Mathematical Modelling and Computers

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出版者:Prentice Hall
作者:Samuel L.S. Jacoby
出品人:
页数:0
译者:
出版时间:1980-02
价格:0
装帧:Hardcover
isbn号码:9780135615553
丛书系列:
图书标签:
  • 数学建模
  • 计算机应用
  • 数值分析
  • 算法
  • 模拟
  • 优化
  • 科学计算
  • 高等教育
  • 理工科
  • 模型构建
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具体描述

深入探索计算科学与数学建模的前沿交汇 书名:计算数学方法与应用 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角,探讨现代计算数学领域的核心理论、关键算法及其在解决复杂科学与工程问题的实际应用。本书的结构设计兼顾理论的严谨性与实践的可操作性,特别注重将抽象的数学概念转化为高效的数值实现。 第一部分:数值分析基础与误差理论 本部分首先奠定坚实的数学基础。我们将从数值分析的基本概念入手,详细阐述浮点运算的精度、舍入误差、截断误差的来源与控制。重点讲解误差传播理论,这对理解大型计算的可靠性至关重要。随后,深入探讨函数逼近的经典方法,包括多项式插值(如牛顿插值、拉格朗日插值)的稳定性和Runge现象;重点介绍样条插值,特别是三次样条,分析其在光滑度和局部控制方面的优势,并提供详细的构造算法。此外,还涵盖了最小二乘拟合,不仅限于线性模型,还将拓展到非线性最小二乘问题,介绍高斯-牛顿法和列文伯格-马夸特算法在数据拟合中的应用。 第二部分:线性代数方程组的求解 线性系统是科学计算的基石。本部分将系统梳理直接求解方法和迭代求解方法。在直接法方面,我们将详尽分析高斯消元法、LU分解、Cholesky分解(针对对称正定系统)的计算复杂度和数值稳定性。特别关注如何通过行主元选择等策略来增强算法的鲁棒性。在迭代法方面,本书投入了大量篇幅讨论雅可比法、高斯-赛德尔法,并深入研究了现代高效迭代法,如共轭梯度法(CG)、广义最小残量法(GMRES)和双共轭梯度法(BiCGSTAB)。我们将分析这些方法的收敛性条件、预处理技术(如代数多重网格预处理Preconditioning)对加速收敛的关键作用,并通过具体的算例演示不同预处理策略的效果对比。 第三部分:特征值问题的数值计算 特征值问题 $mathbf{Ax} = lambda mathbf{x}$ 在动力学、量子化学和结构分析中扮演核心角色。本书系统地介绍了求解大型稀疏矩阵特征值的算法。重点讲解幂迭代法及其变种(如反幂迭代法),用于寻找最大或最小特征值。对于全矩阵或密集矩阵,详细剖析QR算法的原理,包括使用Hessenberg变换进行预约简,并探讨带漂移和Shift技术如何优化QR算法的效率。对于需要计算少数特征对的场景,本书将介绍Lanczos迭代法,分析其在构建Krylov子空间方面的强大能力及其在稀疏矩阵计算中的优势。 第四部分:常微分方程的数值积分 本部分专注于描述时间演化系统的数学工具。首先引入单步法,如欧拉法(前向、后向)和Runge-Kutta(RK)方法,特别是经典的四阶RK法,并分析其局部截断误差和全局误差。随后,深入探讨多步法,包括Adams-Bashforth(显式)和Adams-Moulton(隐式)公式,对比它们的效率和稳定性边界。一个关键的章节将专门讨论刚性(Stiffness)问题,解释刚性系统的特征,并介绍专门用于刚性方程的隐式方法,如BDF(Backward Differentiation Formulae),分析了这些方法在保持稳定性的同时如何处理大幅变化的尺度。此外,还将简要介绍自适应步长控制的算法实现,以在保证精度的前提下优化计算资源。 第五部分:偏微分方程的数值方法 偏微分方程(PDEs)是描述物理现象的主流模型。本书选择并深入探讨三种主流的数值方法: 1. 有限差分法(FDM):侧重于理解离散化过程,如何构造高阶差分近似,以及如何处理不同边界条件的离散化。我们将以二维泊松方程为例,展示FDM的构建过程及其与迭代求解器的联系。 2. 有限元法(FEM):作为现代工程计算的核心工具,FEM的理论阐述更为细致。内容涵盖变分原理、形函数(Shape Functions)的构造(特别是线性与二次单元)、单元刚度矩阵的集成,以及在非结构化网格上的应用。重点分析P-收敛性与H-收敛性的区别。 3. 有限体积法(FVM):特别适用于守恒律问题,如流体力学。我们将解释通量计算、积分形式的离散化,并讨论TVD(Total Variation Diminishing)格式在抑制数值振荡中的作用。 第六部分:优化与反问题的数值求解 本部分聚焦于寻找最优解或从观测数据中恢复系统参数。在无约束优化方面,详细讲解了梯度下降法的局限性,并重点介绍二阶方法,如牛顿法、拟牛顿法(BFGS, DFP)的推导与实际应用。对于约束优化,本书介绍了拉格朗日乘数法及其在等式约束问题中的应用,并介绍序列二次规划(SQP)作为解决非线性约束问题的强大工具。在反问题部分,我们将分析病态性(Ill-posedness),介绍Tikhonov正则化理论,并讨论如何通过选择合适的正则化参数来平衡拟合误差与解的稳定性。 目标读者 本书适合于物理学、工程学、计算机科学、应用数学及相关领域的本科高年级学生、研究生以及需要深入理解和应用数值计算方法的工程技术人员。阅读本书需要具备微积分、线性代数和基础概率论的知识。书中穿插了大量的算法伪代码和对计算复杂度的讨论,旨在培养读者从理论推导到高效软件实现的全面能力。

