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出版者:Birkhäuser Boston

作者:V.I. Lebedev

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:1996-12-01

价格:USD 101.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817638887

丛书系列:

图书标签:

• Functional Analysis
• Computational Mathematics
• Numerical Analysis
• Operator Theory
• Approximation Theory
• Infinite Dimensional Spaces
• Banach Spaces
• Hilbert Spaces
• Spectral Theory
• Mathematical Modeling

深入浅出：现代数值分析的理论与实践 本书将带领读者进入现代数值分析的宏大领域，全面探讨求解实际工程与科学问题中数学模型数值逼近方法的理论基础、算法设计与实现细节。 本书聚焦于当前计算数学领域的核心议题，旨在为研究生、高年级本科生以及在科学计算、数据分析、工程模拟等领域工作的专业人士提供一套严谨而实用的知识体系。我们相信，理解数值方法的内在限制、收敛性分析以及稳定性保证，是有效应用这些工具的关键。 第一部分：基础理论与误差分析 本部分奠定了后续所有高级主题的理论基石，强调了数值计算的严谨性。 第1章 浮点运算与误差的本质 本章深入剖析了计算机如何表示实数，即IEEE 754浮点数标准。我们将详细讨论舍入误差（Rounding Error）的产生机制，包括单精度和双精度浮点数的精度限制。重点讨论了数值稳定性（Numerical Stability）的概念，区分了病态问题（Ill-posed Problems）和算法层面的稳定性。通过经典的算例，如二次方程求根中的有效数字损失，直观展示误差的累积效应。最后，引入了误差传播的数学工具，为量化计算结果的可靠性打下基础。 第2章 函数逼近与插值 本章考察如何用更简单的函数（如多项式）来近似复杂函数。我们首先回顾拉格朗日插值法及其代数结构，并严格推导了插值误差的余项公式，揭示了高次插值可能带来的龙格现象（Runge's Phenomenon）。随后，引入了牛顿差商形式，便于递推计算。重点讨论了分段插值——三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）。样条插值的优势在于其局部性和光滑性，我们将详细构建自然样条和钳制样条的边界条件，并展示如何通过求解一个线性系统来确定样条系数。 第3章 数值微分与数值积分 本章探讨如何利用离散数据点来估计函数的导数和定积分。 数值微分： 基于有限差分（Finite Differences）的原理，推导出前向、后向和中心差分公式，并分析其相对于解析导数的截断误差（Truncation Error）的阶数。讨论了在存在测量误差的情况下，高阶微分估计的挑战。 数值积分（Quadrature Rules）： 从牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式出发，系统地推导了梯形法则和辛普森法则。随后，将焦点转向更高效的复合规则和高斯求积（Gaussian Quadrature）。高斯求积通过选择最优的节点和权重，在给定节点数下达到最高的代数精度，我们将探讨如何通过勒让德多项式（Legendre Polynomials）来构造正交节点。 第二部分：线性系统的数值求解 本部分是计算数学的核心应用领域，关注于 $Ax=b$ 形式的大型线性系统的有效求解。 第4章 矩阵分解与直接法 本章集中于通过分解矩阵来简化求解过程的直接方法。首先，详细介绍了高斯消元法（Gaussian Elimination），重点分析其计算复杂度和对计算稳定性的影响。