Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison-Wesley Iberoamericana Espa~na

作者:Jose Dorronsoro

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000-08

价格:USD 28.50

装帧:Paperback

isbn号码:9788478290093

丛书系列:

图书标签:

• Álgebra abstracta
• Teoría de grupos
• Teoría de anillos
• Matemáticas
• Aritmética modular
• Estructuras algebraicas
• Polinomios
• Cuerpos
• Números
• España

深入探索数学的基石：群、环与域的宏伟殿堂 本书带领读者进入抽象代数的核心领域，这是一个数学分支，它研究的是代数结构（如群、环和域）的性质和关系。与传统的初等代数或微积分不同，抽象代数将研究对象提升到更高的抽象层次，关注的是运算的规则和结构本身的内在逻辑，而非具体的数值计算。本书旨在为那些寻求理解数学更深层结构的学生和研究人员提供一个全面且深入的导览。 第一部分：群论——对称与变换的语言 群论是抽象代数中最基本也是最重要的结构之一。它描述了对称性、变换以及结构在运算下的保持性。 第一章：基本概念与例子 本章从最基础的定义入手，严格阐述了“群”的四个公理：封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。我们通过一系列经典的例子来巩固这些概念，包括： 整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$： 最直观的阿贝尔群（交换群）模型。 非零有理数乘法群 $(mathbb{Q}^, imes)$： 引入了乘法运算的群结构。 对称群 $S_n$： 对 $n$ 个元素的置换群的详细分析，这是理解非交换群的关键起点。我们将探讨置换的分解、奇偶性以及 $S_n$ 的阶。 二面体群 $D_n$： 描述一个正 $n$ 边形的旋转和反射操作，是理解几何对称性的重要模型。 矩阵群 $GL_n(F)$： 可逆矩阵构成的群，为后续环和域的讨论埋下伏笔。 第二章：子群与陪集 群的子结构是理解整体性质的关键。本章深入探讨子群的定义、判定法则以及它们在群内部的关系。 子群的性质： 讨论子群的交集、生成子群等概念。 陪集（Cosets）： 详细介绍左陪集和右陪集，它们是分解群结构、引向商群的基础工具。陪集的性质，如不相交性、覆盖性，将被严格证明。 拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）： 这是有限群论的基石。定理指出，任何子群的阶（元素个数）必定整除其所在群的阶。我们将运用此定理来推导有限群的许多重要推论，例如，群中任意元素的阶必须整除群的阶。 第三章：正规子群与商群 如果说子群是“部分”，那么正规子群就是那些允许我们“除法”并构造新群的特殊子群。 正规子群的定义与判定： 严格区分左陪集与右陪集相等（或包含关系）的意义。 商群（Factor Groups / Quotient Groups）： 介绍如何基于正规子群构造出一个新的群结构，即商群 $G/N$。这个构造过程体现了代数结构之间的映射与分解关系。 同态定理（Homomorphism Theorems）： 这是群论中最强大的工具之一。我们将详细阐述第一同态定理（核与像的关系）、第二同态定理以及第三同态定理，它们将群、子群、正规子群和商群之间的关系清晰地联系起来。 第四章：群的结构与表示 本章着眼于更复杂的群的分解和表示方式。 循环群与生成元： 彻底分析循环群的结构，证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 直积（Direct Products）： 介绍内部直积和外部直积，展示如何通过已知的较小群来构造更大的群。 Cauchy 定理与 Sylow 定理： 这是有限群结构理论的高潮部分。Sylow 定理提供了关于具有素数幂阶的子群（Sylow $p$-子群）存在性和数量的精确信息，是分析非阿贝尔群的关键。我们将对这些定理进行证明，并展示它们在确定群结构中的应用。 群作用（Group Actions）： 研究群元素如何作用于一个集合上，这在几何学和组合学中具有广泛应用。我们将讨论轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers），并利用轨道-稳定子定理来计算群的阶数或集合的大小。 第二部分：环论——代数运算的扩展 在群论中，我们只有一个运算。环论则引入了第二个运算，使得我们可以进行加法、减法、乘法，并且保持一定的结合性和分配律。 第五章：环的基本结构 本章构建了环的正式定义，并探讨了其核心要素。 环的定义与例子： 阐述环的加法交换性、乘法结合律和分配律。分析整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$、矩阵环 $M_n(R)$ 等作为环的例子。 特殊类型的环： 区分交换环、带单位元的环、整环（Integral Domains）和域（Fields）。 子环与环同态： 类似于群的子结构和映射，我们定义了子环和环同态，并讨论了核（Kernel）的性质。 第六章：理想与商环 理想在环论中的作用类似于正规子群在群论中的作用，它们是构造商环的基础。 理想（Ideals）： 严格定义左理想、右理想和双边理想。阐述理想是环上的“可除性”结构。 商环（Quotient Rings）： 基于理想构造商环 $R/I$，并在其上定义环运算。 环的同态定理： 导出适用于环的同态定理，强调它们与群同态定理的深刻相似性。 第七章：整环的特殊结构 本章聚焦于不含零因子（非零元素相乘不等于零）的交换环——整环。 整环的性质： 零因子、零因子定理。 域： 域作为一种特殊的整环，其中所有非零元素都有乘法逆元。本章将证明所有域都是整环。 多项式环： 深入研究 $F[x]$，其中 $F$ 是一个域。讨论多项式的除法算法、最大公约式（GCD）和唯一因子分解（UFD）。 主理想整环（PID）与欧几里得整环（ED）： 引入更强的结构概念。欧几里得整环（如 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$）保证了存在一个欧几里得算法，从而可以定义 GCD。主理想整环是那些所有理想都是由单个元素生成的整环。我们将证明 $ ext{ED} implies ext{PID}$。 第八章：域的构造与扩张 域是代数运算的最终完备结构。本章研究如何从一个域构造出更大的域。 分式域（Field of Fractions）： 如何将任意整环转化为其分式域（例如，从 $mathbb{Z}$ 到 $mathbb{Q}$）。 域扩张（Field Extensions）： 定义域扩张 $E/F$，其中 $F$ 是 $E$ 的子域。讨论扩张的次数 $[E:F]$。 代数元与超越元： 区分满足特定多项式方程的元素和不满足的元素。 代数扩张： 详细介绍代数扩张的性质，包括有限扩张的乘法性。 代数闭包： 证明每个域都存在一个代数闭包，并讨论其唯一性。 第三部分：结构与应用 第九章：环的特定分解 本章回归到更精细的环结构，探讨分解的可能性。 唯一因子分解整环（UFD）： 讨论哪些环保证了多项式或整数的分解是唯一的（不考虑顺序和单位）。我们将证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 都是 UFD。 诺特环与阿廷环： 引入关于理想链条件的现代概念，这些概念在代数几何中至关重要。 本书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，旨在使读者不仅掌握抽象代数的定义和定理，更能深刻理解这些结构之间的内在联系，为深入学习代数几何、数论和表示论打下坚实的基础。每一个定理的证明都经过精心设计，强调直觉与形式逻辑的结合。