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读后感

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用户评价

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**评价十:** 这本书简直是一场思想的盛宴,它以一种极其精妙的方式,将数学的抽象魅力与计算机的实用力量融为一体。我从书中不仅仅获得了解决具体问题的技术方法,更重要的是,我领悟到了“建模思维”的核心价值。作者在书中将数学建模的构建过程,从问题定义、假设设定、方程建立,到数值求解、结果解释,都进行了清晰而全面的阐述。我尤其欣赏书中对“模型比较与选择”的讨论,它让我明白在面对复杂问题时,如何权衡不同模型的优缺点,并选择最适合当前需求的工具。书中涵盖的领域之广泛,从物理学中的流体动力学模拟,到生物学中的基因组分析,再到金融学中的风险建模,每一个案例都充满了启发性。对于计算机科学的专业人士而言,书中关于数值分析、并行计算以及分布式计算在模型求解中的应用,都提供了宝贵的见解。例如,书中对GPU加速在复杂模型计算中的应用的介绍,让我看到了提升计算效率的巨大潜力。此外,书中对“模型误差分析”的深入探讨,也让我能够更客观地评估模型结果的准确性和可靠性。这本书为我提供了一个全面学习和深入理解数学建模与计算机应用相结合的宝贵平台,其内容之深刻,见解之独到,让我赞叹不已。

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**评价二:** 初次接触《Mathematical Modelling and Computers》这本书,我便对其结构之精巧和内容之丰富感到惊叹。书中并非一味地罗列枯燥的数学公式或晦涩的计算机算法,而是巧妙地将两者融为一体,展现了强大的协同效应。作者以其独特的视角,引导读者深入理解如何运用数学的语言来描述现实世界,再借助计算机强大的计算能力来模拟、分析和预测。从物理学的基本定律到经济学的复杂系统,从环境科学的保护策略到医学研究的疾病传播模型,书中涉及的领域之广,让我为之侧目。我特别喜欢书中对“模型”这一概念的深刻阐释,它不仅仅是数学表达式的集合,更是对现实世界的高度抽象和简化,其背后的哲学思考和方法论的严谨性,都值得反复揣摩。作者在介绍各种建模技术时,并没有止步于表面,而是深入挖掘其背后的数学原理和算法实现。例如,在讨论微分方程模型时,书中详细介绍了数值求解方法的优劣,以及如何选择最适合特定问题的算法。对于计算力学的读者而言,书中关于有限元分析的章节,无疑是一份宝贵的参考资料,其中对离散化技术、插值函数选择以及边界条件的设置等关键环节的深入剖析,极具指导意义。书中还强调了可视化在理解模型结果中的重要性,提供了多种将抽象数据转化为直观图形的方法,这对于模型的解读和沟通至关重要。整本书的叙事流畅,论证严密,逻辑清晰,为我提供了一个系统学习和深入理解数学建模与计算机应用相结合的绝佳平台。

