高等数学自考必备(修订版)

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具体描述

深入浅出,构建坚实基础:微积分核心概念精讲与习题精练 本书旨在为广大理工科学生、考研人群以及需要系统复习微积分基础知识的自学者提供一套全面、深入且实用的学习资源。它并非对特定考试大纲的照搬,而是立足于微积分学科本身的逻辑结构与核心思想,致力于培养读者扎实的理论功底和灵活的解题能力。 第一部分:极限与连续性——微积分的基石 本部分将带领读者从严谨的数学语言中领会“无穷小”与“无穷大”的精妙之处。我们不会仅仅停留在公式的套用,而是深入探讨 $varepsilon-delta$ 语言的真正含义,这是理解现代数学分析的钥匙。 1.1 极限的严谨定义与几何意义: 详细解析了数列极限和函数极限的 $varepsilon-N$ 和 $varepsilon-delta$ 定义。通过大量实例解析,阐明极限存在的充要条件,并引入了直观的图形化解释,帮助初学者克服对形式化定义的畏惧。重点剖析了极限的保序性、局部性质以及函数在无穷远处的极限。 1.2 常用极限的计算技巧: 系统梳理了利用洛必达法则(详细讨论了其适用条件和适用范围)、等价无穷小替换(包括对常用等价无穷小量族的系统性归纳与推导)以及泰勒公式展开求极限的实用方法。特别地,本书对“不定式”的类型进行了详尽的分类讨论,并展示了如何根据具体题型选择最高效的计算路径。 1.3 连续性与间断点: 深度剖析了函数在一点连续的定义及其与极限的关系。对初等函数的连续性进行了详尽的证明与分析,并系统地分类讨论了函数在某点可能出现的各种间断类型——可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点,并配有大量的图形示例加以说明。此外,函数在闭区间上的性质,如有界性定理、最大值最小值定理以及介值定理,将以清晰的逻辑推导呈现。 第二部分:导数与微分——变化率的量化描述 导数是描述事物瞬时变化率的强大工具。本部分将聚焦于导数的几何意义、代数运算规则及其在实际问题中的应用。 2.1 导数的概念、定义与基本公式: 从平均变化率过渡到瞬时变化率,严格推导了基本初等函数的导数公式(包括三角函数、指数函数、对数函数等)。重点解析了导数的几何意义——切线斜率,并引入了法线斜率的概念。 2.2 导数的运算法则与复合函数求导(链式法则): 对乘法、除法、复合函数的求导法则进行了详细的步骤分解和多角度验证。特别辟出一节专门讲解反函数求导以及高阶导数的计算方法,为后续定积分的应用打下基础。 2.3 微分的概念及其应用: 清晰区分了“微分”与“导数”的本质区别,阐述了微分 $mathrm{d}y$ 与 $Delta y$ 之间的关系,及其作为线性近似的意义。通过实际算例演示如何利用微分进行近似计算。 2.4 导数的应用:函数性质的分析: 这是理论联系实际的关键部分。我们将运用导数来研究函数的单调性、极值(局部极值与最值)、凹凸性与拐点。详细讲解了利用一阶导数判断极值和利用二阶导数判定凹凸性的完整流程,并指导读者如何绘制函数的完整图像,包括渐近线的判断。此外,对曲率和曲率半径的引入,将为读者提供更深层次的几何洞察。 第三部分:定积分与不定积分——累积效应的度量 从求面积和曲线下面积的实际问题出发,自然引入定积分的概念,并展示其与不定积分之间的深刻联系。 3.1 不定积分与积分法则: 系统介绍不定积分的求解策略,包括基本积分公式、换元积分法(第一类和第二类)以及分部积分法的原理与操作规范。特别强调了分部积分法中如何选择 $u$ 和 $mathrm{d}v$ 的经验性指导。 3.2 定积分的概念、性质与计算: 详细阐述了黎曼和的构造过程,理解定积分作为极限的定义。系统归纳了定积分的七大性质,并重点讲解微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)的内涵与外延,这是连接微分学和积分学的核心桥梁。 3.3 微积分基本定理的深入应用: 不仅限于求面积,本书还将定积分的应用拓展至: 几何应用: 弧长、平面图形的面积、旋转体的体积(圆盘法、圆环法和薄壳法)、平面曲线的曲率。 物理应用: 变力做功、质心、形心、转动惯量、压力和浮力计算。 3.4 广义积分的初步探讨: 对积分区间为无穷大或被积函数存在无穷间断点的广义积分进行了介绍,阐明了收敛与发散的判别方法,为后续的进阶学习做好铺垫。 第四部分:微分方程初步——描述动态系统的语言 微分方程是描述自然界和工程学中动态变化规律的基础数学工具。 4.1 一阶微分方程的求解: 本书集中于最常见和最基础的几类一阶微分方程:变量可分离方程、一阶线性微分方程(含积分因子法)、恰当方程(可通过凑微分识别)以及伯努利方程。每类方程都附带至少一个源于物理或工程背景的实际模型,以展示其应用价值。 4.2 二阶常系数线性齐次微分方程: 系统讲解了如何求解特征方程,并根据特征根的性质(实根、重根、共轭复根)确定通解的形式。 4.3 常系数线性非齐次微分方程(待定系数法): 详细阐述了待定系数法求解非齐次项为多项式、指数函数、正弦/余弦函数或它们的乘积时的具体步骤和规则,以及特解与通解的叠加原理。 本书特点总结: 理论深度与实用性并重: 每一个重要定理的推导都力求清晰无误,同时在解题技巧上提供大量实战经验。 习题精选与解析详尽: 包含大量基础巩固题、综合应用题和能力提升题。所有核心例题均附有详尽的步骤分析,帮助读者理解“如何思考”而非仅仅“如何计算”。 结构逻辑严密: 全书内容严格遵循微积分从极限到导数,再到积分,最后到微分方程的自然递进顺序,确保知识体系的完整性和一致性。 排版清晰: 数学符号和公式采用规范的排版,确保阅读体验的流畅性,最大程度减少因格式不清带来的理解障碍。 本书旨在成为一本独立学习者手中值得信赖的参考书,也是课堂教学中强有力的补充教材,助您真正掌握微积分这门跨越所有理工科学科的强大分析工具。