引入主元选择（Pivoting Strategy），解释部分主元选择和完全主元选择如何有效控制误差。随后，系统地推导了LU分解，并扩展到带状矩阵和对称正定矩阵的Cholesky分解，突出其在存储和计算效率上的优势。对于大型稀疏系统，我们将探讨稀疏矩阵的存储格式（如CSR格式）和分解的优化。 第5章 迭代法求解线性系统 当矩阵规模过大或计算资源有限时，迭代法成为首选。本章涵盖了求解大型、可能稀疏的线性系统 $Ax=b$ 的基本迭代方法。 经典方法： 详细分析雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代的收敛条件（如对角占优矩阵），并计算它们的迭代矩阵谱半径。 加速技术： 引入超松弛（Successive Over-Relaxation, SOR）方法，解释如何通过松弛因子 $omega$ 来显著加速收敛速度。 Krylov 子空间方法基础： 概述共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）的基本思想，尤其适用于对称正定系统。我们将探讨其在选择正交方向向量上的几何意义。 第三部分：非线性方程与特征值问题 本部分扩展到求解单个或多个非线性方程，以及矩阵的特征值分解。 第6章 非线性方程的求解 本章关注求解 $f(x) = 0$ 的数值方法。 单变量方程： 从二分法（Bisection Method）开始，分析其鲁棒性。接着深入研究牛顿法（Newton's Method），推导其二次收敛性，并讨论其对初始猜测的敏感性。引入割线法（Secant Method）作为牛顿法在无法求导情况下的替代方案。 多变量方程组： 将牛顿法推广到多维情形，即牛顿-拉夫森法（Newton-Raphson），并讨论在每一步迭代中求解雅可比矩阵线性系统的挑战。 第7章 特征值问题的数值方法 本章探讨如何有效地计算矩阵的特征值和特征向量。我们将区分针对小型稠密矩阵和大型稀疏矩阵的不同策略。 幂法与反幂法： 介绍幂法（Power Iteration）用于寻找最大特征值，以及反幂法（Inverse Iteration）如何结合谱信息的估计来寻找特定特征值。 QR 算法： 详细介绍QR算法（QR Algorithm）的原理，包括如何通过Householder反射或Givens旋转将矩阵转化为上Hessenberg形式，以及后续的迭代过程，这是计算密集矩阵特征值的标准方法。 第四部分：常微分方程的数值逼近 本部分专门处理描述动态系统的常微分方程（ODEs）的数值积分。 第8章 常微分方程的单步法 本章主要关注一阶常微分方程 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$ 的数值求解。 欧拉方法（Euler Methods）： 从最基本的显式欧拉法和隐式欧拉法入手，分析其一阶精度和稳定性区域。 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）： 重点推导和分析经典的四阶龙格-库塔（RK4）方法，这是工程实践中最常用的平衡精度与效率的方法。引入更高级的自适应步长控制的Runge-Kutta-Fehlberg方法，以保证在整个积分区间内达到预设的误差容限。 第9章 常微分方程的复杂系统与刚性 本章处理更具挑战性的ODE问题。 多步法： 介绍Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）等线性多步法，分析它们如何利用历史信息提高效率，以及引入的零稳定性问题。 刚性问题（Stiffness）： 定义刚性ODE的特征——包含时间尺度差异巨大的分量。探讨为什么对于刚性问题，显式方法需要极小的步长。详细介绍隐式方法在处理刚性问题时的必要性，并分析了如BDF（Backward Differentiation Formula）等隐式方法的稳定性和适用范围。 本书通过大量的理论推导、算法描述和计算示例，确保读者不仅能“使用”数值方法，更能“理解”它们在计算世界中的表现与局限。书中所有算法均附有清晰的伪代码，便于读者将其转化为实际的编程实现。