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**评价八:** 当我翻开《Mathematical Modelling and Computers》这本书时,我立刻被其内容的前瞻性和实用性所吸引。它不仅仅是一本关于数学建模的书,更是关于如何利用强大的计算工具来理解和改造世界的指南。作者以其卓越的洞察力,将抽象的数学理论与生动的计算机应用巧妙地结合起来,为读者呈现了一个广阔的科学视野。书中对不同学科领域建模方法的详尽介绍,从物理科学的微分方程模型,到生命科学的概率模型,再到社会科学的网络模型,都让我大开眼界。我尤其欣赏书中对“模型验证和校准”这一环节的深入讲解。作者强调了模型的有效性不仅取决于其理论基础,更在于其能否准确地描述和预测现实数据,并提供了一系列实用的方法来评估模型的质量。对于计算机科学的爱好者而言,书中关于数值方法、算法优化以及并行计算的阐述,无疑是宝贵的财富。例如,书中对有限差分法和有限元法在偏微分方程求解中的应用的详细讲解,让我对这些强大工具有了更深刻的理解。作者对“模型鲁棒性”的关注,也让我意识到在复杂系统中,模型需要能够经受住各种扰动和不确定性的考验。总而言之,这本书为我提供了一个全面的平台,让我能够系统地学习和掌握数学建模与计算机应用的精髓,并激发了我将其应用于实际问题的强烈愿望。

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**评价三:** 《Mathematical Modelling and Computers》这本书给我带来的冲击是深远的。它突破了传统学科的界限,将数学的严谨性与计算机的灵活性完美地融合在一起。我从书中不仅学到了如何构建数学模型,更重要的是,我理解了如何运用这些模型来解决实际问题。作者在开篇就提出了“模型思维”的重要性,强调了在面对复杂问题时,构建一个简化的、可操作的模型是解决问题的关键第一步。书中对不同类型模型的分类和介绍,从统计模型到动力学模型,从优化模型到仿真模型,都为我提供了一个清晰的框架来理解和选择合适的建模工具。我尤其欣赏书中对案例研究的深度分析,每一个案例都详细阐述了从问题定义、模型构建、参数估计到结果解释的全过程。例如,书中对传染病传播模型的讨论,不仅涵盖了SIR、SEIR等经典模型,还深入探讨了如何结合地理信息系统和社交网络数据来提高模型的预测精度。对于计算机科学家而言,书中关于高性能计算在模型求解中的应用,以及并行计算和分布式计算的原理,都极具价值。作者对算法效率和可扩展性的关注,也让我意识到在处理大规模数据和复杂模型时,计算资源的优化至关重要。书中还对模型的不确定性和敏感性分析进行了详尽的阐述,这对于理解模型结果的可靠性和局限性至关重要。总而言之,这本书为我提供了一个全新的视角来审视和解决科学和工程领域中的挑战,其内容之丰富、思想之深刻,令我受益匪浅。

