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出版者:Addison Wesley

作者:Marvin L. Bittinger

出品人:

页数:560

译者:

出版时间:2000-06-16

价格:USD 113.80

装帧:Paperback

isbn号码:9780201709865

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
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• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

《高等数学：理论与应用》 （一本深度解析微积分、线性代数与微分方程的权威教材） 引言：跨越代数的坚实桥梁 在数学学习的进阶之路上，《高等数学：理论与应用》旨在为学生提供一座从基础代数思维迈向严谨数学分析世界的坚实桥梁。本书聚焦于高等数学领域的核心支柱——微积分、线性代数和微分方程，通过清晰的理论构建、丰富的实例解析和前沿的应用探讨，帮助读者建立起坚不可摧的数学直觉与解决复杂问题的能力。我们深知，真正的数学理解并非停留在公式的罗列，而在于对概念深层逻辑的把握。因此，本书的编写哲学是：理论先行，应用驱动，逻辑严密，直观易懂。 本书特别强调数学思想的连贯性与学科间的交叉融合。微积分的极限思想如何为线性代数的向量空间奠定基础？微分方程的解法又如何深刻依赖于矩阵的特征值分析？我们努力揭示这些学科间的内在联系，使读者不仅能掌握单一领域的知识，更能领悟到一个统一的数学科学体系。 --- 第一部分：微积分——变化世界的精确描绘 (Calculus: The Precise Description of a Changing World) 本部分是全书的基石，系统而深入地探讨了单变量和多变量微积分的全部内容。 第1章：极限、连续性与导数的基础 (Limits, Continuity, and the Foundations of Differentiation) 我们从严格的 $epsilon-delta$ 定义出发，确立极限的严谨性，避免了对“无限接近”的模糊理解。随后的章节详细阐述了函数的连续性在实数域上的性质，特别是中值定理（如介值定理、罗尔定理、均值定理）在理论证明中的关键作用。 导数的引入，不仅仅是求斜率，更被构建为瞬时变化率的数学模型。我们深入探究了导数的几何意义、物理意义以及其在优化问题中的核心地位。隐函数求导、反函数求导以及相关变化率的例题分析，展示了导数工具的实用性。 第2章：积分学：累积与面积的统一 (Integral Calculus: Unifying Accumulation and Area) 定积分的概念基于黎曼和的极限，本书用大量图示解释了积分作为累积过程的本质。我们详细论证了微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的两个部分，阐明了微分与积分之间的对偶关系。 不定积分的求解技巧被系统化，涵盖了换元法、分部积分法、三角代换、有理函数积分（待定系数法与部分分式分解）等。同时，本章拓宽了视野，讨论了广义积分（无穷区间和函数不连续点的情况），并首次引入了积分在物理学（功、质心、转动惯量）中的经典应用。 第3章：泰勒级数与函数逼近 (Taylor Series and Function Approximation) 本章将分析的深度推向一个新的层次。我们不仅推导了幂级数、泰勒级数和麦克劳林级数的收敛性判别准则（比值检验与根值检验），更重要的是，通过残余项的分析（拉格朗日余项），严格证明了初等函数（如 $e^x, sin x, cos x$）的泰勒展开式是如何精确地逼近原函数的。本章是理解数值分析和函数近似理论的必经之路。 第4章：多元微积分：空间的探索 (Multivariable Calculus: Exploring Space) 本部分将一维空间的分析工具推广到二维和三维空间。我们引入了偏导数、梯度、方向导数等概念，用向量场来描述物理现象。 多重积分（二重积分与三重积分）的计算被置于坐标系变换（笛卡尔、柱坐标、球坐标）的背景下进行讲解，突出了坐标变换在简化计算中的决定性作用。旋度（Curl）和散度（Divergence）的引入，为理解保守场和流体运动奠定了向量分析的基础。格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的陈述与应用，展示了微积分基本定理在更高维度上的深刻推广。 --- 第二部分：线性代数——结构与变换的语言 (Linear Algebra: The Language of Structure and Transformation) 本部分着重于代数结构、向量空间和线性映射的研究，是现代科学、工程和数据分析的基石。 