高等数学附册学习辅导与习题选解//大学数学学习辅导丛书(同济.第五版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787040446869

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《微积分学导论：理论、方法与应用》 内容提要： 本书旨在为初次接触微积分学习的读者提供一个全面、深入且易于理解的入门指南。全书共分为四个主要部分，系统地涵盖了极限、导数、积分、级数以及多元函数微积分的基础概念、核心定理与实际应用。我们力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的直观阐释和解题技巧的有效传授，辅以大量的实例和精选的练习题，帮助读者建立坚实的微积分思维基础。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本部分从严格的 $epsilon-delta$ 语言出发，构建了函数极限的精确定义。我们详细探讨了单侧极限、无穷极限以及函数在无穷远处的行为，并系统地论述了极限的代数性质与极限保序性定理。连续性作为极限的直接延伸，被置于一个中心地位。我们不仅定义了函数在一点和区间上的连续性，还深入剖析了闭区间上连续函数的关键性质，特别是介值定理和最大值-最小值定理，这些定理是后续微分学和积分学许多重要结论的理论支撑。在讲解过程中，穿插了大量几何直观的解释，例如用割线趋近切线的方式来理解极限的本质，确保读者能够从不同角度理解这一核心概念。 第二部分：导数与微分——变化率的度量 导数被引入为刻画瞬时变化率的工具。本部分首先通过切线斜率和速度问题的背景，自然地引出导数的定义。随后，我们系统地推导和证明了所有基本的微分法则，包括幂法则、乘法法则、除法法则以及链式法则，并特别强调了链式法则在复杂复合函数求导中的核心作用。初等函数的求导公式被详尽列出并进行证明。 本部分的核心在于应用。我们详细讲解了导数在函数图像分析中的应用，包括确定函数的单调性、极值点、凹凸性以及拐点，并利用洛必达法则解决不定式极限问题。曲线的切线方程、曲率的计算以及相关的变化率问题（Rates of Change）被作为重要的实际应用案例进行深入剖析。此外，微分的概念被引入，作为线性近似的理论基础，阐释了 $dy$ 与 $dx$ 的几何意义及其在误差估计中的作用。 第三部分：积分学——积累与求和 积分学的引入遵循了经典的几何动机——计算面积。本部分从黎曼和的概念出发，逐步过渡到定积分的精确定义。我们详细讨论了定积分的几何意义、性质以及微积分基本定理。微积分基本定理被视为连接微分学与积分学的桥梁，其证明过程被清晰地分解，以展示导数与积分的互逆关系。 不定积分的求解是本部分的技术重点。我们不仅列举了常见的积分技巧，如变量代换法（换元法）和分部积分法，还对有理函数积分的三角代换、三角函数积分等特殊技巧进行了详尽的讲解和大量的例题示范。定积分的应用部分，涵盖了计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）以及曲线的弧长等经典问题。 第四部分：超越基础——级数与多元微积分初探 本部分将学习者的视野拓展到更高层次。在无穷级数方面，我们首先从序列的收敛性入手，定义了幂级数，并深入探讨了泰勒级数和麦克劳林级数。如何利用已知的级数展开式构造新函数的级数，如何确定级数的收敛半径和收敛区间，以及级数的逐项求导和求积的有效性，都是本部分讨论的重点。通过对泰勒多项式的研究，读者能够理解函数如何被多项式高精度地逼近，这是现代科学计算的基石。 多元函数微积分部分作为对基础微积分的自然延伸，聚焦于二维和三维空间中的函数。我们引入了偏导数的概念，并详细阐述了方向导数和梯度。多变量函数极值问题的求解，特别是使用二阶偏导数判别法（Hessian 矩阵的概念），被系统地介绍。虽然篇幅有限，但本部分为读者未来学习更高级的多变量微积分（如多重积分、线积分等）打下了坚实的理论基础。 本书特色： 1. 概念驱动与应用并重： 每引入一个新概念，都首先从直观的实际问题（如物理、工程中的变化率或积累量）入手，再进行严格的数学定义，确保理解的深度与广度兼备。 2. 详尽的解题步骤： 对所有例题，均提供了细致入微的解题步骤和关键的思维节点提示，尤其在涉及代数技巧和换元方法的选择上，提供了多种思路的比较。 3. 精选习题体系： 习题设计从基础巩固型到综合应用型，难度梯度平稳上升，旨在有效检验读者对知识点的掌握程度和综合运用能力。每章节末尾附有少量具有挑战性的综合题，鼓励学生进行深入思考。 本书适合作为高等院校理工科、经济学、管理学等专业本科生微积分课程的教材或参考书，也适合自学者系统性地学习和复习微积分知识。通过本书的学习，读者将能够熟练运用微积分工具解决实际问题，并为后续的专业课程学习打下坚实的基础。

