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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:Raymond A. Barnett

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-01-01

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780072916997

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Trigonometry
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
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• Algebra

《高等代数与三角函数：基础与应用》 简介 《高等代数与三角函数：基础与应用》是一本专为初级和中级数学学习者设计的综合性教材，旨在系统、深入地阐述高等代数（包括线性代数基础）和三角函数的关键概念、理论及其在自然科学、工程技术和社会科学中的实际应用。本书着重于培养读者的逻辑思维能力、抽象推理能力和解决复杂问题的能力，为后续的微积分、微分方程以及更高级的数学课程打下坚实的基础。 全书内容覆盖广泛，结构清晰，兼顾理论的严谨性与应用的直观性。我们深知数学学习的困难所在，因此本书在概念的引入上力求循序渐进，通过大量的例题和精心设计的练习题，确保学习者能够真正掌握知识点，而非仅仅停留在记忆层面。 第一部分：高等代数基础 (Algebra Foundations) 本部分聚焦于代数结构的核心要素，为理解更复杂的数学模型奠定基础。 第一章：实数系统与复数 本章从实数系统的基本性质（如完备性、有序性）出发，回顾了不等式、绝对值和函数的基本概念。重点在于复数的引入，包括复平面的几何意义、代数运算（加减乘除、乘方与开方）以及复数的极坐标形式和欧拉公式。我们将探讨复数在电路分析和信号处理中的初步应用，阐释其作为二维向量空间的直观理解。 第二章：多项式函数与有理函数 详细讨论一元多项式的代数结构，包括多项式的加减乘除运算、带余除法、因式定理和余子式定理。拉格朗日插值法和牛顿插值法被引入，用以估计函数值。对于有理函数，本章深入剖析了多项式的长除法、渐近线（垂直、水平、斜渐近线）的确定，以及有理函数的图像绘制技巧，强调了函数的性质分析在工程建模中的重要性。 第三章：方程与不等式求解 本章涵盖了线性方程组的求解，从二元、三元线性方程组开始，系统地引入了求解方法，如代入消元法和高斯消元法。重点在于非线性方程（如二次、三次方程）的求解公式及其限制。不等式的求解部分不仅包括基本的绝对值不等式，还包括涉及分式和根式的复杂不等式，并展示了这些工具在资源分配和优化问题中的应用。 第四章：指数与对数函数 指数函数的定义、性质及其增长率的比较是本章的核心。自然指数函数 $e^x$ 的定义及其在描述自然增长和衰减现象中的关键作用被详细阐述。对数函数的引入遵循了其作为指数函数的反函数的定义，讨论了换底公式和对数在尺度转换（如pH值、分贝）中的实际意义。 第二部分：线性代数入门 (Introduction to Linear Algebra) 本部分为后续的多元微积分和线性系统分析做准备，侧重于矩阵运算和向量空间的基础概念。 第五章：矩阵代数 矩阵被定义为描述线性变换和数据集合的工具。本章详细介绍了矩阵的加法、数乘、矩阵乘法（强调其非交换性），以及矩阵的转置和迹。矩阵的逆的定义、性质以及求解逆矩阵的方法（如伴随矩阵法）被透彻讲解。矩阵在图像变换和密码学中的简单应用将被提及。 第六章：行列式与线性方程组 行列式的定义（通过代数余子式或黎曼和）被严格推导，并探讨其几何意义（如线性变换的体积或面积缩放因子）。克莱姆法则（Cramer's Rule）被用作求解小规模线性方程组的替代方法。本章的核心在于将线性方程组表示为矩阵形式 $AX=B$，并利用初等行变换（高斯-约旦消元法）系统地分析解的存在性与唯一性。 第七章：向量空间基础 向量被提升到更抽象的层面，定义为满足特定代数结构（加法、数乘）的对象。本章引入了线性组合、线性相关性与线性无关性的概念。子空间、生成集、基（Basis）和维数（Dimension）被精确定义，这些概念是理解高维空间结构的基础。特征值与特征向量的初步概念将在本章末尾被引入，作为系统动力学分析的铺垫。 第三部分：三角函数与解析几何 (Trigonometry and Analytic Geometry) 本部分将代数工具与几何直观相结合，深入研究周期性函数。 第八章：角度、弧度和三角函数 角度的度量单位（度与弧度）的转换是本章的起点。三角函数的六个基本定义（SOH CAH TOA）在直角三角形中建立，随后扩展到任意角和单位圆上的定义，强调了周期性和奇偶性。本章还包括三角函数值的求解，以及三角函数的图像绘制，特别关注周期、振幅、相位平移和垂直位移对图像的影响。 第九章：三角恒等式与方程 本章是解决三角函数问题的关键。九大基本恒等式（包括倒数关系、商数关系、毕达哥拉斯恒等式）将被证明。和差角公式、二倍角公式和半角公式的推导和应用是重点。利用这些恒等式求解复杂的三角方程，以及使用反三角函数的定义和性质，将被详尽展示。 第十章：解三角形与应用 本章专注于在非直角三角形中应用正弦定理（Law of Sines）和余弦定理（Law of Cosourines）来求解边长和角度。本章提供了大量关于导航、测量学和物理学中向量分解的实际问题，展示了三角函数在空间定位和力学分析中的实际价值。 第十一章：平面解析几何回顾与扩展 对笛卡尔坐标系下的直线方程、距离公式、斜率等基础知识进行系统回顾。重点扩展到圆锥曲线——抛物线、椭圆和双曲线的参数方程、标准方程以及一般二次方程的识别与平移/旋转变换。如何利用代数方程来描述和分析几何形状，是本章的核心训练。 --- 教学特色与目标读者 本书的结构旨在提供一个从具体到抽象、从代数到几何的完整学习路径。每个章节末尾都附有“概念检验”小节，用于快速巩固新学的定义和定理；“深入探究”部分则包含了一些需要更高层次思维的开放性问题，鼓励学生探索数学的更深层次联系。 目标读者包括： 社区大学或学院中的代数与三角函数课程学生、准备参加标准化考试（如GRE、GMAT的高级数学部分）的考生，以及需要快速复习和强化基础数学工具的工程、经济学预备生。本书的广度和深度确保了它不仅是一门入门课的教材，也是一本优秀的个人参考手册。通过本书的学习，读者将能够自信地迎接微积分的挑战，并能将所学数学语言准确地应用于实际问题建模中。

