Multidimensional Real Analysis 2 Volume Hardback Set (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:J. J. Duistermaat

出品人:

页数:840

译者:

出版时间:2004-06-28

价格:USD 165.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521829304

丛书系列:

图书标签:

• Multidimensional Real Analysis
• Real Analysis
• Mathematics
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• Advanced Mathematics
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《多维实分析导论：基础与应用》 本书旨在为对多变量微积分和实分析有初步了解的读者提供一个深入、系统的学习平台，探索现代数学中多维实分析的核心概念、工具和应用。本书聚焦于从拓扑学视角理解高维空间，并以此为基础构建勒贝格积分理论，最终触及泛函分析的初步概念。 第一部分：高维空间的拓扑基础 本书伊始，我们将从最基础的集合论和度量空间的概念出发，为后续的分析打下坚实的拓扑基础。我们详细阐述了 $mathbb{R}^n$ 空间中的基本拓扑性质，包括开集、闭集、紧致性、连通性等概念。重点讨论了 Heine-Borel 定理在高维空间中的意义，以及拓扑性质如何影响函数的连续性和极限的定义。 第1章：集合与点集拓扑回顾 本章回顾了集合论的基本操作，并引入了度量空间的概念。我们定义了 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量，并利用它来构建开球和闭球。随后，深入讨论了序列的收敛性、聚点、导集和边界的概念。紧致性的定义及其在实分析中的重要性贯穿本章始终，为后续积分理论的收敛性论证奠定基础。 第2章：连续性与函数空间 本章侧重于多变量函数的连续性。我们从点集的角度精确定义了函数在度量空间上的连续性，并探讨了连续函数在紧致集上的性质，特别是其一致连续性。紧接着，我们引入了等度连续性（Equicontinuity）的概念，并讨论了 Arzela-Ascoli 定理在函数族分析中的应用，这对于理解函数序列的收敛行为至关重要。 第二部分：勒贝格测度论与积分 多维实分析的核心在于勒贝格积分，它克服了黎曼积分在处理不规则函数方面的局限性。本书将测度论视为理解勒贝格积分的必要前提，从抽象的测度空间出发，逐步具体化到 $mathbb{R}^n$ 上的勒贝格测度。 第3章：测度论的公理化基础 本章介绍了 $sigma$-代数、测度、可测集和可测函数的定义。我们详细构造了半代数、代数到 $sigma$-代数的生成过程，并着重阐述了 Carathéodory 外部测度构造法，用以定义勒贝格外部测度。通过对“外测度可测集”的刻画，我们严格定义了勒贝格测度。 第4章：勒贝格积分的构建与性质 从简单函数（Simple Functions）开始，我们分步构建了非负可测函数的勒贝格积分，并推广到一般的可测函数。本章的核心是深入探讨积分的单调收敛定理（MCT）和法图引理（Fatou’s Lemma）。这些收敛定理是后续分析中进行极限与积分交换的关键工具。 第5章：Lp 空间与积分的性质 本章将勒贝格积分的理论与函数空间联系起来。我们定义了 $L^p(mu)$ 空间，并证明了 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式，从而揭示了这些空间作为完备度量空间的结构。我们还讨论了积分与极限的交换问题，重点分析了支配收敛定理（DCT）的普适性和应用范围。 第三部分：多重积分与Fubini定理 在多维空间中，计算积分的策略性选择是 Fubini 定理。本部分将测度论的抽象结果应用于 $mathbb{R}^n$ 上的直积空间，探讨如何将多重积分转化为累次积分。 第6章：乘积空间与张量积 我们首先定义了乘积 $sigma$-代数和乘积测度。本章的核心内容是 Fubini-Tonelli 定理和 Fubini 定理。我们详细分析了何时可以安全地使用累次积分（即函数是否可测或积分是否有限），并讨论了 Fubini 定理在物理和几何问题中的实际应用，例如计算高维体积和质心。 第7章：积分变换与雅可比行列式 本章探讨了变量替换在多重积分中的重要性。我们引入了 $mathbb{R}^n$ 上的光滑映射，并利用雅可比行列式（Jacobian）来修正积分的测度元素。通过具体的例子，如极坐标和球坐标变换，读者可以直观理解测度在微分同胚下的变化规律。 第四部分：泛函分析的初步视角 为了展望更高级的分析，本书的最后一部分将多维积分理论提升到抽象的函数空间层面，引入了有界线性算子和Hilbert空间的基本概念。 第8章：函数空间的度量与收敛 本章重新审视 $L^p$ 空间，但这次侧重于其作为拓扑向量空间（Metric Vector Space）的性质。我们讨论了 $L^p$ 范数下的收敛与点态收敛的区别，并介绍了 $L^p$ 空间是 Banach 空间的结论。 第9章：有界线性算子与Riesz表示定理的雏形 本章初步介绍了线性泛函和有界线性算子的概念，这是泛函分析的基石。虽然不深入讨论，但我们展示了对偶空间 $left(L^p ight)^{}$ 的结构，并为读者理解更复杂的变分问题和微分方程的泛函分析解法做好铺垫。 总结 《多维实分析导论：基础与应用》以严谨的数学逻辑，从点集拓扑出发，系统地构建了勒贝格测度论，并将其应用于多维积分的计算。全书强调概念的精确性和定理的适用性，力求使读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解高维分析背后的数学结构。本书适合作为高等数学分析课程的教材，或供希望从传统微积分转向现代实分析和泛函分析研究的读者使用。

