Einführung in die Differentialtopologie. (Heidelberger Taschenbücher) (German Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Theodor Bröcker

出品人:

页数:175

译者:

出版时间:1990-11-02

价格:USD 44.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540064619

丛书系列:

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拓扑学基础：流形、张量与微分几何导论 著者： 匿名教授/资深学者 出版社： 某知名学术出版社 装帧： 精装/平装（根据实际情况选择） 页数： 约 750 页（含索引与附录） --- 内容提要 本书旨在为数学、理论物理及相关工程领域的深入研究者提供一个坚实、严谨且富有启发性的拓扑学基础，重点聚焦于微分拓扑学的核心概念、工具及其在现代几何学中的应用。不同于侧重于代数拓扑或点集拓扑的传统入门教材，本书的叙事线索紧密围绕光滑流形的构造、分析工具的引入，以及这些结构如何描述物理世界和几何空间。全书内容组织由浅入深，理论推导详尽，力求在概念的清晰度和数学的严谨性之间达到完美的平衡。 全书分为五个主要部分，共计十五章，辅以大量的习题和深入的思考题，鼓励读者主动参与概念的构建过程。 --- 第一部分：拓扑空间与连续性回顾 (Revisiting Topological Spaces and Continuity) 尽管本书的核心是微分拓扑，但前两章作为必要的准备，对拓扑学的基本框架进行了高效的回顾与提炼。 第一章：拓扑空间的基本结构。 重点阐述了开集、闭集、邻域系统、紧致性、连通性等基本性质。特别地，引入了可数性公理（第一可数与第二可数）的几何意义，为后续引入可微结构奠定基础。 第二章：连续映射与商空间。 本章详细探讨了连续映射的性质，特别是商拓扑的构造方法，这是理解流形中“局部平坦”结构的桥梁。引入了度量空间的完备性概念，并简要介绍了函数空间上的拓扑（如紧致-开收敛拓扑），为泛函分析的后续学习打下基础。 --- 第二部分：光滑流形的构建与局部坐标 (The Construction of Smooth Manifolds and Local Coordinates) 这是全书的基石部分，系统地定义了微分拓扑学的核心对象——光滑流形。 第三章：局部欧几里得空间与拓扑基础。 从 $mathbb{R}^n$ 的性质出发，引入了拓扑流形的严格定义，包括可数基和Hausdorff性质。本章强调了“局部是欧几里得的”这一核心思想的严格数学表达。 第四章：微分结构与光滑图册。 严格定义了光滑结构（或称微分结构）。详细讲解了图册（Atlas）的概念，以及转移映射（Transition Maps）必须是光滑的这一关键要求。通过大量的实例，如球面 $S^n$、环面 $T^n$ 以及射影空间 $mathbb{P}^n$，展示如何构造局部坐标系和一致的图册。 第五章：嵌入与商流形。 讨论了流形之间的光滑映射，包括浸入（Immersion）、淹没（Submersion）以及嵌入（Embedding）的概念。重点分析了商流形的构造，特别是如何保证 $M/sim$ 作为一个拓扑空间，并进一步赋予其微分结构（例如，通过覆盖空间的概念）。 --- 第三部分：切空间与张量代数 (Tangent Spaces and Tensor Algebra) 为了在流形上进行微积分，必须推广 $mathbb{R}^n$ 中的向量和导数的概念。本部分是微分几何分析工具的引入。 第六章：切向量与切空间。 提供了定义切向量的两种等价方式：曲线法（基于曲线的导数）和微分算子法（基于函数作用）。对每个流形点 $p in M$ 构造了切空间 $T_p M$，并证明其是一个有限维向量空间，其维数等于流形的维数 $n$。 