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出版者:

作者:Hugh Henderson

出品人:

页数:396

译者:

出版时间:2009-3

价格:152.00元

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isbn号码:9781419552649

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进阶数学：深度剖析与解题策略 一本致力于全面提升高中生微积分、线性代数及离散数学核心能力的权威指南。 本书目标读者： 渴望在大学阶段深入学习STEM领域，对高阶数学概念有强烈求知欲，并希望在未来学术和职业生涯中取得卓越成就的高中生、预科生及自学者。 --- 导言：超越基础，拥抱严谨 在当前的学术竞争格局中，扎实的微积分基础、对矩阵世界的理解以及对离散结构逻辑的掌握，已成为通往顶尖理工科院校的敲门砖。本书并非对标准化考试的简单复盘，而是旨在为读者构建一个坚实而广阔的数学思维框架，为大学阶段的专业学习做好充分准备。我们将循序渐进，从概念的起源讲起，深入探讨其内在逻辑，并辅以大量的、具有挑战性的例题与习题，确保读者不仅“知道”如何解题，更能“理解”为何如此解题。 --- 第一部分：微积分的精妙世界 (Calculus: The Realm of Change) 本部分将引导读者穿越导数与积分的恢弘殿堂，深入理解极限背后的深刻含义，并将其应用于解决实际问题。 第一章：极限与连续性：变化的基石 1.1 $epsilon-delta$ 语言的严谨性： 不仅仅是公式，更是对“无限接近”的精确量化。我们将详细解析极限的正式定义，并进行初级和中级的 $epsilon-delta$ 证明练习，培养对数学严密性的直觉。 1.2 导数的几何与物理意义： 从切线斜率到瞬时变化率的过渡。探讨瞬时速度、加速度的精确计算，并引入比率问题的求解技巧。 1.3 连续性与中值定理： 深入探讨介值定理（IVT）和罗尔定理。着重讲解均值定理（MVT）在证明和不等式求解中的核心作用。 第二章：微分的艺术与技巧 2.1 链式法则的深度应用： 不仅是多层函数的求导，更涉及隐函数求导、参数方程求导及其在物理系统（如角速度、加速度的相互转换）中的应用。 2.2 高阶导数与曲率： 理解二阶导数在确定函数凹凸性及拐点上的不可替代性。引入曲率半径的概念，为理解更复杂的运动轨迹打下基础。 2.3 泰勒与麦克劳林级数： 将复杂函数拆解为多项式的艺术。详解级数的收敛半径、收敛区间判断（Ratio Test, Root Test），并示范如何利用级数精确估计超越函数的值。 第三章：积分的累积与应用 3.1 定积分的黎曼和基础： 追溯定积分的本质——无穷多个矩形的面积之和。理解左、右、中点黎曼和的误差分析。 3.2 牛顿-莱布尼茨公式的跨越： 熟练掌握各种反导数技巧（换元法、分部积分法、三角代换法、部分分式分解）。 3.3 积分的应用拓展： 面积与体积的计算（圆盘法、洗盘法、壳层法）。同时，引入更高级的主题，如：变力做功、平均值定理的应用、以及质心和转动惯量（仅概念介绍，不涉及复杂积分运算）。 --- 第二部分：线性代数的思维基石 (Linear Algebra: Structures of Data) 本部分侧重于理解向量空间、矩阵运算背后的几何意义和代数结构，为理解多元微积分和计算机科学中的数据表示奠定基础。 第四章：矩阵与线性方程组的解析 4.1 矩阵运算的代数结构： 矩阵加法、乘法的几何解释（线性变换的复合）。重点解析矩阵乘法的非交换性及转置的性质。 4.2 线性方程组的求解： 深入探讨高斯消元法和高斯-约旦消元法，理解行阶梯形和简化行阶梯形。 4.3 行列式（Determinants）： 几何意义——体积或面积的缩放因子。熟练掌握代数求法，并理解其与矩阵可逆性的紧密关系。 第五章：向量空间与线性变换 5.1 向量空间的基石： 详细定义线性组合、张成（Span）、线性无关（Linear Independence）。这是理解所有高级数学结构的核心。 5.2 基底与维度： 如何找到向量空间的“坐标系”。理解子空间的交集与和空间的维度公式。 5.3 线性变换与矩阵表示： 任何线性变换都可以被一个矩阵表示。探讨变换的核（Null Space）和值域（Column Space），理解秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 第六章：特征值与特征向量：系统的本质 6.1 特征分解的直观理解： 哪些向量在经过特定变换后只被拉伸或压缩，而不改变方向？ 6.2 特征值的求解与对角化： 求解特征多项式，并学习如何将矩阵对角化，这对于计算矩阵的幂次或微分方程的解至关重要。 6.3 相似矩阵与应用展望： 了解相似变换对特征值和特征向量的影响，为后续学习动力系统打下基础。 --- 第三部分：离散数学的逻辑骨架 (Discrete Mathematics: Logic and Structure) 本部分关注有限和可数对象的结构、关系和计算过程，是现代计算机科学理论的基石。 第七章：逻辑与证明的艺术 7.1 命题逻辑与谓词逻辑： 真值表、逻辑等价性、量词的正确使用。 7.2 核心证明技术： 系统性地训练直接证明、反证法、逆否命题法，并深入讲解数学归纳法在证明中的应用，包括强归纳法。 第八章：集合论与计数原理 8.1 集合的运算与关系： 笛卡尔积、幂集、容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）的复杂应用。 8.2 排列组合的深入分析： 理解“有放回/无放回”、“可区分/不可区分”等条件对公式选择的影响。帕斯卡三角与二项式定理的结合使用。 第九章：图论基础 9.1 图的基本概念： 顶点、边、度数、连通性。欧拉路径与哈密顿回路的存在性判据。 9.2 树结构： 树的特性、生成树的概念及其在网络优化中的初步应用。 --- 结语：融汇贯通，面向未来 本书的最终目标是培养读者在不同数学分支之间建立联系的能力。微积分描述了连续世界的规律，线性代数提供了处理多维空间的工具，而离散数学则构建了逻辑计算的骨架。掌握这些工具，将使读者在面对任何量化挑战时，都能从容不迫，游刃有余。 （本书内容全部基于上述三个高等数学领域，不涉及任何特定考试的题型、评分标准或应试技巧。）

