Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Sytems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Audin, Michele/ Da Silva, Ana Cannas/ Lerman, Eugene

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:

价格:39.95

装帧:Pap

isbn号码:9783764321673

丛书系列:

图书标签:

• mathematics
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• 辛几何
• 哈密顿系统
• 可积系统
• 数学物理
• 微分几何
• 拓扑几何
• 李群
• 辛流形
• 经典力学
• 几何学

辛几何在可积哈密顿系统中的应用 本书深入探讨了辛几何这一优美而强大的数学分支如何深刻地揭示了可积哈密顿系统的内在结构和丰富性质。我们将从最基础的辛空间概念出发，逐步构建起理解这类系统的几何框架，并在此基础上展现辛几何的工具如何应用于分析和解决复杂动力学问题。 第一部分：辛几何的基础 我们将从辛向量空间及其基本性质入手。详细介绍辛形式、辛流形的概念，以及与之密切相关的辛映射和辛同构。在此基础上，我们将引入辛结构的保持性——泊松括号。我们将详细阐述泊松括号的代数性质，以及它与哈密顿向量场之间的深刻联系，即哈密顿向量场是保持辛结构的。 接下来，我们将聚焦于辛流形上的特殊子流形，特别是拉格朗日子流形。我们将详细讨论拉格朗日子流形的定义、性质及其在辛几何中的核心地位。诸如拉格朗日纤维丛、完全积分等重要概念也将得到详尽的介绍，它们是理解可积系统结构的关键。 第二部分：可积哈密顿系统的几何视角 本部分将本书的核心——可积哈密顿系统——置于辛几何的框架下进行审视。我们将严格定义可积哈密顿系统的几种等价表述，重点强调其几何意义。其中，刘维尔-阿诺索夫定理将作为核心章节，我们不仅将介绍定理的内容，更将深入剖析其几何证明。定理表明，在一个 $2n$ 维辛流形上，如果存在 $n$ 个相互泊松对易的解析函数（守恒量），则流形在这些守恒量的公共值水平集上局部上可以映射为 $n$ 个独立的正弦-余弦变量的乘积，即“可积纤维丛”。我们还会详细阐述这个“可积纤维丛”的结构，包括其纤维（通常是紧致的或拓扑等价于环面）和基空间。 我们将探讨可积系统的解的几何表示。在可积系统中，系统的演化轨迹被限制在守恒量的公共值构成的流形上。这些流形，特别是在紧致可积系统中，通常是阿诺索夫托里（torus）。我们将利用辛几何的工具，如辛坐标变换，来“对角化”哈密顿算子，从而得到显式解。 第三部分：辛几何在可积系统研究中的进阶应用 本部分将进一步拓展辛几何在可积系统研究中的应用深度。我们将深入研究拉格朗日约化（symplectic reduction）和庞加莱-莱夫谢茨定理（Poincaré-Lefschetz theorem）。拉格朗日约化是理解非完全积分化系统（如带有对称性的系统）的重要工具，而庞加莱-莱夫谢茨定理则为分析非紧致拉格朗日子流形提供了强大的几何语言。 此外，我们还将探讨辛几何与代数几何之间的联系，例如辛叶（symplectic leaf）的概念以及其在研究黎曼面上的可积系统中的作用。费马定理（Fermat's Principle）和凯莱-图林公式（Keele-Thurston Formula）等在光线传播和可积系统之间的类比也将被深入分析。 我们将重点讨论李群和李代数在可积系统中的作用，特别是当守恒量构成一个李代数时，系统往往具有更强的结构。我们将展示如何利用李群的表示论来分析系统的性质。 第四部分：实例分析与前沿课题 为了更好地理解抽象的几何概念，我们将对一些经典的、重要的可积哈密顿系统进行详细的几何分析。这包括但不限于： 欧拉-泊松方程（Euler-Poisson equations）：探讨其辛结构和守恒量，以及如何利用辛几何来理解其在刚体动力学中的应用。 阿贝尔函数（Abelian functions）：深入分析阿贝尔函数如何描述某些可积系统的周期性运动，以及其与黎曼簇的深刻联系。 海森堡链（Heisenberg chain）：研究其在量子统计力学中的意义，以及其在经典极限下可积性的辛几何解释。 布尔涅-马卡鲁（Bourdon-Makarov）等系统：这些系统为展示辛几何的普适性和力量提供了极好的例子。 最后，我们将简要介绍辛几何在可积系统研究中的一些前沿课题，例如： 非线性可积系统：虽然本书主要关注线性可积系统，但我们将触及一些非线性可积系统（如某些非线性薛定谔方程的约化）的辛几何研究方向。 量子可积性：探讨辛几何如何为理解量子可积系统提供基础，以及量子化过程中的辛几何意义。 辛拓扑（Symplectic topology）：介绍辛拓扑在研究流形几何结构方面的最新进展，以及它与可积系统之间的潜在联系。 本书旨在为读者提供一个清晰、严谨且富有启发性的辛几何视角来理解可积哈密顿系统。通过扎实的理论基础和丰富的实例分析，我们希望能够激发读者对这一迷人领域的进一步探索。

