大学数学教程（第3册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:曾金平

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价格:16.50元

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isbn号码:9787305030536

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现代应用数学基础研习手册 本书聚焦于构建坚实的现代数学基础，为深入探索工程、科学、经济等领域的复杂问题提供必要的理论工具与实践方法。全书内容紧密围绕核心的数学分支，强调概念的严谨性与方法的实用性，力求实现理论深度与应用广度的完美结合。 --- 第一篇：线性代数与矩阵理论的深度解析 本篇致力于系统梳理和深化读者对线性代数核心概念的理解，这是所有现代定量分析的基石。 第一章：向量空间与线性变换的本质 本章从抽象的角度重构向量空间的定义，超越了初级的欧几里得空间认识。我们详细讨论了有限维向量空间的基础，包括基（Basis）和维数（Dimension）的严格定义与构造性证明。重点分析了子空间的性质，如核空间（Kernel）和像空间（Image），并阐述了它们在函数空间乃至信息论中的隐喻意义。 线性无关性与基的构造： 探讨了Gram-Schmidt正交化过程的几何意义及其在数值计算中的稳定性考量。 线性映射的矩阵表示： 深入探讨了从一个向量空间到另一个向量空间的映射如何通过选择不同基而转化为矩阵运算，包括相似变换与合同变换的联系。 第二章：特征值问题与对角化技术 特征值和特征向量是理解系统动态行为的关键。本章不仅讲解了如何计算它们，更侧重于理解其物理和几何含义。 相似性与对角化： 讨论了在何种条件下矩阵可以被对角化，以及对角化在求解高阶微分方程组中的应用。 若尔当标准形（Jordan Canonical Form）： 对于不可对角化的矩阵，本章详细介绍了若尔当块的结构，并展示了如何利用若尔当标准形来理解线性系统的长期行为（如稳定性分析）。 谱理论基础： 为后续的泛函分析和量子力学打下基础，探讨了算子在有限维空间上的谱分解。 第三章：内积空间与正交性 超越了简单的点积，本章引入了更一般的内积空间概念，这是傅里叶分析和偏微分方程解法的基础。 正交补与投影定理： 详细阐述了投影定理在最小二乘问题中的核心地位，并给出了正交投影的精确构造方法，这在数据拟合中至关重要。 奇异值分解（SVD）： SVD被视为矩阵分析中最强大的工具之一。本章系统推导了SVD的几何意义，并展示了其在数据降维（PCA）、图像压缩和伪逆矩阵计算中的广泛应用。 --- 第二篇：多元微积分与场论的严谨构建 本篇旨在建立一个既能处理高维几何结构，又能描述物理场（如电磁场、流体运动）的微积分框架。 第四章：多变量函数的微分理论 本章严格处理了高维空间中的极限、连续性，并深入分析了偏导数的复杂性。 可微性与全微分： 区分了偏可微与全可微，并讨论了在高维空间中函数光滑性的重要性。 链式法则的推广： 系统梳理了多层复合函数的求导法则，并将其推广到抽象流形上的切丛导数概念的雏形。 泰勒公式与最优性分析： 发展了多元函数的泰勒展开，并利用Hessian矩阵来判别临界点的性质（局部极值、鞍点）。 第五章：积分的几何化：重积分与变量替换 本章关注如何计算高维区域上的累积效应，强调了坐标系选择的艺术。 直角坐标、极坐标与柱/球坐标系下的积分计算： 详细推导了在不同坐标系下雅可比行列式（Jacobian Determinant）的来源及其在积分变元替换中的作用。 Lebesgue积分的初步概念（针对高等读者）： 引入了测度论的初步思想，为理解更精密的积分理论打下基础，并简要对比了Riemann积分的局限性。 第六章：向量场与微积分在空间中的应用 这是连接纯数学与经典物理学的桥梁，集中于微分形式和积分定理。 线积分与面积分： 严格定义了在曲线和曲面上的累积量，并探讨了保守场和势函数的概念。 Green、Stokes与Gauss散度定理的几何解释： 本章的核心在于深入理解这些基本定理的本质——即边界上的积分如何与区域内部的微分形式相关联。我们着重分析了这些定理在电磁学（麦克斯韦方程组的积分形式）和流体力学中的直接对应关系。 微分形式与外微分（初步）： 介绍微分形式作为一种处理几何对象上积分的统一语言，展示了如何利用外微分的结构来统一描述梯度、旋度和散度。 --- 第三篇：常微分方程（ODE）的解析与定性分析 本篇专注于描述随时间演化的动态系统，从解析求解到系统行为的长期预测。 第七章：一阶与高阶线性常微分方程 本章提供了求解各种标准形式ODE的解析技巧。 一阶方程的精确求解法： 详细讨论了可分离变量法、积分因子法（用于一阶线性方程）和恰当方程的检验与求解。 常系数线性方程： 采用特征方程法求解齐次与非齐次方程，并系统讲解了待定系数法和参数变易法。 拉普拉斯变换的应用： 专门辟出一节介绍拉普拉斯变换如何将微分方程转化为代数方程，特别适用于求解带初始条件的非齐次方程及其在电路分析中的应用。 第八章：系统动力学与稳定性理论 本章将目光投向由多个相互耦合的ODE构成的系统，这是现代控制论和生物数学的核心。 线性系统分析： 结合第一篇的知识，利用矩阵指数 $e^{At}$ 来求解线性常系数ODE系统，并根据矩阵的特征值（实部和虚部）对系统的长期行为（结点、焦点、中心、鞍点）进行定性分类。 非线性系统的相平面分析： 引入相空间（Phase Plane）的概念，讨论如何寻找和分类非线性系统的平衡点。 稳定性判据： 重点讲解Lyapunov稳定性理论的基本思想，特别是间接法（利用线性化）在判断非线性系统局部稳定性中的作用。 --- 本书特色： 本书在概念推导上力求严谨，同时在每章末尾均附有“方法论与计算考量”小节，引导读者思考如何将理论转化为可靠的数值算法，是数学、物理、工程专业学生和研究人员进行系统性数学储备的理想参考书。

