The Theory of Rings (Mathematical Surveys) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Nathan Jacobson

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1943-12-31

价格:USD 48.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821815021

丛书系列:Mathematical Surveys and Monographs

图书标签:

• 微分几何7
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《环论基础：代数结构的深度探索》 书籍简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代环论视角，内容涵盖了从基础概念到前沿研究领域的关键理论。我们着重于构建清晰的逻辑结构，并通过丰富的实例和精确的证明，引导读者系统地掌握这一代数领域的核心工具和思想。本书适合具备一定抽象代数基础（如群论和线性代数）的研究生、高年级本科生以及希望深入了解环理论的数学研究人员。 第一部分：环论的基石与基本结构 本部分奠定环论的理论基础，介绍环的定义、基本性质以及最核心的结构——子环、理想和商环。 第一章：环与环同态 首先，我们严格定义环，区分交换环与非交换环，并引入单位元和零因子的概念。详细探讨加法群的性质在环结构中的体现。随后，引入环同态的概念，讨论核与像的性质，证明同态定理（第一、第二、第三同构定理），这是理解结构保持映射的关键。我们还会介绍特定的环，如 $mathbb{Z}$ (整数环)， $mathbb{Z}_n$ (模 $n$ 整数环)，以及域（Field）作为特殊环的例子。 第二章：理想的结构与商环的构建 理想是环论中类似于群论中正规子群的核心概念。本章深入研究左理想、右理想和双边理想。重点分析主理想（Principal Ideals），特别是对于 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$，主理想的结构非常清晰。接着，详细阐述商环（Quotient Rings）的构造，证明其为一个良定义环结构，并探讨商环与同态的关系。我们引入极大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals）的概念，揭示它们与域和整环之间的深刻联系。 第三章：特殊类型的环 本章致力于分类和研究具有特定性质的环。 整环（Integral Domains）： 定义和性质，零因子在整环中的缺失。探讨域是整环的充分必要条件（非零因子域）。 交换环的特例： Noetherian 环和 Artin 环的定义。重点分析 Noetherian 环的等价条件，如每个理想都可以被有限生成，以及升链条件（ACC）。 主理想整环 (PID) 与唯一因子分解整环 (UFD)： 详细区分 UFD 和 PID 的层次关系。在 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 的背景下阐述这些概念。讨论如何通过整除性概念来识别它们。 域的推广： 介绍局部环（Local Rings）的概念，其特征是只有一个极大理想，并展示如何利用局部化来研究环的局部性质。 第二部分：环的构造性方法与模论的桥梁 本部分将重点放在如何通过已知的环构造出新的环，并为后续学习模论打下基础。 第四章：环的构造与扩展 直积环（Direct Product Rings）： 介绍环的直积 $R imes S$ 的构造，并分析其理想结构。 多项式环（Polynomial Rings）： 深入研究 $R[x]$，特别是当 $R$ 是一个域或整环时 $R[x]$ 的性质。使用除法算法证明 $F[x]$ 的结构。 分数域（Field of Fractions）： 针对任意整环 $R$，系统地构造其分数域 $Q(R)$。详细阐述构造过程的良定义性和 $R$ 到 $Q(R)$ 的嵌入。 第五章：同源性与模论的初步接触 虽然本书主攻环论，但理解环如何“作用”于集合是至关重要的。本章简要介绍模（Modules）的概念，将模视为环上的向量空间推广。 R-模的定义： 将环 $R$ 视为 $mathbb{Z}$-模，并将 $R$-模定义为具有兼容的加法和标量乘法的集合。 模同态与模的同构定理： 介绍模的子模、商模以及模同态的概念，并证明模的同构定理，强调其与环同构定理的相似性。 简单模与模的分解： 简要介绍简单模（Simple Modules）的概念，为理解半简单环（如 Artin 环）的结构提供工具。 第三部分：交换环的深入分析与分解理论 本部分将理论焦点集中在交换环上，特别是与理想分解相关的关键理论。 第六章：Noetherian 环与 Hilbert 基定理 在交换环的框架下，重新审视 Noetherian 环。 Noetherian 环的性质： 证明 Noethrian 环的商环、直积（在适当条件下）仍是 Noetherian。 Hilbert 基定理（Hilbert Basis Theorem）： 证明如果 $R$ 是 Noetherian 环，那么多项式环 $R[x]$ 也是 Noetherian 的。这个定理是代数几何中研究多项式环的关键工具。 有限生成理想： 讨论在 Noetherian 环中，理想的有限生成性意味着什么。 第七章：素分解理论 本章探讨如何将环分解为更简单结构的乘积。 Chinese Remainder Theorem (CRT)： 详细阐述 CRT 在交换环中的版本，处理互素理想（comaximal ideals）的情况，并证明 $igcap I_i = prod I_i$ 成立。 幂零理想（Nilpotent Ideals）： 引入幂零理想的概念，并探讨其在分解理论中的作用。 Primary Decomposition (初步介绍)： 介绍素因子分解在更一般的交换环中的推广——素理想的分解。讨论准素理想（Primary Ideals）的概念，并对 Noetherian 交换环上的理想分解给出一个定性的描述，为理解代数几何中的代数簇的结构打下基础。 第八章：局部化 (Localization) 局部化是将环 $R$ 转化为其分数域的推广形式，是现代交换代数中研究环局部性质的强大技术。 局部化的定义与构造： 基于一个乘法封闭集合 $S$，构造分数环 $S^{-1}R$。证明其是一个环结构，并确保 $R$ 可以自然地嵌入其中。 局部化与理想： 探讨局部化如何影响理想结构。证明 $P$ 是 $R$ 的素理想当且仅当 $R setminus P$ 局部化得到的环是一个局部环。 一致性与判别式： 简要讨论局部化在判断一个环是否为整环、UFD 或 PID 时的实用性。 全书结构严谨，层层递进，确保读者不仅掌握了环论的经典定理，更能理解这些理论在现代数学研究中的地位和应用潜力。 --- （总字数约为 1500 字）

