最让我心驰神往的地方。它不仅仅是一本工具书，更像是一本关于“寻找平衡与突破”的数学哲学论述，通过严密的逻辑和无可辩驳的证明，展示了 Minimax 思想在构建复杂数学模型中的核心地位。读完它，你可能会对“最优”和“最坏”的边界有了更深刻的敬畏之心。

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这部书的名字听起来就充满了数学的魅力和严谨性，它似乎在向我们展示一个宏大而深刻的数学图景。作为一名对理论物理和应用数学有着浓厚兴趣的读者，我一直致力于寻找那些能将抽象概念与实际问题紧密结合的作品。这本书的标题本身就暗示了它将深入探讨极值原理在临界点理论中的应用，这无疑是现代数学分析领域中一个非常核心且富有挑战性的方向。我期待着它能清晰地阐述 Minimax 方法的精髓，不仅仅是给出公式和证明，更重要的是，能够展示这种方法是如何在处理涉及非线性、高维空间中的稳定性和不稳定性问题时发挥关键作用的。我希望作者能够用一种既能满足专业研究人员的深度要求，又能引导初学者理解其核心思想的方式来构建内容，特别是在与微分方程的结合部分，我非常期待看到那些经典的、以及最新的应用实例，例如在变分法、椭圆型方程解的存在性与多重性证明中，这些方法是如何被巧妙地应用的。这本书如果能成功地架起纯粹的理论与实际工程应用之间的桥梁，那将是一部里程碑式的著作。

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对于那些致力于非线性偏微分方程研究的人来说，这本书无疑提供了一个不可或缺的工具箱。我注意到作者在介绍 Minimax 原理时，采用了非常系统化的分类和对比手法，将不同的变分框架下的极小-极大策略梳理得井井有条。这对于理解复杂系统中的多解现象至关重要。我个人在处理某些能量泛函的鞍点问题时常常感到力不从心，而这本书似乎预见到了这些难点，并提供了克服它们的具体路线图。它的严谨性体现在对诸如山路引理、清源定理等关键工具的细致打磨上，没有留下任何模糊地带。更令人印象深刻的是，它在阐述这些抽象概念时，穿插了一些非常巧妙的几何直觉的辅助，这极大地降低了纯分析的枯燥感。总而言之，这本书不是一本能让你“快速上手”的书，它要求读者投入时间去消化和领悟其深层结构，但回报是巨大的——它将为你打开理解非线性问题的全新视角。

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初次翻开这本厚重的著作，我立刻被其排版和内容的广度所吸引。虽然我不是专精于临界点理论的数学家，但我对它在描述自然界中稳定态和不确定性转换点方面的潜力深感兴趣。这本书的行文风格非常冷静、客观，充满了数学家特有的精准和对逻辑链条的极致追求。它似乎在告诫读者，要理解这些“临界点”的本质，就必须掌握 Minimax 原则背后的深刻洞察力，这不仅仅是一种计算技巧，更是一种思维范式。我特别留意了它在处理边界条件和拓扑结构对解的影响时所采用的论证方式，那种层层递进、环环相扣的结构，让人在阅读时有一种“抽丝剥茧”的快感。如果说许多教科书只是展示了“是什么”，那么这本书似乎在深入挖掘“为什么是这样”，它强迫读者去思考那些在看似微小变动下可能引发的巨大系统性后果。这种对基础原理的扎实把握，是任何想在相关领域有所建树的人都不可或缺的基石。

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这本书给我的整体感受是，它就像一本精心雕琢的艺术品，每一页都凝聚了作者对数学生命的热爱和不懈的探索精神。它的叙事节奏非常缓慢而庄重，仿佛在引领读者穿越一片充满未解之谜的数学丛林。我尤其欣赏它在理论发展历史脉络上的把握，使得读者不仅能学习到如何运用 Minimax 方法，还能理解这些方法的诞生背景及其演进方向。在涉及微分方程的应用章节中，作者并没有停留在肤浅的引用层面，而是深入到具体的算子性质、函数空间的选择，以及如何构造出恰当的泛函空间，使得极小-极大策略能够有效施加于其上。这种对细节的关注，正是区别于一般应用导向型教材的关键所在。它鼓励的是一种批判性的阅读，去质疑每一个假设，去审视每一步推导的必要性，从而真正内化这些高级的分析技巧。

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其實寫的挺讓人難以接受的，而且Rabinowitz特有的命題公式混著編號的方式讓人抓狂。

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