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坦白说，我是一个非常注重实操和应用的学习者，所以对于“大学数学教程（第3册）”的另一个显著优点，就是它在理论讲解之外，提供了大量与实际问题相结合的案例分析。这本书在介绍复杂的数学工具和方法时，并没有止步于抽象的理论层面，而是花了相当大的篇幅去展示这些工具如何在物理、工程、经济甚至计算机科学等领域发挥作用。我记得其中有一个章节，讲解了某个高级微积分的概念，然后紧接着就提供了一个关于“如何用该概念来优化生产流程”的详细案例，从模型建立到最终的计算结果，都讲解得非常透彻。这让我一下子就看到了数学的“力量”，不再觉得学到的知识是“无用之学”。这种“理论与实践相结合”的模式，极大地激发了我学习的动力，让我更加清楚地认识到，数学不仅仅是学术研究的工具，更是解决现实世界问题的强大武器。每次遇到学习上的瓶颈时，想到这些实际应用，就能给我克服困难的信心。

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这套“大学数学教程”系列，尤其是第三册，在我深入学习的日子里，扮演了不可或缺的角色。我还记得刚拿到这套书的时候，就被它扎实的理论基础和清晰的逻辑结构所吸引。第一册打下的坚实基础，第二册的逐步拓展，到了第三册，感觉整个数学的大厦已经巍然屹立。这本书最让我印象深刻的是，它并没有为了追求“高深”而牺牲“易懂”。每一个概念的引入都伴随着详尽的推导和直观的解释，即便是最抽象的定理，也能通过书中精心设计的例子变得触手可及。我尤其喜欢它在每个章节末尾设置的习题，这些习题不仅仅是简单的计算，更多的是对概念的理解和应用能力的考察，很多题目都需要跳出书本的框架，进行一定的思考和创新。做这些题的过程，就像是在和数学这位老朋友进行一场深入的对话，每一次突破都让我对数学的敬畏之心更深一筹。有时候，遇到特别棘手的题目，我会反复翻阅前面的讲解，尝试从不同的角度去理解，最终豁然开朗的那一刻，那种成就感是任何其他事物都无法比拟的。这本书就像一位循循善诱的良师，它不会直接把答案塞给你，而是引导你去探索，去发现，去构建属于自己的数学知识体系。

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“大学数学教程（第3册）”的编排方式，可以说是颠覆了我之前对数学教材的固有印象。它不是那种枯燥乏味、只有公式和定理的堆砌。相反，它更像是一本引人入胜的数学故事集。书中穿插的许多数学史的轶事，以及一些著名数学家在解决相关问题时的心路历程，让我觉得学习数学不再是冷冰冰的符号游戏，而是充满了人文关怀和智慧的闪光。我特别喜欢它关于“某些著名数学难题的提出与解决历程”的章节，它不仅仅是罗列了问题，而是深入浅出地讲解了前人为了解决这些难题所付出的艰辛努力，以及那些天才的想法是如何一步步诞生的。这让我深刻体会到，数学的进步是无数人智慧的结晶，也是人类文明发展的重要组成部分。有时候，我会在学习疲惫的时候，翻到这些故事性的段落，仿佛置身于那个充满探索与发现的时代，重新点燃学习的激情。这种将历史、哲学与数学知识巧妙融合的叙事手法，让我在不知不觉中，对数学产生了更深层次的理解和更持久的热爱。

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我对“大学数学教程（第3册）”最深刻的感受之一，是它在引导学生建立数学直觉方面的独到之处。很多时候，我们学习数学会陷入死记硬背公式的误区，而这本书恰恰在努力打破这种局面。它不仅仅告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么”。在解释某个定理或者公式的由来时，它会从最基本的原理出发，一步步引导你理解其背后的逻辑和思想。我尤其欣赏它在引入一些高阶概念时，会先用一些形象的比喻或者简单的物理模型来帮助我们建立初步的直观认识，然后再进行严格的数学推导。这种“先感性，后理性”的学习路径，让我在面对复杂的数学问题时，不再感到茫然，而是能够通过直觉去捕捉问题的关键，然后再用严谨的数学语言去证明。这种能力的培养，对于我未来在数学及相关领域的深入学习，起到了至关重要的作用。

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不得不提的是，“大学数学教程（第3册）”在语言表达上的精炼与准确，以及排版上的用心。尽管内容相当深奥，但作者们似乎极力避免使用晦涩难懂的术语，而是用清晰、流畅的语言将复杂的数学概念阐释清楚。书中的插图和图表，都设计得非常恰当，不仅美观，更重要的是能够有效地辅助理解，将抽象的数学关系可视化。我还注意到，在定义和推导过程中，作者们对于符号的使用也非常规范，这对于避免混淆至关重要。每一次阅读，都感觉是在与一位严谨而富有逻辑性的数学家对话。此外，这本书的装帧设计也相当不错，纸张的触感和墨水的颜色都让人觉得很舒服，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。总之，这不仅仅是一本教科书，更是一件印刷精良、内容扎实的学习工具，它所营造的良好阅读体验，本身就是一种对知识的尊重。

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