Symmetries, Lie Algebras and Representations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Jürgen Fuchs

出品人:

页数:464 pages

译者:

出版时间:October 9, 2003

价格:$80.00

装帧:

isbn号码:9780521560016

丛书系列:

图书标签:

• lie
• 数学
• 李代数
• 表示论
• 对称性
• 抽象代数
• 数学物理
• 群论
• 高等数学
• 拓扑学
• 代数结构

《弦理论的几何基础》 简介： 本书深入探讨了弦理论中至关重要的几何概念，旨在为读者提供一个坚实而全面的理解框架。弦理论，作为统一引力和量子力学的领先候选理论，其核心在于描述宇宙基本组成单元——弦——的动力学行为。而这些行为的优雅和复杂性，很大程度上由其所处的几何空间结构所决定。本书将带领读者穿越抽象的数学世界，揭示弦理论与黎曼几何、微分几何、复几何以及拓扑学之间深刻而迷人的联系。 第一章：黎曼几何与曲率 本章将从黎曼几何的基础入手，为理解高维空间中的弦行为奠定基石。我们将回顾流形的概念，介绍切空间、向量场以及微分形式，这些都是描述空间局部性质的关键工具。重点将放在曲率张量上，解释它如何捕捉空间的弯曲程度，以及它在弦理论中如何扮演着至关重要的角色，例如在描述黑洞附近的时空几何以及早期宇宙的膨胀。我们将深入探讨里奇曲率和斯卡拉曲率，以及它们与能量动量张量之间的联系，这是爱因斯坦场方程的几何表达。此外，本章还将介绍测地线，它们是时空中“直线”的推广，对于理解弦的运动轨迹至关重要。通过引入曲率的几何直观解释，读者将能更好地理解弦理论中引力场的本质。 第二章：微分几何与纤维丛 微分几何的工具对于描述弦理论的复杂结构至关重要。本章将聚焦于微分流形上的微积分，介绍外微分、外积分以及霍奇定理，这些概念帮助我们理解流形上的各种几何对象和它们的拓扑性质。更重要的是，我们将深入研究纤维丛的概念。在弦理论中，纤维丛被用来描述弦与基本场的相互作用，例如规范场。我们将详细阐述向量丛、主丛以及伴随丛，并介绍纤维丛上的联络，它定义了如何在纤维之间进行平行移动，从而揭示了规范场中的内在几何结构。例如，卡鲁扎-克莱因紧致化正是利用了高维空间中的纤维丛结构来解释我们观察到的四维时空中的基本粒子和力。本章还将触及纤维丛上的曲率形式，它直接关联到规范场的场强张量。 第三章：复几何与卡拉比-丘流形 弦理论中的额外空间维度通常被假设为紧致化的，并且具有特殊的几何性质，其中卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形占据着核心地位。本章将全面介绍复几何的基本概念，包括复流形、全纯函数、全纯向量场以及复联络。我们将详细阐述卡拉比-丘流形的定义，即具有零第一陈类（Ricci-flat）的凯勒流形。这种特殊的几何性质使得卡拉比-丘流形能够保持弦理论在能量和动量守恒方面的特性，并最终决定了我们观察到的四维时空中的物理定律。