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这本书，说实话，买之前我还是挺忐忑的。毕竟“代数与三角函数”这个组合听起来就让人头大，我之前对这两块的内容就有点怵。但拿到书后，第一感觉是它排版很舒服，不像那种老旧的教科书，黑白灰一片死板。色彩搭配和图表的清晰度确实不错，这对于理解那些抽象的概念至关重要。我记得第一次翻到关于圆锥曲线的部分时，那些3D图像展示得非常直观，而不是那种生硬的公式堆砌。作者在引入新概念时，总会先用一些生活化的例子来铺垫，比如讲到函数的时候，会提到水箱水位变化这样的场景，这一下子就拉近了距离感。而且，书里的例题数量很可观，从基础巩固到稍微有点挑战性的应用题，梯度设置得相当合理。我特别喜欢它在每一章节末尾设置的“概念回顾”和“自我测试”环节，它们不是简单的题目列表，而是会引导你思考知识点之间的内在联系。比如，在讲完三角恒等变换后，它会让你用代数的方法去证明某个几何结论，这种跨领域的联系感，让人觉得学到的不仅仅是孤立的知识点，而是解决问题的工具箱。总的来说，这本书在视觉呈现和基础概念的引入方面做得非常出色，让人在学习枯燥的数学时，不至于感到那么痛苦。

