University Calculus, Part One (Single Variable, Chap 1-9) (Chapters 1-9 Pt. 1) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison Wesley

作者:Joel Hass

出品人:

页数:736

译者:

出版时间:2006-06-22

价格:USD 96.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780321454201

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 单变量微积分
• 大学数学
• 高等数学
• Calculus
• 数学分析
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

微积分入门：探索单变量函数的变化与累积 本书旨在为初学者提供一个扎实且全面的微积分基础，重点关注单变量函数。我们深入探讨了微积分的核心概念，从变化率的度量到累积量的计算，引导读者理解数学世界中无数现象背后的深刻原理。本书涵盖了从基础的极限到积分的初步应用，为后续更高级的数学学习奠定坚实的基础。 第一章：函数与图象 本章为读者构建了理解微积分的基石——函数。我们将从最基本的概念入手，定义什么是函数，以及如何用数学语言来描述变量之间的关系。我们将学习函数的表示方法，包括解析法（用公式表示）、列表法（用表格表示）以及图象法（用图形表示）。对函数的定义域和值域的深入理解将帮助读者掌握函数的适用范围和取值范围，这是进行后续分析的关键。 我们还将详细介绍各种常见的初等函数，包括： 多项式函数： 从线性函数 $y = mx + b$ 到二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 以及更高次的多项式，我们将分析它们的图象特征，如斜率、顶点、开口方向等。理解多项式的性质对于分析许多现实世界的模型至关重要。 有理函数： 由两个多项式相除构成的函数，我们将重点关注它们的渐近线（水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线），这些渐近线能够揭示函数在趋向无穷大或无穷小时的行为规律。 指数函数： 形如 $y = a^x$ 的函数，我们将探究其增长或衰减的模式，以及底数 $a$ 对函数性质的影响。指数函数在描述人口增长、放射性衰变等现象中扮演着重要角色。 对数函数： 作为指数函数的反函数，我们将理解对数函数 $y = log_a x$ 的性质，以及常用对数和自然对数的概念。对数函数在处理极大范围的数据和复杂计算时非常有用。 三角函数： 正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等函数，我们将学习它们的周期性、振幅和相位，以及它们在描述周期性现象（如波浪、振动）中的应用。 反三角函数： arc sin, arc cos, arc tan 等，它们是三角函数的逆运算，在求解角度问题时非常重要。 本章还将详细讲解如何绘制函数的图象，包括如何利用函数的性质（如对称性、奇偶性）以及关键点（如截距、极值点）来辅助绘图。我们将学习各种变换（平移、伸缩、反射）对函数图象的影响，这使得我们能够快速描绘出复杂函数的图象。理解函数的图象不仅有助于直观地把握函数的性质，更是理解导数和积分概念的视觉基础。 第二章：极限与连续性 本章是微积分的灵魂所在——极限。我们将从直观的“趋近”概念出发，理解当自变量无限接近某个值时，函数值所趋近的那个“目标值”。我们将学习如何用符号 $lim_{x o c} f(x) = L$ 来表示极限，并探索极限存在的条件。 我们将详细介绍极限的几种基本性质，这些性质是我们进行极限计算的工具： 和、差、积、商的极限法则： 它们告诉我们如何计算由已知极限组合而成的新函数的极限。 常数的极限： 常数函数的极限就是其本身。 恒等函数的极限： $lim_{x o c} x = c$。 常数倍法则： $lim_{x o c} kf(x) = k lim_{x o c} f(x)$。 本章将通过具体的例子，演示如何利用代数技巧（如因式分解、有理化）来求解各种类型的极限，包括当分母趋于零时的情况。我们还将讨论单侧极限（左极限和右极限），以及它们与双侧极限的关系。 更进一步，我们将引入无穷极限和趋近于无穷的极限，这有助于我们理解函数在“远处”的行为，为后面讨论渐近线奠定基础。 在理解极限的概念后，我们将转向连续性。