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**评价七:** 《Mathematical Modelling and Computers》这本书,在我看来,更像是一本通往解决世界难题的“工具箱”。它并非高高在上地陈列着深奥的理论,而是以一种极其务实和富有启发性的方式,展示了如何将数学的严谨性与计算机的计算能力相结合,来应对现实世界中的种种挑战。书中对数学建模的阐述,不仅仅停留在公式的堆砌,而是深入到模型构建的逻辑、假设的合理性,以及如何根据问题的性质选择最合适的数学工具。从物理学的基本规律到生物学的复杂系统,从工程学的优化设计到经济学的预测分析,作者通过大量精选的案例,将抽象的数学概念转化为解决具体问题的有力武器。我尤其欣赏书中对“不确定性分析”的深入探讨,它让我认识到任何模型都存在局限性,而理解和量化这些不确定性,是做出可靠决策的关键。对于计算机科学的学生和从业者而言,书中关于数值算法的详细介绍,特别是对各种方法的优劣势的对比分析,以及如何利用现代计算架构来加速模型求解,都提供了宝贵的参考。例如,书中对蒙特卡洛模拟在风险评估和复杂系统仿真中的应用的阐述,让我看到了其强大的潜力。此外,书中对模型可解释性和可复现性的强调,也为我指明了未来研究的方向。这本书让我深刻理解了数学建模不仅仅是科学研究的手段,更是驱动技术创新和解决社会问题的关键力量。

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**评价九:** 《Mathematical Modelling and Computers》这本书,如同一个精心编织的知识网络,将数学的逻辑之美与计算机的计算之能融为一体。它让我深刻理解了数学建模并非仅仅是理论的推演,更是解决现实世界复杂问题的强大引擎。书中对各种建模技术和应用领域的深入剖析,让我看到了数学语言在描述和理解自然、社会以及工程现象中的普遍性。我尤其欣赏书中对“模型可扩展性”的探讨,它关注如何在处理日益增长的数据量和复杂度时,保持模型的有效性和计算效率。作者在介绍数学模型时,并没有止步于理论层面,而是着重于如何通过计算机实现和求解,并详细介绍了各种数值算法的原理、优缺点以及适用场景。例如,书中对优化算法的讲解,包括线性规划、非线性规划以及启发式算法,让我看到了如何通过数学方法来寻找最佳解决方案。此外,书中对“模型可视化”的强调,也让我认识到清晰、直观地展示模型结果,对于沟通和决策的重要性。这本书为我提供了一个系统学习和深入理解数学建模与计算机应用相结合的绝佳机会,其内容之丰富,逻辑之严谨,让我受益匪浅。

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**评价四:** 这本书简直是一次令人兴奋的智力冒险。它如同一座桥梁,连接了抽象的数学世界和生动的计算现实。从阅读的第一页开始,我就被书中对数学建模的深刻洞察力所吸引。作者不仅仅是展示公式和算法,更是传授一种解决问题的方法论。他深入浅出地解释了为何数学模型如此重要,以及如何通过计算机的力量将其转化为解决现实世界复杂问题的强大工具。书中涵盖的领域极其广泛,从天体物理学的宇宙演化模拟到生物工程的基因序列分析,再到交通系统的流量优化,每一个章节都充满了引人入胜的案例。我尤其喜欢书中对“模型简化”的讨论,作者强调了在保留核心特征的同时,如何有效地忽略不必要的细节,从而构建出既有解释力又易于计算的模型。对于计算机科学的读者来说,书中关于数值分析、优化算法以及人工智能在建模中的应用,都提供了宝贵的见解。例如,书中对机器学习在参数估计和模型校准中的作用的探讨,让我看到了未来建模技术的发展方向。作者对模型鲁棒性和不确定性量化的强调,也让我意识到了模型结果的局限性,以及如何更加审慎地解读和应用这些结果。整本书的语言流畅,逻辑清晰,结构严谨,为我提供了一个全面了解和掌握数学建模与计算机应用相结合的绝佳途径。它不仅仅是一本技术手册,更是一部启迪智慧的书籍。