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《Functional Analysis in Computational Mathematics》这本书的书名，就如同一个引人入胜的数学谜语，让我迫不及待地想要解开它。它承诺的是将泛函分析的严谨性和计算数学的实用性融为一体，这正是我一直以来所追求的。我非常关注书中对“非线性方程组”和“优化问题”的处理。在许多科学和工程应用中，我们经常需要求解非线性的方程组，或者寻找某个函数的最小值/最大值。虽然存在很多经典的数值方法，但泛函分析的视角似乎能提供更深层次的理解和更通用的框架。我期待书中能够展示，如何利用Banach不动点定理来分析非线性方程组的收敛性，如何利用变分原理来构造求解优化问题的迭代算法，以及如何利用算子方程的理论来处理更一般形式的非线性问题。例如，在机器学习的训练过程中，我们实际上是在求解一个大规模的非线性优化问题，而泛函分析中的梯度下降法、牛顿法等概念，其背后都有着深刻的理论支撑。这本书，或许能让我理解，那些在实践中看似“直观”的数值方法，其实是建立在多么坚实的数学基石之上，从而让我能够更自信地去探索和解决更复杂的问题。

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这本书，名曰《Functional Analysis in Computational Mathematics》，其书名本身就暗示了一种跨越学科界限的探索。在过去的学习经历中，我曾分别接触过泛函分析的严谨抽象和计算数学的实用主义。然而，如何将这两者有机地结合起来，一直是困扰我的一个难题。这本著作的出现，无疑为我提供了一个极具价值的视角。我尤其欣赏书中对“算子”这一概念的深入挖掘。在泛函分析中，算子是连接函数空间的关键纽带，而计算数学的许多问题，例如求解线性方程组、微分方程、积分方程等，都可以被抽象为在函数空间中求解某个算子方程。书中对不同类型的算子，如紧算子、自伴算子、正定算子等的性质及其在数值方法中的作用进行了详尽的阐述，这对于理解许多高级数值算法的理论基础至关重要。例如，对于求解大型稀疏线性系统的共轭梯度法，其收敛性分析就严重依赖于问题的系数矩阵是否具有某些特定的算子性质，例如正定性。同样，在处理PDE问题时，有限元方法的核心思想就是将无限维的变分问题转化为有限维的代数问题，而这种转化过程本身就涉及到对微分算子和积分算子的理解和逼近。我期待书中能够详细介绍，如何利用泛函分析的工具，例如谱理论、不动点理论、变分原理等，来设计、分析和优化各种数值算法，从而提高计算的效率和精度。这本书似乎不仅仅是介绍方法，更是一种思维方式的培养，一种用数学的“形”去指导计算的“神”的智慧。

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《Functional Analysis in Computational Mathematics》这个书名，让我眼前一亮，它预示着一种更加深刻和严谨的计算数学研究范式。长期以来，我总觉得计算数学在理论深度上稍显不足，尤其是在处理一些非线性、高维或奇异性问题时，常常会遇到瓶颈。而泛函分析，以其强大的抽象能力和严谨的逻辑体系，正是解决这些难题的有力武器。我尤其关注书中对“收敛性”和“稳定性”的深入探讨。在计算过程中，我们常常面临着各种误差的累积，包括截断误差、舍入误差以及由算法本身带来的误差。泛函分析中的各种收敛性定理，如Cauchy收敛准则、 Banach不动点定理，以及关于函数空间性质的分析，能够为我们提供严格的数学工具来分析算法的收敛性，并给出误差的上界。而稳定性分析，则关乎算法在面对微小扰动时表现出的鲁棒性。书中可能利用算子理论、扰动分析等工具，来揭示数值方法的稳定性条件，并为提高算法的稳定性提供指导。例如，在求解常微分方程的初值问题时，方法的稳定性直接关系到长期积分的可靠性。这本书，或许能让我理解，为什么有些数值方法在理论上收敛，但在实际计算中却表现不稳定，以及如何通过对泛函分析原理的深刻理解来克服这些困难。它不仅仅是一本教科书，更是一种思维的启迪，让我能够以更广阔的视野去审视计算数学的理论与实践。

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《Functional Analysis in Computational Mathematics》这个书名，给我一种强烈的期待，它承诺的是一种更加本质和深刻的理解，而不是停留在肤浅的技巧层面。泛函分析，作为现代数学的核心之一，其概念如 Banach空间、 Hilbert空间、算子代数等，为我们描述和分析各种数学对象提供了强大的语言。而计算数学，则是将这些抽象概念转化为具体算法的艺术。我特别想了解书中是如何利用泛函分析中的“核”和“积分算子”来理解和设计数值方法的。许多数值方法，例如卷积的快速算法、积分方程的数值解法，其核心都与核函数以及由核函数定义的积分算子密切相关。泛函分析提供了研究这些算子性质（如谱特性、紧性）的强大工具，这对于分析这些数值方法的收敛性、稳定性和精度至关重要。我希望书中能够展示，如何利用谱分解理论来理解和设计快速傅里叶变换（FFT）及其在信号处理和科学计算中的应用，或者如何利用算子方程的理论来分析求解Fredholm积分方程的数值方法的收敛性。这本书的出现，对于我来说，是弥合理论与实践鸿沟的重要一步，它让我看到，那些我曾使用的数值工具，原来是建立在如此深邃而优美的数学理论之上。