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说实话，我刚拿到这套丛书时，内心是抱着一丝怀疑的。市面上的“学习辅导”读物太多了，很多都是把教材内容换汤不换药地重新排版一遍，内容深度和广度都远远不够，更别提所谓的“习题选解”了，很多解答过程过于简略，看得人一头雾水。然而，这本附册完全颠覆了我的认知。它在深度上做得非常到位，很多我自学时感到棘手的、教科书上一笔带过的证明，它都给出了详尽的、分步骤的解析。我尤其欣赏它在习题选择上的独到眼光。它不是堆砌数量，而是精选那些能够体现不同知识点交叉融合的题目。比如，关于定积分的应用题，它囊括了从基础的几何计算到更高级的物理建模，每一种题型都有其特定的解题思路和陷阱分析。当我尝试自己解题失败后，再对照书中的“解题思路剖析”部分，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它教会我的不仅仅是得出正确答案，更重要的是培养了我面对陌生问题的分析框架和解决问题的策略。这对于我后续进行更深入的专业学习，打下了极其坚实的基础，让我对数学思维的形成有了更清晰的认识。

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如果用一个词来形容这本书给我的感受，那就是“体系化”。我之前学习高等数学的时候，最大的困惑是如何将看似零散的知识点串联起来。比如，无穷级数的收敛性测试，和微分方程的解法之间，到底隐藏着怎样的联系？这本书在它的章节衔接和附录部分，非常注重这种宏观的联系构建。它不仅仅是告诉你“A”如何计算，“B”如何求解，更重要的是，它在字里行间透露出“A”和“B”是如何在一个更宏大的数学框架下相互印证的。特别是书中对一些重要定理的“历史背景介绍”和“现代应用展望”的简短描述，虽然篇幅不大，但极大地激发了我对数学研究的兴趣。它让我明白，这些冷冰冰的公式背后，是无数数学家智慧的结晶，它们不是凭空出现的，而是为了解决实际问题而诞生的工具。这种对知识“生命力”的强调，让学习过程变得生动起来，而不是枯燥的符号操作，这对于保持学习的长期动力，起到了不可替代的作用。

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这本书的排版和语言风格，可以说是相当的“老派”但又极其有效。它没有那种为了吸引眼球而采用的浮夸设计，字体和图表的呈现都是非常清晰、规范的数学风格。对于这种需要高度集中注意力的学科来说，这种沉稳的风格反而是最好的“阅读环境”。我发现，当我翻阅这本书时，我的注意力能够更长时间地集中在数学逻辑本身，而不是被花哨的装饰分散精力。更让我感到惊喜的是，它的例题和习题的设置，似乎是精心设计过的一个“难度爬升阶梯”。你从第一章开始，会感觉每进一步，难度都会平滑地上升一点点，让你总是在“跳一跳够得着”的状态下学习。这种循序渐进的节奏感，对于建立学习信心至关重要。很多其他参考书，要么一开始就难倒你，让你信心全无，要么就是后劲不足。但这部作品的整体设计，就像是为我们这些正在努力攀登数学高峰的学子量身定做的一条稳固的登山索道，每一步都有支撑，每一步都能看到更远的风景。

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这部书给我留下的印象，怎么说呢，就像是在一个迷宫里找到了一个关键的转向点。我之前在学习微积分的时候，总是感觉那些定理和公式像是孤立的岛屿，彼此之间联系不上，尤其是在处理那些复杂的证明题时，更是抓耳挠腮。这本书的厉害之处就在于，它不仅仅是罗列公式和例题，它更像是一个引路人，耐心地为你铺陈出整个知识体系的脉络。比如，它在讲解多变量函数微分时，对于梯度和方向导数的几何意义的阐述，简直是醍醐灌顶。我以前只是死记硬背它们的定义和计算步骤，但读了这本书后，我开始理解为什么它们会以那样的方式存在，它们在空间中到底代表着什么。作者似乎非常懂得学习者的痛点，总能在最关键的地方加入一些“为什么”的解释，而不是一味地“怎么做”。这让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地去探索和构建我的数学理解。特别是对于那些抽象的概念，比如拓扑学中的一些基础思想在实分析中的体现，这本书的处理方式非常巧妙，既保证了严谨性，又照顾到了初学者的接受程度。我敢说，要不是这本书，我可能还在那个死胡同里转圈呢。

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这本书在处理细节上的严谨性，真的让我肃然起敬。作为一本学习辅导材料，它展现出了接近于教材本身的专业水准。我记得有一次，我为一个关于洛必达法则应用条件的细节问题感到困惑，教科书上总是简单地提到“当出现0/0或无穷大/无穷大形式时”。但这本书在相应的习题解析中，非常细致地讨论了那些“擦边球”情况——比如极限存在的有限性、函数在某点附近的行为等。它不会放过任何一个可能导致错误结论的小瑕疵。这种对“精确”的极致追求，潜移默化地影响了我的思维习惯。我开始学会在写证明、做推导时，更加注意条件的完备性，不再满足于“大概是对的”。这种对数学本质的尊重和细致入微的讲解，让我意识到，数学学习的精髓不在于会做题，而在于理解“为什么”和“到什么程度为止”。这本书，无疑是培养这种严谨思维的最佳“陪练”。

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