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从工具书的角度来看待这本书，它的参考价值也相当高。它的附录部分内容非常扎实，涵盖了从基础的代数运算规则到高级的三角函数表格，应有尽有。但最让我惊喜的是它在最后几页提供的“历史背景”和“数学家简介”。这些内容虽然不直接参与考试，但它们极大地丰富了我对数学这门学科的整体认知。了解欧拉、高斯等人在发展这些概念时所经历的挣扎和突破，能让人对这些公式产生一种敬畏感和亲近感。这使得学习过程不再是冷冰冰的符号操作，而是有温度的人类智慧结晶的传承。另外，这本书的索引系统做得非常人性化，当我忘记某个特定定理的具体表述时，可以通过关键词快速定位到相关的章节和页码，而且交叉引用做得非常清晰，指明了相关概念在其他章节的对应之处。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，更像是一个陪伴我度过整个大学初级数学阶段的、详尽而可靠的工具箱和背景资料库。它在深度、广度以及学习体验上，都达到了一个非常高的水准。

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这本书的难度曲线非常平缓，这点值得称赞。我过去看过的很多教材，往往在前几章还算友好，但一到关键的、需要深度思考的部分，难度就会像坐过山车一样突然飙升，让人措手不及。然而，这本教材的过渡处理得极为细腻。比如，在处理到复数这一章时，作者并没有急着抛出复杂的复平面运算，而是先花了好几章的篇幅，通过几何意义的不断深化，将代数的运算与平面几何的旋转、缩放这些概念紧密结合起来。我印象最深的是它讲解“向量”的部分，它没有像其他书那样直接定义运算规则，而是先用大量的二维和三维空间中的力学模型来引导读者自己去“发现”点积和叉积的意义。这种引导式的教学方法，极大地激发了我的主动学习欲望。我感觉自己不是在被动接受知识，而是在和作者一起探索数学真理。当然，对于那些基础特别扎实，希望直接挑战高难度证明的学霸来说，这本书可能显得稍微“温柔”了一些，但对于大多数需要打牢基础、建立稳固知识体系的学生来说，这种稳健的步伐无疑是最佳的选择。它让你有足够的时间去消化每一个知识点，而不是囫肿吞枣。

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这本书的习题设计是其一大亮点，也是我花最多时间的地方。不同于那种只有标准答案和简单计算的练习册，这里的习题更侧重于概念的灵活运用和对错误概念的辨析。我发现很多习题并非“解一个方程”或“求一个导数”那么简单，它们更多是要求对某个定理的边界条件进行讨论，或者要求构造一个反例来推翻一个看似合理的猜想。特别是那些“深入思考”或“拓展阅读”部分，里面的题目往往需要你融合代数、几何甚至少量的微积分思想才能解答。我记得有一组关于数列极限与三角函数周期的题，它们巧妙地将这两个看似不相干的概念联系起来，解答过程非常精妙。此外，书中的错误分析部分做得也很好。它会列举出学生最容易犯的几种典型错误，并详细解释为什么会犯这种错误，以及正确的思维定势应该是什么。这比单纯告诉我“你的答案错了”要有效得多。对于我这种喜欢刨根问底的学习者来说，这样的习题设置，提供了足够的“智力挑战”，让我能够真正地将知识内化，而不是仅仅停留在机械重复的层面。

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我在学习高等数学或工程数学时，最怕的就是理论和实际应用脱节。很多时候，我们花了大量时间去记住那些复杂的公式和证明步骤，但一旦遇到实际问题，就完全懵了，不知道该从哪个公式入手。这本教材在这方面做出了显著的努力。它在每一主题的介绍中，都会穿插非常详尽的应用实例，而且这些实例的覆盖面很广，从物理学的简谐运动分析，到金融学中的某些增长模型，甚至还有一些简单的工程优化问题。更重要的是，书里不仅仅是给出了问题的描述和最终的解，它会详细拆解解决问题的思维路径。比如，当遇到一个需要解三角方程的问题时，它会先分析这个方程在特定情境下（比如信号处理）可能代表的物理意义，然后才去寻找数学解，最后再将解带回物理情境进行检验。这种“情境导入—数学建模—求解—解释”的完整闭环，极大地提升了我对知识的理解深度。我不再是孤立地看待 $sin(x) = 0.5$ 这个方程，而是能联想到它在描述周期性现象时的具体含义。这种注重实践意义的编排，让枯燥的计算过程也变得有血有肉起来。

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