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我真心推荐 Kaplan SAT Subject Test 这本书给所有正在备考 SAT Subject Test 的学生。这本书的编排非常科学，知识点的讲解由浅入深，层层递进。我个人尤其喜欢它在讲解过程中，穿插的各种学习技巧和备考建议，这些内容都非常实用，能够帮助我更有效地学习和记忆。而且，书中的习题质量非常高，能够帮助我很好地检验学习效果，并且及时发现自己的不足。

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对于任何一个认真对待 SAT Subject Test 的学生来说，Kaplan SAT Subject Test 这本书都是一份不可多得的宝藏。它不仅仅是一本教材，更是一种备考策略的体现。书中对考试的各个方面都进行了细致的分析，包括题型、考点、解题技巧等等。我尤其欣赏它在讲解过程中，穿插了许多关于如何避免常见错误和提高答题效率的建议。这些建议都非常实用，并且在我实际的练习中起到了关键作用，帮助我节省了不少宝贵的时间，并且提高了我的准确率。

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老实说，备考 SAT Subject Test 这件事，一开始让我感到有些不知所措。知识点繁多，考试形式也相对陌生。但是，当我入手了 Kaplan SAT Subject Test 这本书，我的担忧顿时消散了不少。这本书的设计真的非常人性化。它以一种非常直观的方式呈现知识，让我能够快速地把握核心概念。而且，书中大量的练习题，让我能够及时检验自己的学习成果，并且针对性地进行查漏补缺。我特别喜欢它在章节末尾设置的总结和回顾部分，这帮助我巩固了之前学习的内容，也为进入下一个章节做好了准备。