第七章：切丛的构造。 将所有的切空间 $igcup_{p in M} T_p M$ 组织起来，形成切丛 $TM$。本章展示了 $TM$ 作为一个 $2n$ 维流形的结构，并定义了光滑截面（Smooth Sections），即向量场。 第八章：张量代数基础。 系统地介绍了张量积的构造，定义了张量场（即向量场、余向量场、以及更一般的 $(k, l)$ 型张量场）。详细讨论了协变张量（微分形式）和逆变张量（向量场）的变换律，强调了指标记号（爱因斯坦求和约定）在张量计算中的应用。 第九章：微分运算：外微分与李导数。 引入了微分形式（Differential Forms） $Omega^k(M)$，并定义了外微分算子 $d$。详细讨论了 $d$ 的性质，特别是 $d^2 = 0$。随后，定义了在流形上的李导数（Lie Derivative），作为衡量向量场沿其方向如何改变其他场或微分形式的工具。 --- 第四部分：积分与上同调 (Integration and Cohomology) 本部分将代数工具与分析工具结合起来，引出拓扑信息与几何测度的关联。 第十章：流形上的积分与测度。 讨论了在局部坐标系下，如何定义和计算定向流形上的 $n$ 维体积积分。引入了楔积（Wedge Product） $wedge$ 和测度（Measure） 的概念，并讨论了通量（Flux） 的基本概念。 第十一章：黎曼流形基础 (Introduction to Riemannian Geometry)。 虽然这不是纯粹的微分拓扑，但度量是现代拓扑学的关键工具。本章定义了黎曼度量（定义在切空间上的正定对称二次型张量 $g$），并引入了共轭（Covector）、拉回（Pullback） 运算。 第十二章：De Rham 上同调。 这是一个连接微分形式与拓扑结构的桥梁。严格定义了De Rham上链复形 $(Omega^(M), d)$。通过外微分算子 $d$ 的性质 ($d^2=0$)，定义了De Rham上同调群 $H_{dR}^k(M)$。 第十三章：拓扑与上同调的联系：De Rham 定理。 阐述并证明了De Rham 定理的核心思想：De Rham上同调群同构于奇异上同调群 $H^k(M; mathbb{R})$。这是全书的亮点之一，揭示了微分形式的代数结构如何编码了流形的拓扑不变量。 --- 第五部分：流形的映射与分类 (Maps and Classification of Manifolds) 最后一部分将视角转向流形之间的映射，以及如何利用拓扑工具区分不同的几何对象。 第十四章：映射的度数与拓扑不变量。 对于从 $S^n$ 到 $S^n$ 的光滑映射，定义了度数（Degree） 不变量。讨论了度数如何通过积分和 Stokes 定理联系起来，并用其来证明某些映射是不可逆的（例如，奇数维球面上的光滑向量场一定存在零点）。 第十五章：Stokes 定理与更一般的形式。 详细阐述了Stokes 定理——将微积分中的基本定理（如微积分基本定理、格林公式、高斯公式）统一在一个简洁的框架内。证明了 $int_{partial M} omega = int_M domega$ 对任意流形 $M$ 成立，并讨论了其在保守场和无旋场分析中的应用。 --- 目标读者与特点 本书适合已经掌握了多变量微积分、线性代数、以及基础抽象代数（群、环、域）的三年级及以上本科生、研究生以及需要将拓扑几何应用于理论物理（如广义相对论、规范场论）的研究人员。 本书特点： 1. 结构严谨性： 每一个定义和定理都经过最严格的数学论证，确保读者建立起可靠的理论基础。 2. 计算导向： 尽管注重理论，但包含了大量关于张量运算、微分形式计算和上同调计算的具体例子。 3. 概念的几何化： 始终强调抽象定义背后的直观几何意义，帮助读者理解为何需要这些复杂的结构。 本书不包含对李群、李代数或纤维丛的深入探讨，这些内容建议在后续的专门著作中进行学习。