我们将严格定义函数在一点连续的条件： 1. $f(c)$ 有定义。 2. $lim_{x o c} f(x)$ 存在。 3. $lim_{x o c} f(x) = f(c)$。 我们将学习如何判断函数在某一点是否连续，以及在区间上是否连续。我们将探讨不连续点的类型（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点），并学习如何处理由分段函数引起的不连续性。连续函数在微积分中扮演着至关重要的角色，许多重要的定理（如介值定理、最值定理）都建立在函数连续性的基础上。 第三章：导数 本章是微积分的核心动力——导数。我们将从实际问题的出发，例如瞬时速度、曲线的斜率等，来引出导数的概念。导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。 我们将引入导数的定义： $f'(x) = lim_{h o 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ 这个定义被称为差商的极限，它精确地刻画了函数在一点附近的平均变化率趋于零时的极限。我们将学习如何利用导数的定义来计算一些基本函数的导数，例如多项式函数。 然后，我们将系统地介绍求导法则，这些法则使得我们能够高效地计算复杂函数的导数，而无需每次都回到定义： 常数法则： 常数函数的导数为零。 幂函数法则： $frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$。 常数倍法则： $frac{d}{dx}(kf(x)) = kf'(x)$。 和/差法则： $frac{d}{dx}(f(x) pm g(x)) = f'(x) pm g'(x)$。 积法则： $frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。 商法则： $frac{d}{dx}left(frac{f(x)}{g(x)} ight) = frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$。 我们将深入讲解链式法则，它对于求解复合函数的导数至关重要。链式法则允许我们将复杂函数的导数分解为一系列简单函数的导数的乘积。 本章还将介绍一些特殊函数的导数，包括： 指数函数 $e^x$ 的导数： $frac{d}{dx}(e^x) = e^x$，以及一般指数函数 $a^x$ 的导数。 对数函数 $ln x$ 的导数： $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$，以及一般对数函数 $log_a x$ 的导数。 三角函数的导数： sin, cos, tan, cot, sec, csc 等的导数。 反三角函数的导数。 最后，我们将学习高阶导数，即导数的导数。二阶导数在描述函数的弯曲程度（凹凸性）以及分析物体的加速度方面具有重要意义。 第四章：导数的应用 本章将展示导数在解决实际问题中的强大力量。我们将学习如何利用导数来分析函数的性质，并解决各种优化问题。 增减性与极值： 我们将学习如何利用一阶导数的符号来判断函数在某区间上的增减性。当导数为零或不存在的点是临界点。我们将学习如何通过一阶导数检验和二阶导数检验来确定函数的局部极大值和局部极小值。 凹凸性与拐点： 我们将利用二阶导数的符号来判断函数的凹凸性。当二阶导数为零或不存在且符号发生改变的点是拐点。凹凸性描述了函数的弯曲方向，对于理解函数图象的形状至关重要。 函数图象的绘制： 结合一阶导数和二阶导数的信息，我们将能够更精确、更完整地绘制出函数的图象，包括确定函数的增减区间、极值点、凹凸区间和拐点。 优化问题： 许多实际问题都归结为找到某个函数的最大值或最小值。我们将学习如何将实际问题转化为数学模型，然后利用导数来找到最优解。这在经济学（如利润最大化）、工程学（如最小化材料用量）等领域有着广泛的应用。 洛必达法则： 当遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型的不定式极限时，洛必达法则提供了一种强大的求解方法，它利用导数来计算极限。 相关变化率： 我们将学习如何处理两个或多个相关变量变化率之间的关系。例如，当水以一定速率流入一个圆锥形容器时，水面的上升速率是多少？ 牛顿法： 一种迭代算法，利用导数来近似求解方程的根。 第五章：积分 本章将介绍微积分的另一大基石——积分。我们将从计算曲线下面积的问题出发，引出积分的概念。积分是求和的连续形式，它能够计算出累积量。 我们将首先介绍不定积分，也称为原函数。