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《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》的魅力在于它能够将抽象的代数概念与具体的数学问题巧妙地结合起来。书中大量的例子和习题，都经过精心设计，旨在帮助读者巩固所学知识，并进一步探索更深层次的数学问题。我特别喜欢书中关于整数环上的模运算和中国剩余定理的讲解，这些内容在密码学和计算机科学中有着广泛的应用，让我看到了抽象数学的实际价值。在群论部分，作者对对称群的分析，揭示了对称性在几何、物理等领域的深刻意义。我通过解决一些关于对称性的习题，对群的对称性有了更直观的理解。在环论部分，对高斯整数环和欧几里得整环的讨论，让我体会到不同环结构所带来的不同性质和应用，也为理解更复杂的代数数域打下了基础。

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这本书最让我赞赏的一点是其对抽象概念的深刻洞察和清晰的阐释。作者并非简单地罗列定义，而是努力揭示这些概念背后的数学本质和逻辑联系。《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》在数字部分，对于数集的研究，不仅局限于其代数结构，也触及了分析学的视角，例如对实数完备性的讨论，这让我体会到不同数学分支之间的相互渗透。在群论方面，作者对有限群的讲解尤其出色，从拉格朗日定理到西罗定理，层层递进，揭示了有限群结构的奥秘。对我而言，理解西罗定理的证明过程是一次挑战，但作者的详细讲解和图示帮助我克服了这一难关。在环论部分，作者对多项式环的性质、唯一因子分解域（UFD）和主理想域（PID）的介绍，为我理解更高级的代数结构打下了坚实的基础。

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《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》是一本真正能够激发读者对数学产生浓厚兴趣的书籍。它的语言风格既严谨又不失生动，避免了教科书中常见的刻板和枯燥。作者在处理概念时，常常会引用历史典故或数学家的思考过程，这使得学习过程更具人文色彩，也更能体会到数学发展的艰辛与辉煌。例如，在讲述群的概念时，作者会追溯到高斯和伽罗瓦的工作，让我感受到群论是如何从解决具体问题中孕育而生的。对置换群的深入探讨，更是让我领略到对称性在数学中的无处不在。在环的部分，作者对域的概念的阐述，让我明白了为什么有些环比其他环更“优越”，也为理解代数方程组的解集提供了新的视角。让我印象深刻的是，书中对多项式环的研究，是如何将代数和几何联系起来的，以及如何利用环的性质来解决丢番图方程等问题。

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对于有志于深入学习代数领域的读者而言，《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》是一本不可或缺的参考书。书中内容的深度和广度，足以满足从初学者到进阶学习者的需求。作者在数字部分，对模算术的深入研究，不仅展示了其在数论中的重要性，也为理解更抽象的群和环结构提供了基础。在群论部分，作者对有限群的结构理论的阐述，特别是对西罗定理的应用，让我认识到有限群分类的复杂性和深刻性。我通过对书中提供的示例和证明的反复研读，逐步掌握了这些核心概念。在环论部分，对多项式环的性质，以及其与域的联系的讲解，为理解代数几何和代数数论的初步概念提供了铺垫。