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这本《Functional Analysis in Computational Mathematics》对我而言，提供了一个全新的视角来审视那些我曾以为只是“工程技巧”的数值方法。泛函分析的抽象性常常让人觉得遥不可及，而计算数学则更侧重于“能用”和“高效”。这本书似乎在其中架起了一座桥梁，让我看到了理论的深度如何滋养实用方法的创新。我特别期待书中能够深入探讨“投影”在数值方法中的作用。在泛函分析中，正交投影是将一个向量映射到子空间的最优逼近，而这一思想在计算数学的诸多领域都有着广泛的应用。例如，在有限元方法中，将连续域上的问题投影到由基函数构成的有限维子空间上，是构造代数方程组的核心步骤。在求解大型线性系统时，投影法（如Krylov子空间法）通过在不断增大的子空间上投影残差，来逐步逼近真实解。我希望书中能够详细阐述，如何从泛函分析的投影定理出发，推导出这些数值方法的理论依据，分析它们在不同空间中的表现，以及如何通过选择合适的投影子空间来优化计算效率和精度。此外，书中关于算子方程的理论，也让我充满期待。许多复杂的问题，如积分方程、反演问题、控制问题等，都可以归结为求解一个算子方程。泛函分析提供的各种迭代法、近似方法以及稳定性分析工具，对于有效地求解这些算子方程至关重要。这本书，或许能让我理解，数值计算并非简单的“试错”，而是建立在深厚数学原理之上的智慧结晶。

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我被这本书《Functional Analysis in Computational Mathematics》的书名深深吸引，它所代表的是一种融合而非割裂的数学思想。在许多传统教材中，泛函分析常常被置于纯理论的象牙塔中，与解决实际计算问题的方法论显得格格不入。然而，这本书似乎有意打破这种隔阂，试图勾勒出二者之间深刻而有力的联系。我尤其关注书中对“逼近”和“收敛”这两个概念的处理。在计算数学中，我们常常需要用有限的离散数据来逼近连续的数学对象，用有限步的迭代来逼近精确解。而泛函分析，恰恰为理解和量化这种逼近和收敛提供了坚实的理论基础。例如，书中可能详述了如何利用函数空间的范数来衡量误差的大小，如何利用紧性、完备性等概念来保证序列的收敛性，以及如何利用逼近论中的各种不等式来给出误差的上界。这对于理解有限差分、有限元、谱方法等数值方法的精度和稳定性分析至关重要。我期待书中能够展示，例如，如何利用算子范数的性质来分析线性方程组迭代法的收敛速度，如何利用Sobolev空间和嵌入定理来分析有限元方法的解的存在性和正则性，以及如何利用最佳逼近理论来理解多项式插值和逼近的误差。这本书的价值在于，它不仅教授我们如何“计算”，更重要的是，它让我们理解“为什么能计算”、“计算到何种程度是可靠的”，为我们提供了理论上的“定海神针”。

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这本书《Functional Analysis in Computational Mathematics》的书名，精准地触及了我一直以来关注的一个研究方向：如何为计算数学打下坚实的理论基础，使其不再仅仅是“工程实践”，而是具有科学的严谨性。泛函分析，以其对无穷维空间的研究，为我们理解许多复杂的数学模型提供了抽象而有力的框架。而计算数学，则致力于将这些抽象模型转化为可操作的算法。这本书似乎在这两者之间搭建了一座至关重要的桥梁。我尤其对书中可能涉及的“变分原理”和“正则化方法”非常感兴趣。许多物理和工程问题，尤其是那些本身就带有不适定性（ill-posedness）的逆问题，直接应用数值方法往往难以获得稳定可靠的解。泛函分析中的变分原理，如能量最小化原理，为我们提供了一种将问题转化为寻找某个泛函极值的思路，而计算数学则可以通过求解相应的欧拉-拉格朗日方程或利用数值优化技术来逼近这个极值。另一方面，正则化方法，如Tikhonov正则化，其数学基础也常常建立在泛函分析的概念之上，通过引入正则化项来“惩罚”过于“粗糙”的解，从而使问题变得适定。我希望书中能够详细阐述，如何从泛函分析的角度来理解和设计这些变分方法和正则化技术，以及它们在图像重建、反演问题、机器学习等领域的应用。这本书的价值在于，它能够帮助我理解，看似繁琐的数值算法背后，往往蕴含着深刻的数学思想，而这些思想，正是泛函分析所赋予的。