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**评价一:** 这本书的封面设计就极具吸引力,深邃的蓝色背景中,抽象的数学图形与流动的计算机代码交织在一起,仿佛预示着一场跨越学科的智慧探索。翻开书页,我被其内容前沿性深深吸引。作者在开篇便清晰地阐述了数学建模在解决复杂现实问题中的核心地位,并深入剖析了现代计算技术如何以前所未有的方式赋能这一过程。我尤其欣赏书中对不同领域建模案例的细致呈现,从生物系统的动态演化到金融市场的风险预测,再到工程设计的优化方案,每一个案例都不仅仅是理论的堆砌,更是将抽象的数学语言转化为具象的解决方案。作者并非简单地罗列公式,而是着重于解释模型构建的逻辑、假设的合理性、以及计算方法选择的依据。书中对各种数值算法的介绍,如有限元法、蒙特卡洛模拟等,都以一种深入浅出的方式呈现,即使是初学者也能逐步理解其精髓。更令人称道的是,书中对模型验证和不确定性分析的讨论,这在许多同类书籍中往往被忽视。作者强调了模型结果的可靠性,并提供了一系列实用的方法来评估模型的精度和鲁棒性。这种对细节的关注,让整本书的学术严谨性大大提升。此外,书中穿插的对最新研究进展的介绍,也为我打开了新的视野,让我了解到数学建模和计算机科学结合的无限可能,并激发了我进一步深入研究的兴趣。这不仅仅是一本书,更像是一扇通往解决世界难题的科学大门。

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**评价五:** 《Mathematical Modelling and Computers》是一本让我茅塞顿开的书。它深刻地揭示了数学建模作为一种通用语言,如何能够被计算机强大的处理能力所驱动,从而解决我们面临的各种挑战。书中的内容之广泛,从基础的微积分和线性代数在模型构建中的应用,到高级的数值方法和并行计算在模型求解中的技巧,都得到了详尽的阐述。作者在阐述理论的同时,非常注重实际应用的落地,大量的案例研究让我能够清晰地看到数学模型是如何被转化为解决现实问题的具体方案的。我尤其欣赏书中对“仿真”这一概念的深入探讨,作者详细讲解了如何通过计算机模拟来预测系统行为、评估不同策略的效果,以及优化系统参数。例如,书中对天气预报模型的介绍,让我看到了如何在庞大的数据和复杂的动力学方程之间找到平衡,从而做出相对准确的预测。对于对算法感兴趣的读者,书中关于离散化方法、误差分析以及迭代算法的讲解,都非常具有启发性。作者对计算效率和资源利用的关注,也让我意识到在实际应用中,选择合适的算法和优化计算过程的重要性。书中还对模型的解释性和可解释性进行了探讨,这对于我们理解模型背后的原理,以及如何将模型结果有效地传达给非专业人士至关重要。总而言之,这本书为我提供了一个系统学习和深入理解数学建模与计算机应用相结合的宝贵资源,其内容之丰富、见解之独到,让我受益匪浅。

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**评价六:** 这本书如同一扇窗户,让我窥见了数学与计算机科学结合的无限可能。它并非仅仅是一本教科书,更像是一次启发式的探索之旅。作者以其深厚的学术功底和清晰的逻辑思维,引导读者深入理解数学模型在解决复杂问题中的核心作用。从理论的建立到计算的实现,这本书都给予了全面的指导。我尤其欣赏书中对“模型验证”这一环节的重视,作者详细阐述了如何通过实验数据和对比分析来评估模型的准确性和可靠性。这对于避免模型被误用和过度依赖至关重要。书中涉及的领域非常广泛,从微观的分子动力学模拟到宏观的社会经济系统分析,每一个案例都充满了启发性。我特别喜欢书中对“灵敏度分析”的讨论,这让我更加深入地理解了模型中各个参数对结果的影响,并能据此进行更合理的参数选择和模型改进。对于计算机专业的读者,书中关于数值计算库的使用、并行计算的原理以及高性能计算平台在模型求解中的应用,都提供了非常实用的信息。作者对代码优化和效率提升的关注,也让我意识到在实际应用中,如何高效地利用计算资源的重要性。书中对模型的可视化和结果呈现的探讨,也让我看到了如何将复杂的模型结果以一种直观易懂的方式传达给更广泛的受众。这本书为我提供了一个全面的视角来理解和掌握数学建模与计算机应用的精髓,其内容之深刻,见解之独到,让我赞叹不已。

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