如果 $F'(x) = f(x)$，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。我们将学习不定积分的性质，并掌握一些基本函数的积分公式，例如幂函数、指数函数、三角函数的积分。 积分的线性性质： $int (af(x) + bg(x)) dx = a int f(x) dx + b int g(x) dx$。 积分的常数： 任何函数的原函数都有无数个，它们之间只相差一个常数，因此我们在计算不定积分时要加上积分常数 $C$。 之后，我们将重点讨论定积分。定积分的符号为 $int_a^b f(x) dx$，它表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的累积效应，通常解释为函数图象在 $[a, b]$ 区间上与 x 轴围成的有向面积。 我们将介绍黎曼和的思想，即用一系列矩形面积的近似来计算曲线下面积。黎曼和的极限就是定积分。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理） 是本章的核心。它建立了导数与积分之间的深刻联系： 1. 第一部分： 如果 $F(x) = int_a^x f(t) dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。 2. 第二部分： 如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，那么 $int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。 这个定理极大地简化了定积分的计算，我们不再需要通过黎曼和来计算面积，而是可以直接利用原函数来求解。 本章将通过大量实例，演示如何运用微积分基本定理来计算各种函数的定积分，包括多项式、三角函数、指数函数和对数函数。 第六章：积分的应用 本章将拓展定积分的应用范围，展示它在解决几何和物理问题中的威力。 面积计算： 曲线下面积： 计算函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上与 x 轴围成的面积。 两条曲线之间的面积： 计算两条函数图象所围成的区域的面积。 极坐标下的面积： 计算极坐标方程所描述的区域的面积。 体积计算： 旋转体体积（圆盘法和垫圈法）： 计算由曲线绕 x 轴或 y 轴旋转而成的旋转体的体积。 体积（切片法）： 计算已知横截面形状的立体体积。 弧长计算： 计算曲线在给定区间上的长度。 功的计算： 在物理学中，当力不是恒定时，计算力所做的功。 第七章：积分技巧 为了能够计算更广泛的函数积分，本章将介绍一些重要的积分技巧。 换元积分法（第一类）： 类似于求导时的链式法则，通过变量替换将复杂的积分转化为简单的积分。 分部积分法： 利用乘积的导数公式推导而来，适用于积分乘积形式的函数。 有理函数的积分： 利用部分分式分解的方法，将复杂有理函数分解为更简单的有理函数之和，以便于积分。 三角换元： 对于含有 $sqrt{a^2-x^2}$, $sqrt{a^2+x^2}$, $sqrt{x^2-a^2}$ 等形式的积分，通过三角函数代换来简化积分。 第八章：数列与级数 本章将把微积分的概念从连续函数扩展到离散的数列和无穷级数。 数列： 一系列按顺序排列的数。我们将学习数列的定义、通项公式、递推公式，以及数列的收敛性与发散性。 数列的极限： 当数列的项数趋于无穷大时，数列的项所趋近的值。 无穷级数： 数列的各项相加形成的无穷和。我们将学习级数的收敛性判别方法。 第九章：泰勒级数与幂级数 本章是微积分在近似和逼近方面的强大应用。 幂级数： 形如 $sum_{n=0}^{infty} c_n (x-a)^n$ 的级数，它以 $x$ 的某个值为中心进行展开。幂级数是函数在某点附近的一种“多项式”表示。 收敛半径与收敛区间： 确定幂级数收敛的 $x$ 的范围。 泰勒级数与麦克劳林级数： 通过函数及其各阶导数在某一点的值，将函数表示成一个幂级数。泰勒级数是近似表示任意可微函数的一种强大工具，它能够用多项式来逼近复杂的函数，从而简化计算和分析。我们将学习如何构造常见函数的泰勒级数，以及如何利用泰勒级数来近似计算函数值、求极限以及求解微分方程。 本书通过清晰的讲解、丰富的例题和逐步深入的练习，旨在培养读者对微积分概念的深刻理解和解决问题的能力。我们相信，通过对这些章节的学习，读者将能够掌握单变量微积分的核心知识，并为进一步探索更广阔的数学天地打下坚实的基础。

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