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Constructing concise and correct proofs is one of the most challenging aspects of learning to work with advanced mathematics. Meeting this challenge is a defining moment for those considering a career in mathematics or related fields. Mathematical Thinking and Writing teaches readers to construct proofs and communicate with the precision necessary for working with abstraction. It is based on two premises: composing clear and accurate mathematical arguments is critical in abstract mathematics, and that this skill requires development and support. Abstraction is the destination, not the starting point. Maddox methodically builds toward a thorough understanding of the proof process, demonstrating and encouraging mathematical thinking along the way. Skillful use of analogy clarifies abstract ideas. Clearly presented methods of mathematical precision provide an understanding of the nature of mathematics and its defining structure. After mastering the art of the proof process, the reader may pursue two independent paths. The latter parts are purposefully designed to rest on the foundation of the first, and climb quickly into analysis or algebra. Maddox addresses fundamental principles in these two areas, so that readers can apply their mathematical thinking and writing skills to these new concepts. From this exposure, readers experience the beauty of the mathematical landscape and further develop their ability to work with abstract ideas.
* Covers the full range of techniques used in proofs, including contrapositive, induction, and proof by contradiction * Explains identification of techniques and how they are applied in the specific problem * Illustrates how to read written proofs with many step by step examples * Includes 20% more exercises than the first edition that are integrated into the material instead of end of chapter * The Instructors Guide and Solutions Manual points out which exercises simply must be either assigned or at least discussed because they undergird later results
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用户评价
整本书的排版和案例选择显示出极高的专业水准和对读者的体贴。印刷质量无可挑剔，公式符号清晰锐利，图示简洁明了，没有任何让人分心的冗余信息。更值得称赞的是，作者总能在介绍完一个抽象概念后，立刻提供一个来自不同数学分支的、具有启发性的例子。从数论中的模运算到分析学中的函数空间，这些跨领域的联系极大地拓宽了读者的视野，让人意识到抽象数学的统一性。这种编排方式极大地增强了学习的内在驱动力，因为你总能看到当前学习的知识点在未来的数学世界中将扮演什么角色。它不是一本孤立的教材，更像是一张精心绘制的数学地图，指引着通往更广阔知识殿堂的路径，让人读完后信心倍增，迫不及待地想继续探索下去。
评分这本书的数学基础部分真是让人耳目一新。作者在讲解集合论和逻辑推理时，没有像其他教材那样堆砌晦涩难懂的定义，而是通过非常生活化、甚至带点哲学思辨的方式来引入抽象概念。举个例子，他对“无限”的探讨，不仅仅停留在康托尔的对角线论证上，而是穿插了一些关于人类认知极限的思考，读起来让人感觉不是在啃教材，而是在进行一场思维探险。我特别喜欢它对证明方法的细致梳理，特别是归纳法和反证法的应用场景分析，简直是把数学证明的“艺术”都展现出来了。对于一个刚从微积分和线性代数“泥潭”中挣扎出来，准备迎接更高阶数学挑战的人来说，这本书的开篇就像一道清新的山泉，瞬间冲散了那些陈旧的公式记忆，让人重新燃起了对数学结构之美的敬畏感。它真的成功地搭建了一座坚实的桥梁，让人从具体的计算思维平滑过渡到纯粹的逻辑演绎模式。
评分这本书在逻辑和证明技巧上的深度，是我此前阅读其他入门抽象数学书籍时未曾见过的。它不仅仅是展示“如何证明”，更着重于探讨“为什么要这样证明”。章节中穿插的“思考题”并非简单的数值计算或定义验证，而是引导性的、开放式的探究，旨在训练读者的批判性思维和构造反例的能力。例如，在讲解一阶逻辑时，对“存在性证明”和“构造性证明”之间哲学差异的探讨，非常引人入胜。我感觉自己不再是被动地接收知识，而是主动地参与到数学家的推理过程中。这种对证明方法论的细致剖析，对于培养一个严谨的数学思维习惯至关重要，它教会了我如何辨别一个论证的“强度”和“有效性”，这比掌握任何单一的定理都更有价值。
评分拓扑学的部分，简直是一场视觉和概念上的盛宴。通常处理“形变不变性”的教材，往往会在一开始就陷入粘性、形变、连续性的纠缠中，让人分不清重点。但这本书处理得非常巧妙，它似乎用了很大篇幅来探讨“邻域”这个核心概念的本质，通过对度量空间和拓扑空间的对比，清晰地勾勒出了从具体到抽象的演变路径。特别是对紧致性（Compactness）的讨论，作者没有仅仅停留在开有限覆盖的定义上，而是生动地解释了它在分析学中作为“局部行为决定整体性质”的关键作用，这对于理解收敛性和极限的稳定性至关重要。我甚至觉得，这本书在讲解拓扑学时，其写作的“手感”和流畅度，已经超越了一般的教科书范畴，更像是一本由一位对数学充满热情的导师精心撰写的导览手册。
评分我过去一直觉得，现代代数是数学中最“冷酷”的一块领域，充满了群、环、域这些抽象结构，让人望而却步。然而，这本书的叙述方式彻底颠覆了我的看法。作者在介绍群论时，似乎非常清楚读者在哪个拐角会感到困惑，并提前设置了“路标”。比如，在讲解同构（Isomorphism）的时候，他没有直接抛出定义，而是通过大量的例子——从简单的对称群到更复杂的置换群——来展示结构在不同“外壳”下保持不变的精妙之处。这种“先例证，后抽象”的教学方法，极大地降低了学习的心理门槛。而且，书中对群作用的讨论，特别是其在几何和组合学中的实际应用，提供了足够的动机，让读者明白这些看似空中楼阁的结构是如何影响真实世界的数学问题的。读完这几章，我感觉自己对“结构”这个概念有了更深刻的体悟，不再是死记硬背的符号堆砌。
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