第5章：矩阵代数与线性方程组 (Matrix Algebra and Systems of Linear Equations) 本书从矩阵的定义和基本运算（加法、乘法、转置）入手，重点解析了矩阵乘法在表示线性变换中的作用。高斯消元法被系统化，并严格证明了其求解线性方程组的有效性。矩阵的秩、行空间、列空间和零空间的理论被详细阐述，特别是秩-零化度定理，揭示了矩阵内在的结构平衡。逆矩阵的计算方法（伴随矩阵法与初等行变换法）被作为求解线性系统的强大工具。 第6章：向量空间与子空间 (Vector Spaces and Subspaces) 本章是抽象化的关键一步。我们从二维和三维欧几里得空间出发，推广到一般域上的向量空间定义，包括线性组合、线性相关性、基（Basis）和维度（Dimension）的概念。本章强调了基的选择对坐标表示的依赖性，以及如何通过基的变换实现对问题的简化。 第7章：特征值、特征向量与对角化 (Eigenvalues, Eigenvectors, and Diagonalization) 特征值与特征向量被定义为在特定线性变换下方向保持不变的特殊向量。我们详细推导了特征方程的求解过程，并深入分析了矩阵可对角化的条件。对角化不仅是求解高次矩阵幂的有效手段，更是理解线性动力学系统稳定性的核心工具。 第8章：内积空间与正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本章引入了内积（点积的推广），从而定义了长度、角度和投影的概念。正交基和规范正交基的构建（特别是格拉姆-施密特正交化过程）被视为分析复杂向量空间最有效的工具。最小二乘法，作为求解超定系统（线性回归的数学基础）的经典方法，被构建在正交投影的理论框架下。 --- 第三部分：微分方程——动态系统的建模 (Differential Equations: Modeling Dynamic Systems) 本部分专注于使用数学语言描述随时间或其他变量演化的系统，并探讨求解这些模型的解析与数值方法。 第9章：一阶微分方程的求解 (Solving First-Order Differential Equations) 本书将一阶微分方程的求解分类清晰化：变量分离法、精确方程（利用偏导数测试）、一阶线性方程（积分因子法）和恰当的替代法（如伯努利方程）。每个方法都配有详尽的物理或工程背景实例，例如牛顿冷却定律、人口增长模型和RL电路的瞬态分析。 第10章：线性常系数齐次与非齐次高阶微分方程 (Linear Constant-Coefficient Homogeneous and Nonhomogeneous Higher-Order ODEs) 本章聚焦于求解常系数线性方程。对于齐次方程，特征方程的根（实根、重根、复根）与通解形式的对应关系被严格推导。对于非齐次方程，待定系数法和参数变易法被作为两种主要的解法进行深入比较和应用。 第11章：拉普拉斯变换及其应用 (The Laplace Transform and Its Applications) 拉普拉斯变换被介绍为一种强大的代数工具，用于解复杂的常系数线性微分方程，特别是涉及阶跃函数和狄拉克函数的初始值问题。我们详细分析了卷积定理，展示了该方法在处理系统响应问题（如电路分析中输入信号的瞬时变化）时的优雅性。 第12章：系统动力学导论：一阶线性系统 (Introduction to Dynamical Systems: First-Order Linear Systems) 本章将线性代数的成果无缝衔接到微分方程领域。我们将高阶方程转化为一阶线性系统，并利用矩阵指数 $e^{At}$ 的概念来求得系统的解。相平面分析和稳定性概念（如鞍点、结点、中心）的初步探讨，为理解复杂的反馈系统和振荡现象提供了直观的几何视角。 --- 本书的特色与目标读者 《高等数学：理论与应用》的编写风格严谨而不失生动，它要求读者具备扎实的代数基础，但绝不依赖预先掌握任何微积分知识。本书旨在满足以下读者的需求： 1. 工程、物理与计算机科学专业学生：需要掌握严密数学工具来建模真实世界问题的学习者。 2. 经济学与金融工程领域的高阶学生：需要理解优化、时间序列分析和随机过程基础的读者。 3. 寻求全面复习或深入理解数学基础的研究人员：希望通过严密逻辑重建知识体系的专业人士。 本书的最终目标是培养学生用数学的视角来审视和解决问题的能力，让读者在离开这本书时，能够自信地运用微积分的分析能力、线性代数的结构洞察力以及微分方程的动态建模能力，迎接更高级别的数学挑战。

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