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坦白说，我购买这本书的初衷，很大程度上是源于对“Heidelberger Taschenbücher”系列的一贯信赖。我曾阅读过该系列中其他关于纯粹数学的书籍，它们普遍以其高度的专业性和严谨性而著称，同时又能在相对紧凑的篇幅内提供丰富的知识。这本书《Einführung in die Differentialtopologie》同样继承了这一特点，从装帧到内页的字体选择，都透露出一种扎实的学术气息。我关注微分拓扑，是因为它在现代物理学，尤其是理论物理和弦理论中扮演着越来越重要的角色。想要理解某些高维空间几何性质的描述，以及它们如何与物理定律相联系，就绕不开微分拓扑的工具。这本书的德语版本，也意味着它可能更侧重于欧陆数学传统下的表达方式和研究视角，这对于我来说是一种学习不同数学文化和语言的机会。我深信，一本优秀的数学导论，不仅仅在于其内容的准确性，更在于它能否激发读者的学习兴趣，培养读者的数学直觉。我期望这本书能够提供足够的理论深度，同时又能以一种不至于让初学者望而却步的方式呈现。

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翻阅这本《Einführung in die Differentialtopologie》，一种沉静而专业的学术氛围扑面而来。我一直以来都在探索数学的各个分支，而微分拓扑在我看来，是连接代数和几何的强大纽带，它以一种独特的方式揭示了空间的内在结构和连续形变的可能性。这本书作为“Heidelberger Taschenbücher”系列的一员，其简洁的封面设计和紧凑的排版，暗示着其内容的高度凝练和组织性。我关注的是它如何从最基础的概念出发，逐步构建起微分拓扑的完整框架。尤其吸引我的是，书中是否会包含一些经典的例子和应用，能够帮助我更好地理解抽象的定理和定义。我对德语教材的偏爱，在于它通常能提供一种不同于英语文献的视角，以及一种独特的严谨性。我期待这本书能够帮助我理解微分流形的同胚、微分同胚，以及与之相关的流形上的微分运算，这些都是我在研究中经常会遇到的挑战。总而言之，我希望这本书能成为我理解微分拓扑世界的得力助手，引领我进入这个美妙的数学领域。

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初次翻开这本《Einführung in die Differentialtopologie》，便被其严谨的排版和清晰的逻辑所吸引。封面设计简洁而富有学识感，正如其书名所预示的那样，它显然是为那些渴望深入理解微分拓扑这一抽象数学分支的读者量身打造的。这本书的出版，无疑为德国本土乃至国际的数学学习者提供了一份珍贵的资源。我之所以选择它，是因为在接触到一些更前沿的数学理论时，我发现微分拓扑的概念是理解许多深刻结果的关键，而市面上系统介绍这一领域的德语教材并不算多，尤其是像“Heidelberger Taschenbücher”这样的小开本系列，通常意味着其内容经过了精炼和优化，能够以一种相对易于携带和阅读的方式呈现复杂的数学思想。尽管我还没有深入到每一个公式和证明，但从目录和前言的梳理中，我已经能感受到作者在知识体系构建上的用心。它似乎不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的数学家在引导初学者循序渐进地探索一个既抽象又充满美感的数学世界。我期待它能帮助我建立起坚实的理论基础，为我未来的数学研究铺平道路。

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《Einführung in die Differentialtopologie》这本书的出现，对于我来说，简直如同久旱逢甘霖。我一直对微分几何和代数拓扑领域非常感兴趣，而微分拓扑则恰恰是连接这两大分支的桥梁。尤其是在我最近接触到的关于黎曼流形和微分流形的研究中，常常会遇到一些基础性的概念，例如切空间、向量丛、横截性定理等等。我需要一本能够系统地、清晰地介绍这些概念的书，并且最好是用一种比较现代的、与研究前沿接轨的语言来阐述。选择这本德语版，一部分原因是我希望能够提升我的德语阅读能力，另一部分原因则是，德国在数学研究领域有着悠久的传统，我相信这里的教材往往能够提供非常深刻且独到的见解。我注意到“Heidelberger Taschenbücher”系列通常都以内容精炼、逻辑性强而闻名，这对于我这种时间宝贵的在读学生来说，无疑是极大的福音。我希望这本书能够帮助我构建起完整的微分拓扑知识体系，理解那些看似抽象的概念背后所蕴含的深刻几何直觉，为我日后深入研究微分流形、曲率理论以及相关的物理应用打下坚实的基础。

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拿到这本《Einführung in die Differentialtopologie》，我第一反应是它比我想象的要“轻巧”一些。这可能也是“Heidelberger Taschenbücher”系列的一个特点，将厚重的知识浓缩在便携的开本中。我从事的是偏向理论的计算机科学研究，其中涉及的图形学、机器学习等领域，越来越需要几何和拓扑学的知识来理解数据的结构和变化。微分拓扑，作为研究光滑流形及其性质的数学分支，在我看来，正是理解这些复杂数据结构底层逻辑的关键。虽然我并非数学专业出身，但我相信通过一本严谨的入门教材，能够为我打开这扇门。这本书的语言是德语，这对我来说既是挑战也是机会，我希望能够通过阅读这本教材，不仅掌握微分拓扑的核心概念，更能对德语的数学表达方式有所体会，拓展我的学术视野。我尤其期待书中对于一些关键定理的证明过程，以及它们如何从基本的公理和定义中推导出来，这对于培养严谨的数学思维至关重要。

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