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坦率地说，这本书的难度是相当高的，它绝非入门读物，更像是为研究生及以上级别的研究人员准备的专业参考书。我个人在尝试理解其中关于“拓扑场论”与“可积系统”联系的章节时，深感自己的知识储备有所欠缺。作者在处理这些前沿交叉点时，采取了一种非常简洁但信息密度极大的写作风格，往往需要读者自行去填充大量的背景知识才能完全领会其深意。尽管如此，这种“挑战性”恰恰是它吸引我的地方。它不是那种事无巨细地手把手教学的书籍，它更像是一位经验丰富的导师，指出了研究的方向和核心问题，并提供了最精炼的工具箱。我发现，即使是那些我暂时无法完全吸收的复杂证明，其核心思想的阐述也足够清晰，足以让我知道未来需要在哪方面进行重点突破。这本书的价值在于它设定了一个很高的学术标准，激励着读者不断向前探索。

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从编辑和校对的角度来看，这本书的质量非常精良。在涉及大量数学符号和公式的出版物中，排印错误往往是令人非常扫兴的因素。然而，在这本《**Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Systems**》中，我几乎没有遇到任何影响理解的排版错误或符号歧义。公式的对齐、希腊字母的选用、甚至连参考文献的引用格式，都体现出出版方和作者对细节的极度重视。这种专业水准的呈现，对于读者建立对内容的信任感至关重要。当读者在阅读一个极其复杂的定理证明时，可以完全信赖书面呈现的每一个符号都是准确无误的，这极大地提高了阅读的效率和专注度。总而言之，这是一部在内容深度、理论广度以及制作工艺上都达到了教科书级别顶尖水准的著作，是辛几何和动力学领域一个不可多得的宝藏。

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这本书的排版和图示处理，给我留下了极其深刻的印象。在阅读涉及高维流形和切丛的章节时，很多理论性的描述往往会因为缺乏直观的几何指引而变得晦涩难懂。然而，这本书在这方面做得相当出色，那些辅助性的插图，虽然是二维的，却有效地帮助我构建了多维空间的想象框架。特别是关于规范变换和正则坐标系转换的那几部分，作者用一系列精细的图表展示了坐标系旋转或拉伸过程中，辛形式是如何保持其非退化特性的，这比单纯的代数推导要高效得多。此外，我注意到书中在引用经典文献和现代研究成果时，处理得非常平衡。它既尊重了经典物理学家奠定的基础，又及时引入了近几十年在拓扑和代数几何领域的新进展，使得整本书的论述既有历史的厚重感，又不失时代的先锋性。这本书的价值不仅在于它传授了知识，更在于它提供了一种研究问题的“范式”，一种将物理直觉与严格数学推理相结合的优良范式。

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我最近读完了一本名为《**Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Systems**》的书籍，作为一名热衷于数学物理交叉领域的学习者，这本书无疑为我打开了一扇通往更深层次理解的门扉。尽管我对辛几何和哈密顿力学都有一定的基础，但这本书将两者紧密结合的视角，着实让我感到耳目一新。全书的叙事节奏张弛有度，从基础概念的铺陈到复杂理论的构建，每一步都显得逻辑严谨，却又不失数学美感。作者在介绍辛结构时，并没有采取那种枯燥的、纯粹形式化的描述，而是巧妙地将其与物理中的保守系统联系起来，使得抽象的几何概念瞬间变得可触可感。尤其是关于李维尔可积性的讨论，作者似乎独具匠心，采用了一种非常直观的“守恒量”视角来切入，避免了初学者在面对大量偏微分方程时产生的畏惧感。阅读过程中，我多次停下来，回溯前几章的定义，以便更好地理解后续章节中那些精妙的定理和证明。这本书的深度毋庸置疑，它绝对不是一本可以走马观花快速浏览的读物，更像是一份需要细细品味的数学盛宴，推荐给那些真正想在理论物理和纯数学的交汇点上深耕的同仁们。

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对于我这种更偏向于应用数学而非理论物理背景的读者来说，书中关于“可积系统”的物理意义的探讨，是其最吸引我的部分之一。很多教科书在进入辛几何的篇章后，往往会迅速将叙事导向纯粹的微分几何，使得物理学家们津津乐道的“哈密顿力学”的精髓逐渐淡化。但这本书显然意识到了这一点，它花了相当大的篇幅来阐释，为什么在特定的辛流形上，存在着一组恰好与流形维度相符的守恒量，以及这些守恒量如何决定了系统的运动轨迹——这些轨迹在相空间中形成了环面。这种对物理背景的坚守，使得即便是在讨论诸如泊松积的性质或卡坦-波斯特里亚吉指标这类偏抽象的主题时，我总能将其锚定在一个具体的物理场景中，从而避免了陷入纯粹的符号泥潭。这本书成功地架起了一座桥梁，让物理直觉可以在数学的严密框架下得到检验和提升。

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