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说实话，我最近在啃《解析数论导引》这本书的时候，简直是经历了一场智力的“马拉松”。这本书的难度和深度是毋庸置疑的，它毫不留情地将读者推向了数论研究的前沿地带。开篇对黎曼 $zeta$ 函数的讨论就足够详尽，作者对解析方法在数论中的核心地位进行了深入浅出的阐述，尤其是在处理素数分布问题时，那种将分析的工具挥洒自如地应用于离散世界的震撼感，让人久久不能平静。书中对圆法（Circle Method）的介绍尤其细致，作者耐心地分解了每一步的积分估计和误差分析，即便是像我这样对复分析有一定基础的读者，也需要反复揣摩才能真正掌握其精髓。最让我赞叹的是，这本书不仅仅停留在介绍经典理论，它还穿插了许多现代进展的简要回顾，比如对狄利克雷L函数的深入探讨，这使得读者在学习经典框架的同时，也能对当前的研究热点有所了解。这本书的阅读过程虽然充满挑战，但每攻克一个章节，带来的成就感都是无与伦比的，它无疑是为有志于深入研究解析数论的学者量身打造的进阶读物。

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哇，最近读完了一本名叫《代数几何基础》的书，简直是打开了新世界的大门。这本书的作者显然对数学的理解非常深刻，他没有直接跳入那些让人头晕眼花的复杂定义，而是用一种非常直观、循序渐进的方式，把抽象的几何概念和代数结构紧密地联系起来。尤其让我印象深刻的是关于概形（scheme）的引入，作者没有一开始就用那种晦涩难懂的语言轰炸读者，而是巧妙地通过熟悉的拓扑空间和环的同态来构建理解的桥梁。书中大量的例子和习题设计得也极其巧妙，它们不仅巩固了理论知识，更重要的是，激发了读者去主动思考不同数学分支之间的内在联系。比如，在讨论完 Zariski 拓扑之后，作者紧接着就展示了它在代数簇上的自然应用，那种“啊哈！”的顿悟感贯穿始终。这本书的排版也十分精良，公式的推导清晰明了，读起来非常流畅，让人有信心去啃下那些看似遥不可及的深度内容。对于任何想要系统学习现代代数几何的初学者来说，这绝对是一本不可多得的入门宝典，它教会的不仅仅是知识，更是一种数学思维的方式。