我们将介绍卡拉比-丘流形的例子，如椭圆曲线和多面体，并讨论其霍奇数，这些数直接关联到弦理论中的对称性以及物理谱。本章还将探讨卡拉比-丘流形的变形空间，它对应于弦理论中的低能有效场论的标量场，其几何结构决定了这些场的性质。 第四章：拓扑学与弦理论的对称性 拓扑学研究的是在连续形变下保持不变的几何性质，它为理解弦理论中的内在对称性提供了强有力的工具。本章将介绍基本拓扑概念，如同胚、同伦以及基本群，并重点关注同调论和上同调论。我们将解释这些拓扑不变量如何描述流形的“洞”的数量和连接性，这些性质在弦理论中至关重要，例如影响了弦的振动模式以及所能产生的粒子的种类。本章将特别强调陈类和庞加莱对偶性，它们在描述流形上的微分形式和其拓扑性质之间建立了深刻的联系。我们将探讨超对称性在弦理论中的作用，以及它如何与卡拉比-丘流形的拓扑结构相互关联。此外，本章还将介绍弦论中的D-膜，它们的出现也与流形的拓扑特性密切相关，并且拥有自身的拓扑不变量。 第五章：广义复几何与D-膜 随着弦理论研究的深入，对更一般化的几何结构的理解变得越来越重要。本章将介绍广义复几何（Generalized Complex Geometry）的概念，它扩展了传统的复几何，允许存在非凯勒流形，并且对奇点和奇异结构的处理更加鲁棒。我们将解释广义复结构如何定义一个流形上的复结构和辛结构，并且它们可以同时存在于同一个流形上。这种更一般的几何框架对于描述包含D-膜的弦理论场景至关重要，因为D-膜可以在非凯勒流形上稳定存在。本章将探讨广义复几何中的双线性形式和广义黎曼张量，以及它们如何描述包含D-膜的弦理论的动力学。我们将介绍广义凯勒流形的概念，以及它们与弦理论中某些特殊理论的联系。 第六章：几何与弦谱 本章将把前面介绍的几何工具整合起来，展示它们如何直接决定弦理论中的粒子谱和物理性质。我们将详细阐述卡拉比-丘流形的霍奇数如何与弦论中的玻色子和费米子的数量直接关联，即“手性”。我们将讨论卡拉比-丘流形的模空间，这个空间的维度和结构决定了低能理论中的标量场的数量以及它们的相互作用。本章将深入探讨“弦谱”的概念，即弦理论允许存在的粒子种类，并解释几何是如何通过限制弦的振动模式来“选择”出这些粒子。我们将介绍弦理论中的“反响”（fluxes）的概念，它们是卡拉比-丘流形上的微分形式，对弦谱和宇宙学常数具有深远的影响。通过具体算例，读者将能看到抽象的几何如何转化为具体的物理现象。 结论： 《弦理论的几何基础》一书旨在为读者提供一个通往理解弦理论神秘世界的钥匙。通过系统地介绍与弦理论紧密相关的几何概念，从基础的黎曼几何到复杂的广义复几何，本书不仅揭示了弦理论的数学优雅，更展现了其深邃的物理内涵。每一章都旨在循序渐进，确保读者能够掌握必要的数学工具，并理解这些工具在弦理论中的具体应用。本书的最终目标是使读者能够欣赏到，宇宙的微观结构和宏观规律，在数学的语言中找到了最和谐的表达。对于任何希望深入探索弦理论，理解其统一万物的雄心壮志的读者来说，本书都是一份不可或缺的指南。