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这套《Multidimensional Real Analysis 2 Volume Hardback Set》在我看来，简直是数学分析领域的一座宝藏。我是一名教师，经常需要为我的学生寻找合适的参考资料，尤其是在涉及多变量分析的课程上，我总是希望能够提供一些能够帮助他们深入理解课程内容的课外读物。这套书的精装版本，本身就散发着一种权威和可靠的气息。我期待它能够提供一些非常规但却极具启发性的视角来讲解多维实分析中的概念，例如，它能否通过一些巧妙的几何解释，或者是一些非传统的例证，来帮助学生们突破思维定势，建立起更直观的理解。我特别希望它能包含一些关于黎曼积分、勒贝格积分在多维空间中的推广，以及一些关于微分流形的初步介绍，因为这些内容往往是学生们学习的难点，也是我希望他们能够真正掌握的。

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我必须说，当我第一次看到这套《Multidimensional Real Analysis 2 Volume Hardback Set》的时候，我的第一反应是：“这绝对是我需要的！”作为一名在学术界深耕多年的研究者，我深知扎实的基础对于任何前沿探索的重要性。尤其是在实分析这个领域，每一次的理论突破，其根基都往往可以追溯到对基本概念的深刻理解。我一直在寻找一本能够真正意义上“提升”我分析能力的参考书，而这套书，光是名字就透着一股严谨和深度。我尤其看重它在多维空间这一抽象概念上的处理方式，如何将我们熟悉的单变量分析的思想延伸并拓展到更高维度，这其中涉及到的工具、技巧和思维方式的变化，对我来说是极具吸引力的。我希望这套书能不仅仅停留在知识的罗列，更能引导我思考，培养一种更高级的数学直觉。

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这本书的出现，简直就是为我量身打造的。我是一名对数学充满热情的爱好者，虽然没有接受过专业的数学训练，但总想着能深入了解一些数学的奥秘。我一直对微积分在多维空间中的应用感到好奇，比如，为什么我们需要引入那么多复杂的概念来描述曲线、曲面和更高维度的形体？这套《Multidimensional Real Analysis 2 Volume Hardback Set》的名字听起来就非常“高级”，我想它一定能解答我心中的很多疑问。我希望这本书能用一种相对易懂的方式，将那些复杂的数学思想呈现在我面前，让我能够窥探到数学的魅力。我虽然没有数学基础，但我相信好的书籍能够激发学习的兴趣，我渴望通过这本书，能够对多维实分析有一个初步的认识，即使不能完全理解每一个推导，也能大概了解它的应用场景和重要性。

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天哪，我最近刚刚入手了这套《Multidimensional Real Analysis 2 Volume Hardback Set》！拿到手的时候简直太惊喜了，精装的质感，厚重的书页，瞬间就感觉自己要进入一个全新的知识殿堂。我是一名正在攻读博士学位的学生，在数学分析领域摸爬滚打了好几年，但总觉得在多变量分析的部分，总有那么一点“隔靴搔痒”的感觉，很多概念的理解不够深入，推导过程也常常让我头疼。这次看到这套书，名字听起来就足够“硬核”，心想这下终于有机会好好地、系统地梳理一遍了。我最期待的是它能如何将抽象的定义和定理，通过清晰的语言和巧妙的例子展现出来，毕竟，在理解复杂的数学结构时，一个好的叙述方式比任何冗长的证明都来得重要。我希望能在这套书中找到那些曾经让我困惑不解的细节的解答，比如，一些看似理所当然的条件背后到底隐藏着什么深刻的数学意义，又或者，某个定理的直观几何解释是什么。我已经迫不及待地想翻开第一页，开始我的探索之旅了。

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拿到这套《Multidimensional Real Analysis 2 Volume Hardback Set》的时候，我的内心是无比激动和期待的。作为一名正在攻读硕士学位的学生，我在实分析的学习过程中，总是觉得自己在某些方面不够深入，尤其是在涉及到多变量函数的性质、微积分的应用以及更抽象的积分理论时，总感觉自己理解得不够透彻，推导过程中也常常遇到瓶颈。这套书的出现，对我来说就像是黑暗中的一盏明灯，我希望它能够提供一种全新的视角来解读这些复杂的概念，用更加严谨和系统的方式来梳理多维实分析的脉络。我最看重的是它能否帮助我理解那些深层次的数学思想，例如，不同积分定义之间的联系和区别，以及它们在解决实际问题时各自的优势。

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