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我必须说，Kaplan SAT Subject Test 这本书是我的备考神器。它的内容编排逻辑清晰，循序渐进，不会让你觉得知识过于碎片化。最让我印象深刻的是，书中不仅提供了大量的例题，还设置了模拟考试。这些模拟考试的难度和形式都高度贴合真实的 SAT Subject Test，这让我能够在备考的后期，充分地模拟考试环境，锻炼自己的应试能力和时间管理能力。每次完成模拟考试后，我都会仔细地对照答案，分析自己的失分点，然后回到书中的相应章节进行巩固。

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作为一名正在备考 SAT Subject Test 的学生，我深知选择一本合适的备考教材是多么重要。经过一番搜寻和对比，我最终选择了 Kaplan SAT Subject Test，原因有很多。首先，Kaplan 的品牌声誉在标准化考试备考领域一直享有盛誉，其教材的专业性和权威性毋庸置疑。拿到这本厚重的书，我第一眼就被其清晰的排版和详实的内容所吸引。它不仅仅是一本习题集，更像是一位经验丰富的老师，循序渐进地引导你掌握考试的每一个考点。书中对每个科目的知识点都进行了详尽的梳理和解释，并且用大量易于理解的例子进行阐述，这对于我这种在某些知识点上感到吃力的学生来说，简直是雪中送炭。

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自从我开始翻阅 Kaplan SAT Subject Test 这本书，我就仿佛进入了一个精心构建的知识体系。它不仅仅罗列了你需要掌握的知识点，更重要的是，它教会了我如何去思考，如何去运用这些知识来解决实际问题。书中提供了大量的练习题，这些题目难度适中，覆盖了 SAT Subject Test 的各种题型，并且每一道题都配有详细的解答和分析。我尤其喜欢的是，它不仅仅告诉你答案是什么，更重要的是解释了为什么这个答案是正确的，以及其他选项为什么是错误的。这种深入的解析，让我能够真正理解题目的逻辑，而不是死记硬背。

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这本书的价值不仅仅体现在其内容的翔实程度上，更在于它所传递的备考理念。Kaplan SAT Subject Test 鼓励学生主动思考，而不是被动接受。它通过引导性的提问和深入的分析，激发学生的学习兴趣，培养他们的批判性思维能力。我曾经在某个知识点上感到非常困惑，但通过阅读这本书的相关章节，以及完成配套的练习题，我最终克服了困难，并且对该知识点有了更深刻的理解。

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在备考过程中，我尝试过好几本不同的参考书，但最终还是觉得 Kaplan SAT Subject Test 是最全面、最有效的。这本书在内容的更新和时效性上也做得很好，能够反映 SAT Subject Test 的最新考试动态和趋势。我特别喜欢它在各个章节中设置的“Kaplan Strategy”部分，这些策略不仅仅是简单的解题技巧，而是从宏观层面指导你如何去理解和应对考试。

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使用 Kaplan SAT Subject Test 的这段时间，我最大的感受就是备考过程变得更加有条理和目标性。这本书就像一个 GPS，指引我在备考的道路上不迷失方向。它清晰地划分了学习模块，让我可以根据自己的进度和薄弱环节进行有针对性的复习。而且，书中提供的练习题类型非常丰富，既有基础的巩固性练习，也有拔高性的挑战题，能够满足不同水平学生的需求。

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这本书的优点实在是太多了，让我一时之间不知道从何说起。Kaplan SAT Subject Test 的内容深度和广度都达到了一个非常理想的状态。它既包含了考试所需的必要知识，又在一些重点和难点上进行了深入的挖掘，提供了更深层次的理解。而且，书中对数学公式、科学原理的解释都非常到位，配以图表和示意图，使得抽象的概念变得更加具象化。这对于我这种视觉型学习者来说，帮助非常大。

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