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这本数学专著给我的感觉就像是攀登一座技术性的高峰，它绝对不是为初学者准备的。阅读过程充满了挑战，需要对抽象代数和微分几何有扎实的背景。书中的论证严谨得令人敬畏，每一个步骤都经过了精心的打磨，几乎不留任何解释性的空隙，这对于经验丰富的研究人员来说无疑是效率的保证，但对于正在努力掌握这些概念的学生来说，可能会感到有些孤立无援。我尤其欣赏作者在处理结构分解定理时的那种外科手术般的精确性，它揭示了复杂系统背后的基本构件。然而，如果能有更多的具体例子来穿插那些高度抽象的理论陈述，或许能为那些试图在脑海中构建起这些高维结构的读者提供更坚实的脚手架。整体而言，这是一部权威性的参考书，其价值在于其内容的深度和无可挑剔的逻辑链条，它要求读者带着极高的专注度和预备知识才能真正领会其精髓。我发现自己需要频繁地查阅其他教材来辅助理解某些关键的过渡部分，这本身就说明了它对读者现有知识储备的高要求。

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这本书的排版和符号系统堪称教科书典范，清晰、一致，没有一丝多余的装饰。它专注于揭示数学结构之间的深层联系，特别是当这些结构通过表示论的棱镜进行观察时。我注意到作者在引入完一个大定理后，很少立即给出冗长的证明分析，而是倾向于用更简洁的语言指出证明的关键步骤和所需的引理来源，这使得阅读的节奏非常快，适合那些追求效率和结构清晰度的读者。然而，这种简洁性也带来了一个副作用：对于那些通过直觉而非纯粹逻辑推导来建立理解的读者来说，书中的某些飞跃可能显得过于突兀。例如，在处理无限维表示的完备性问题时，如果能有更具启发性的几何图像辅助说明，想必能帮助读者更好地建立全局观。总而言之，这是一部构建严密、结构清晰的学术工具书，它忠实地服务于那些已经掌握了基本框架，渴望深入探究其内在机制的数学工作者。

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我必须承认，这是一部需要反复研读的著作。它不是那种可以一口气读完并声称“理解了”的书。每一次重读，尤其是在我学习了相关的拓扑或泛函分析知识后，我都能从那些早先看似晦涩的段落中挖掘出新的层次和意义。作者对李群和李代数之间对应关系的论述达到了教科书级别的完美，将抽象的群论与具体的矩阵表示紧密地联系起来，这使得复杂的概念变得可操作。不过，这本书的某一章节（关于某些特定李代数的分类）的论述风格突然转向了一种高度的概括性，仿佛突然从详细的蓝图跳跃到了宏观的鸟瞰图，这让我对某些特定情况下的特殊行为感到困惑。我希望作者能再多提供一些具体的、可计算的例子来巩固这部分理论，尤其是在涉及特征标公式的应用场景时。它无疑是相关领域内的重要里程碑，但其陡峭的学习曲线决定了它更像是一座灯塔，指引着方向，而非一条平坦的道路。

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读完这册书，我产生了一种既兴奋又疲惫的感觉，就像跑完了一场马拉蒂松。它成功地将原本散落在不同数学分支的概念——对称性、代数结构和表示论——编织成一张极其精密的网。作者的叙述风格极其凝练，仿佛每一页都塞满了前沿思想的精华。最让我印象深刻的是其对非紧致群表示理论的处理方式，它没有回避那些棘手的分析细节，而是直接深入到问题的核心。当然，这种“直击要害”的写法也意味着阅读体验是相当陡峭的。我个人认为，这本书最适合作为研究生阶段进阶课程的指定教材，或者作为研究人员手边随时可以查阅的“圣经”。它几乎没有花篇幅去铺垫历史背景或动机，而是直接进入“如何做”的层面。对我来说，理解书中关于特殊线性群和正交群的张量分解部分，花费了我比预期多出两倍的时间。这本书的价值在于其作为一本知识密度极高、对概念理解要求极深厚的文献库的作用。

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这本书给我的感受是，它提供了一套完整的、自洽的数学语言体系来描述一类特定的、具有高度对称性的结构。作者在组织材料时展现了极高的数学品味，从最基本的定义开始，逐步推导出宏大而优美的理论框架。阅读过程中，我不断地被数学的内在美感所折服，那种从简单公理中涌现出复杂规律的力量是令人着迷的。然而，作为一本面向现代研究的教材，它在与更现代的数学分支（比如某些新兴的几何表示理论）的交叉点上似乎略显保守，或者说，这些联系并没有被深入探讨。它的重点仍然坚定地放在经典理论的夯实上。这既是它的优点——保证了基础的稳固——也是其局限性，即对于那些寻求跨学科前沿洞察的读者来说，可能需要借助其他资料来补充最新的发展。总而言之，这是一部建立在坚实基础之上，结构严谨，深度非凡的参考书，它教会你如何用最精确的语言思考对称性的本质。

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