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不得不提一下我最近手头的这本《拓扑学：直观与严谨》。这本书的叙事风格实在是太迷人了，它完美地平衡了严格的数学证明和对空间本质的深刻洞察。很多拓扑学的教材，要么过于侧重于概念的罗列，让人感觉像在背诵字典；要么就是过于强调几何直觉，导致基础不够扎实。但这本书的处理方式简直是教科书级别的典范。作者似乎深谙如何引导读者的思维，从最基础的邻域、开集这些概念出发，步步为营地建立起度量空间、一致空间，直至一般的拓扑空间。书中对紧致性、连通性的讨论尤其精彩，它不仅仅给出了定义和定理，还通过一系列精心挑选的、具有代表性的例子，展示了这些性质在不同空间中的表现和重要性。我特别喜欢它对同胚（homeomorphism）的讨论，作者用非常生动的语言解释了为什么某些看起来相似的空间实际上是不同的，这种对“不变性”的强调，为后续学习代数拓扑打下了坚实的基础。总而言之，这本书的阅读体验是极其愉悦且富有成效的，它让拓扑学不再是冰冷的符号，而是一种关于空间形态和形变的艺术。

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我最近翻阅了一本关于《线性代数及其应用》的教材，这本书的独特之处在于它彻底颠覆了我对这门基础学科的传统认知。传统的线性代数往往将矩阵运算和向量空间的概念割裂开来，让人觉得枯燥乏味。然而，这本书的作者似乎下定决心要让线性代数“活”起来。它从一开始就强调了线性代数在实际应用中的强大威力，比如在数据压缩、图像处理乃至机器学习中的核心地位。书中对特征值和特征向量的讲解，不再仅仅是解方程组的过程，而是被巧妙地提升到“变换的本质”这一层面去理解，配合大量的二维和三维图形演示，使得抽象的概念变得具象化。特别值得称道的是，书中对奇异值分解（SVD）的介绍，作者花了大量篇幅解释了SVD在数据分析中的作用，这对我理解现代数据科学的底层逻辑帮助极大。此外，这本书的作者在讨论理论时，总是会适时地引用一些工程或科学领域的实际案例，这种“理论服务于实践”的教学思路，极大地激发了我继续深入学习的兴趣，让原本感觉高不可攀的线性代数变得亲切而实用。

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关于我最近读完的这本《随机过程导论》，我可以毫不夸张地说，它是我见过的处理随机性最优雅的著作之一。这本书的起点非常高，它没有从基础的概率论回顾开始，而是直接切入了马尔可夫链（Markov Chains）这一核心工具，假设读者已经具备扎实的概率基础。作者的笔触极其精炼，对时间齐次性和状态空间转移的讨论深入且透彻。书中对布朗运动（Brownian Motion）的引入简直是一场视觉与思维的盛宴，作者通过对路径性质的精细分析，优雅地构建出了维纳过程，并且清晰地展示了它在金融工程和物理学中的应用潜力。更让我印象深刻的是对鞅（Martingales）理论的阐述，作者用了一种非常“不动声色”的方式，将条件期望的收敛性提升到了一个更抽象但更强大的理论框架下。阅读这本书，需要的不仅仅是耐心，更是一种对不确定性结构的美学欣赏能力。它不是一本用来应试的教材，而是一部引导读者真正理解和驾驭随机现象的艺术品，对于那些希望在金融数学或信息论等领域深造的研究者来说，这本书提供的理论深度和广度是无可替代的。

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