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在浩瀚的数学书籍海洋中，《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》无疑是一颗引人注目的宝石。当我第一次翻开它时，就被其深邃的思想和严谨的逻辑所吸引。这本书不仅仅是关于数字、群和环的定义和定理的堆砌，它更像是一扇窗户，让我得以窥见抽象代数世界的壮丽图景。作者以一种近乎诗意的笔触，将原本可能枯燥乏味的数学概念赋予了生命。例如，在讲述群论时，作者并没有停留在抽象的群公理上，而是巧妙地引入了对称性、置换等直观的例子，使得初学者也能感受到群结构的优雅和力量。对群的分类理论的介绍，更是让我惊叹于数学家们构建知识体系的非凡智慧。而当话题转向环时，作者同样运用了层层递进的方式，从整数环的熟悉场景出发，逐步推广到多项式环、矩阵环等更一般的结构，让我体会到代数系统之间的深刻联系。尤其是对理想和商环的阐述，更是将代数结构的学习推向了一个新的高度，让我开始理解如何在更抽象的层面进行思考和推理。

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《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》的价值在于它能够培养读者严谨的数学思维和抽象的逻辑推理能力。作者在讲解每一个概念时，都力求做到清晰、准确，并辅以大量的例证，帮助读者建立起直观的理解。《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》在数字部分，对实数系的完备性及其在微积分中的作用的简要介绍，展现了数集与分析的紧密联系。在群论部分，作者对群同态的深刻剖析，以及对同态定理的详细证明，让我深刻理解了代数结构之间的映射关系。我通过对书中关于同态和同构的例题的解决，提升了对这些抽象概念的运用能力。在环论部分，对理想的性质及其在因子环构造中的作用的阐述，为理解更一般的代数结构提供了基础。

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初次接触《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》时，我曾担忧其内容的深度和广度是否会超出我的理解能力。然而，书中清晰的结构和循序渐进的讲解方式打消了我的疑虑。作者在每一章节的开头都设定了明确的学习目标，并在后续的内容中一一实现。在数字部分，作者不仅仅满足于介绍基本的数系（自然数、整数、有理数、实数、复数），更深入地探讨了它们的性质、运算以及它们在不同数学分支中的应用。我对数论的早期概念有了更深刻的认识，例如素数的分布、同余关系等，这些都为后续群和环的学习奠定了坚实的基础。在群论部分，作者的讲解尤为精彩。从群的基本定义、阶、子群，到正规子群、同态定理，再到有限单群的分类，每一步都逻辑严密，引人入胜。我尤其欣赏作者在讲解同态定理时所采用的类比和几何直观，这使得原本抽象的定理变得易于理解和记忆。而环论部分，从环的基本概念、理想、因子环，到域、代数数论等内容，都展现了作者深厚的学识和精湛的教学技艺。

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这本书最令我印象深刻的是其对数学之美和数学思想的传达。作者在叙述过程中，常常流露出对数学的热爱，这种热情也能够感染读者，激发他们对数学的探索欲望。《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》在数字部分，对不同数系的构建和发展历程的简要回顾，展现了数学概念的演进。在群论部分，作者对有限单群分类的宏大叙事，让我感受到数学研究的深度和广度。我通过对书中关于有限群理论的章节的阅读，对数学家们在探索数学世界时所付出的努力有了更深的敬意。在环论部分，对交换代数基本概念的介绍，以及其在数论和几何中的应用，让我认识到抽象代数在现代数学中的核心地位。

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这本书的排版和设计也值得称赞。清晰的章节划分、醒目的数学符号以及高质量的印刷，都使得阅读体验非常舒适。作者在文字描述中，善于运用形象的比喻和生动的语言，将原本抽象的概念变得容易理解。《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》在数字部分，对自然数的公理化定义，以及其延伸出的算术性质，展现了数学的严谨性。在群论部分，作者对群同态和同构的讲解，让我理解了不同群之间存在的深刻联系，也为分类和研究群提供了工具。我尤其对书中关于置换群的应用案例印象深刻，例如在求解多项式方程根的置换理论，这让我看到了代数在解决代数方程方面的强大力量。在环论部分，对理想的引入，更是为理解环的结构和性质提供了关键的工具。

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《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》不仅仅是一本教材，更是一本能够引领读者进入数学思维殿堂的启蒙书。作者以一种充满智慧和热情的方式，引导读者探索数字、群和环的内在联系，揭示隐藏在数学世界中的普遍规律。《Numeros Grupos y Anillos (Spanish Edition)》在数字部分，对无理数和复数的引入，展现了数学的不断扩展和深化。在群论部分，作者对有限生成阿贝尔群的分类定理的讲解，让我领略到了数学结构分类的宏伟蓝图。我通过对相关习题的练习，加深了对分类定理的理解。在环论部分，对唯一因子分解域（UFD）和主理想域（PID）的进一步探讨，让我理解了它们在代数数论中的重要作用，也为理解更一般的交换代数理论打下了基础。

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