高等代数学习指导与习题解析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:刘丽 编

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价格:32.80元

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isbn号码:9787811381405

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数学分析基础与应用 本书旨在为学习高等数学的学生提供一个全面、深入且实用的学习资源，重点聚焦于数学分析的核心概念、理论推导以及在工程和科学领域中的实际应用。本书内容结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严谨性的同时，增强对概念的直观理解和解题能力的培养。 --- 第一部分：极限、连续性与导数 第一章：实数系统与极限理论的基石 本章首先回顾实数系统的基本性质，包括完备性、有序性，为后续微积分理论的严格建立奠定基础。随后，引入数列极限的 $varepsilon-N$ 定义，详细阐述了极限存在的充要条件——柯西收敛准则。重点分析了函数极限的定义，并深入探讨了双侧极限、单侧极限之间的关系。本章特别关注了无穷小与无穷大概念的精确界定，并通过实例展示如何利用极限的保序性、唯一性以及四则运算法则来解决具体的极限计算问题。此外，借助于海涅定理（Heine Theorem）和柯西准则（Cauchy Criterion）的视角，加深读者对极限本质的理解。对于经典的不定式极限，如 $frac{0}{0}$ 型和 $frac{infty}{infty}$ 型，本书提供了系统化的处理方法，包括使用等价无穷小代换的技巧，并明确指出了其应用的局限性。 第二章：连续函数与介值定理 本章致力于函数连续性的深入研究。从局部性质出发，定义了函数在一点连续、区间上连续的概念，并严格区分了开区间、闭区间上的连续性定义差异。对初等函数（如多项式函数、有理函数、三角函数、指数函数和对数函数）的连续性进行了验证和总结。核心部分在于展示连续函数的优良性质：有界性定理（Boundedness Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem）在闭区间上的成立性，以及介值定理（Intermediate Value Theorem）在证明方程解存在性问题中的强大应用。本章还引入了均匀连续性的概念，通过反例说明了开区间上函数不一定连续可及均匀连续，进而揭示了闭区间在分析中的特殊重要地位。 第三章：微分学基础与应用 本章是整个分析学的核心之一，详细阐述了导数的定义、几何意义和物理意义。导数的四则运算法则和复合函数求导法则（链式法则）被系统地推导和应用。反函数求导、隐函数求导和参数方程求导的方法得到了详尽的介绍。 本章的重点转向导数的应用： 1. 中值定理（Mean Value Theorems）：罗尔定理（Rolle's Theorem）、拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）和柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）的严谨证明及其在函数性质分析中的关键作用。 2. 导数在函数性态分析中的应用：利用一阶导数判断函数的单调性、极值点和鞍点；利用二阶导数判断函数的凹凸性（Concavity）、拐点以及利用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）解决特定类型的极限问题。 3. 泰勒公式（Taylor's Formula）：详细介绍了佩亚诺（Peano）余项和拉格朗日余项形式，并将其应用于函数的局部近似、误差估计，以及验证函数的解析性（Analyticity）。 --- 第二部分：积分学原理与技巧 第四章：黎曼可积性与定积分 本章引入了积分学的基本概念——定积分。首先定义了黎曼和（Riemann Sum），并在此基础上严格定义了黎曼可积性。系统讨论了判定函数黎曼可积的充分必要条件（即不连续点集的勒贝格测度为零）。对于常数函数、单调函数和特定区间上的连续函数的积分存在性进行了证明。 定积分的性质包括线性、区间可加性、保序性等。本章核心内容是牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）的严格证明，揭示了导数与积分之间的内在联系。同时，引入了定积分的估算定理（如中值定理）以及更一般的积分估计技巧。 第五章：积分计算方法与广义积分 本章侧重于定积分的计算技巧和理论扩展： 1. 积分技巧：详细讲解了换元积分法和分部积分法（Integration by Parts）的迭代应用，并提供了多样的三角代换、有理函数代换等实例。 2. 定积分应用：展示了定积分在计算几何问题中的应用，包括平面图形的面积、旋转体的体积、弧长、曲面面积以及质心、转动惯量等物理量。 3. 广义积分（Improper Integrals）：本章将积分的概念扩展到积分区间为无穷或被积函数在区间内有无界间断点的情况。对第一类和第二类广义积分的敛散性判别准则（如比较判别法、极限比较判别法）进行了深入探讨，并给出了伽马函数（Gamma Function）和贝塔函数（Beta Function）的初步介绍。 --- 第三部分：无穷级数与幂级数 第六章：无穷级数理论 本章聚焦于序列的推广——无穷级数。系统地研究了常数项级数的敛散性判别方法，包括： 1. 基本判别法：级数项趋于零的必要条件、正项级数的比较判别法（直觉法和极限比较法）。 2. 更深入的判别法：比值判别法（Ratio Test）和根值判别法（Root Test）在处理含指数和阶乘项级数中的应用。 3. 交错级数：莱布尼茨判别法（Leibniz Test）及其在判断条件收敛性中的作用。 4. 绝对收敛与条件收敛：严格区分这两种收敛性的差异及其对级数求和顺序的敏感性。 第七章：幂级数与函数展开 本章是连接微积分与特殊函数理论的关键桥梁。幂级数（Power Series）的定义、收敛半径和收敛区间的确定方法是重点内容。本章详细推导并应用了常见的函数展开式： 1. 泰勒级数（Taylor Series）：展示了如何通过已知的函数（如几何级数）求出其他函数的泰勒级数。 2. 麦克劳林级数（Maclaurin Series）：重点展开了 $e^x$、$ sin x $、$ cos x $ 和 $ ln(1+x) $ 等基本函数的麦克劳林级数。 3. 函数的幂级数表示：探讨了在收敛区间内，函数项级数与幂级数的项间求导和积分操作的合法性，这极大地拓宽了函数的分析工具集。 --- 附录：微积分中的进阶技巧与思维 本附录并非对正文内容的重复，而是针对学习过程中常见难点和高阶思维模式的补充和提炼。 反函数与三角函数积分的深化：涉及反三角函数的导数和积分的技巧性处理，以及三角有理式的积分。 积分在概率论中的初步联系：简要引入正态分布密度函数的积分特性，展示微积分工具在统计学中的实际价值（不涉及概率论的详细内容）。 数学建模中的离散化思想：探讨如何将连续问题通过极限思想转化为离散求和（如牛顿-莱布尼茨公式的物理推导），培养从连续到离散的数学视野。 本书的编写风格力求精炼，避免冗余的叙述，注重公式的推导逻辑和概念的精确性，旨在成为一名严肃的数学分析学习者必备的参考和练习手册。

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