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坦白说，在拿起这本书之前，我对“计算数学”这个词的理解还停留在基础的数值方法层面，比如有限差分、有限元等，而“泛函分析”对我来说，更是遥远而抽象的理论殿堂。所以，当我在书架上看到《Functional Analysis in Computational Mathematics》时，我的第一反应是有些犹豫，觉得这可能是一本门槛极高的书，需要深厚的数学功底才能读懂。然而，当我翻开第一页，我惊喜地发现，作者似乎并没有一开始就抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是以一种循序渐进的方式，将读者引入到这个奇妙的交叉领域。我喜欢书中对基本概念的细致讲解，比如度量空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等，它们不再是枯燥的数学术语，而是被赋予了生动的几何意义和直观的理解。作者通过巧妙的类比和图示，帮助我理解了无穷维空间的特性，以及为什么我们需要泛函分析的工具来处理它们。更令我印象深刻的是，书中并没有仅仅停留在理论层面，而是非常注重这些理论在计算数学中的实际应用。我看到了如何利用Banach不动点定理来证明迭代算法的收敛性，如何利用Riesz表示定理来理解和构造求解偏微分方程的有限元方法，以及如何利用H-L积分表示定理来分析函数逼近的误差界。这些例子让我茅塞顿开，原来那些在计算过程中看似理所当然的收敛性和精度保证，背后都有着如此深刻的数学理论支撑。这本书让我重新认识到了数学的统一性，以及理论与实践之间紧密的联系，它不仅仅是一本技术手册，更是一本启迪思维的读物。

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这本《Functional Analysis in Computational Mathematics》的书名本身就充满了吸引力，它巧妙地将两个似乎有些距离的领域——泛函分析和计算数学——融合在一起。泛函分析，作为现代数学的一个重要分支，以其严谨的抽象和深邃的理论，为理解无穷维空间中的各种结构提供了强大的工具。而计算数学，则是将这些理论转化为实际可解的算法，解决现实世界中科学和工程问题的关键。我一直对如何将抽象的数学思想应用于解决复杂的计算难题感到好奇，这本书恰好满足了我这种求知欲。它似乎不仅仅是简单地罗列泛函分析的定理和计算数学的算法，而是要深入探讨它们之间的内在联系，揭示泛函分析的原理如何指导计算方法的构造，以及计算方法又如何为泛函分析的研究提供新的视角和工具。想象一下，利用泛函分析中诸如收敛性、存在性、唯一性等概念来设计和分析数值算法的收敛性和稳定性，或者利用算子理论来理解和解决偏微分方程的数值解法，这本身就是一件令人兴奋的事情。我期待书中能够清晰地阐述这些概念，并通过具体的例子来展示它们在实际计算中的应用。例如，如何将一个复杂的积分方程转化为一个在希尔伯特空间中的算子方程，然后利用迭代法或投影法来逼近其解，其过程的理论基础必然离不开泛函分析的深刻洞察。我尤其感兴趣的是，书中是否会讨论一些前沿的研究方向，比如机器学习中的核方法、深度学习的理论基础与泛函分析的联系，或者是求解大规模稀疏线性系统的迭代算法是如何借鉴了泛函分析中的算子谱理论。这本书的出现，无疑为那些希望在理论深度和应用广度上都有所建树的研究者和学生提供了一个宝贵的学习平台，它有望填补理论泛函分析与实际计算方法之间的鸿沟，开启新的研究思路。

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当我在书架上看到《Functional Analysis in Computational Mathematics》时，我立即感受到了它的独特魅力。它将两个原本可能被视为相互独立的领域——抽象的泛函分析和实用的计算数学——巧妙地融合在一起。我一直对如何将抽象的数学思想转化为具体的计算解决方案感到着迷，而这本书似乎正是为此而生。我特别期待书中能够详细阐述“测度论”和“概率论”在计算数学中的应用，因为泛函分析中的许多概念，如Lp空间，都与测度论息息相关。这些工具对于理解和分析随机过程的数值模拟（如蒙特卡洛方法）、统计推断以及机器学习中的概率模型至关重要。我希望书中能够展示，如何利用测度论来严格定义和处理概率空间，如何利用泛函分析的工具来分析随机变量的期望、方差等统计量，以及如何在计算过程中控制这些统计量的误差。例如，在金融建模中，蒙特卡洛方法被广泛用于风险评估和期权定价，其理论基础就离不开测度论和泛函分析。这本书，或许能够帮助我理解，为何在处理复杂的随机系统时，我们需要如此强大的数学工具，以及这些工具是如何指导我们设计出高效且可靠的数值算法。

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