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读后感

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这本书真的让我有一种“相见恨晚”的感觉。我之前已经考过几次高等数学,但都因为各种原因没有通过,每次都感觉自己努力了,但总是差那么一点。这次我抱着最后一搏的心态,买来了《高等数学自考必备(修订版)》。没想到,这本书的质量如此之高,简直是我备考路上的“神助攻”。它在内容上,对高等数学的各个分支都进行了系统性的梳理,每个知识点都讲解得非常透彻,而且重点突出,难点也得到了很好的突破。我特别喜欢它在讲解一些抽象的概念时,会运用大量的图示和比喻,让这些原本晦涩难懂的内容变得生动形象,易于理解。比如,在讲解向量和空间几何时,书中提供的三维立体图示,让我能够直观地感受到空间关系,这比单纯的文字描述要有效得多。而且,这本书的习题量非常大,并且题型多样,涵盖了自考的各种题型,从基础计算到综合应用,都能找到相应的练习。我最看重的是它在解析上的详细程度。每一个习题都提供了详细的解题步骤,并且对一些关键的公式和定理的应用进行了说明,让我能够清楚地知道为什么这样做,而不是仅仅知道“怎么做”。这本书让我对高等数学的学习产生了前所未有的信心。

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说实话,我拿到《高等数学自考必备(修订版)》的时候,并没有抱太大的期望。毕竟,自考这个科目,我之前已经尝试过好几本书,但总觉得差了点意思。这次也不过是抱着试试看的心态。然而,这本书的质量完全超出了我的预期。它在内容上的安排非常合理,从最基础的概念引入,到复杂的定理推导,再到应用题的解析,层层递进,逻辑性极强。我最欣赏的是它对抽象概念的具象化处理,比如在讲解积分的概念时,它用了非常生动的比喻,让我这个一直对微积分感到头疼的人,一下子就理解了它的本质。而且,书中的图表和公式也都清晰明了,排版设计也非常人性化,一点也不显得拥挤。在习题方面,这本书可以说是下足了功夫。不仅仅是数量上的保证,更在于题型的多样性和代表性。它涵盖了自考中可能出现的各种题型,从选择题、填空题到解答题,从概念理解到计算应用,都能找到相应的练习。更重要的是,它的习题难度设置也很有层次,由易到难,循序渐进,能够帮助考生逐步建立起解题的信心和能力。我尤其喜欢它的一些“陷阱题”设计,能够有效地提醒我在解题过程中需要注意的细节和常见误区。最令人印象深刻的是,书后的解析部分,详略得当,对于一些关键步骤,给出了详细的推导过程,对于一些综合性题目,则提供了多种解题角度,这对于我独立思考和提升解题能力非常有帮助。这本书让我对高等数学的学习不再感到畏惧,反而充满了兴趣和动力。

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如果说之前的学习经历是一种“摸索”,那么拥有《高等数学自考必备(修订版)》之后,我的备考就进入了“导航”模式。这本书的结构安排非常合理,从概念的引入,到定理的推导,再到实际应用,层层递进,逻辑性极强。它不仅仅是知识的堆砌,更是一种思维方式的引导。我尤其欣赏它在讲解过程中,对知识点之间的联系进行了清晰的梳理,让我能够看到高等数学作为一个整体的逻辑脉络,而不是零散的碎片。书中大量的例题和习题,都经过精心设计,能够涵盖自考的各种题型和考查方式。我特别喜欢它的一些“变式题”,能够帮助我理解同一个知识点在不同情境下的应用。最令人印象深刻的是,书后的解析非常详尽,对于一些复杂的题目,它会提供多种解题方法,并分析每种方法的优劣,这让我能够拓宽解题思路,提升解题的灵活性。这本书就像一位经验丰富的导师,不仅传授我知识,更教会我如何思考,如何解题。

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这本书给我的感觉非常“接地气”。作为一名需要通过自考来提升学历的在职人员,我没有太多时间和精力去钻研高深的理论,我需要的是一本能够直接帮助我解决考试问题的实用教材。《高等数学自考必备(修订版)》正是这样的一本书。它在内容上,紧密围绕自考大纲,将高等数学的核心知识点进行提炼和梳理,讲解清晰易懂,并且大量的公式和定理都附有简洁的推导过程和清晰的解释。我最喜欢的是它在讲解一些应用题时,会引用到我们日常生活中经常遇到的问题,比如经济学、工程学中的实际应用,这让我能够深刻理解高等数学的价值和意义,也让我学习起来更有动力。而且,这本书的习题设计也非常贴合实际考情,题量充足以供练习,题型多样以供检验。我特别看重它在解析上的“诚意”,它不仅仅是给出答案,更是会详细地解释解题思路和方法,甚至会分析解题过程中容易出现的错误,这对于我这种需要不断巩固和纠错的学习者来说,帮助巨大。这本书让我觉得高等数学不再是遥不可及的理论,而是触手可及的知识。

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我是一名跨专业考生,对于高等数学的基础非常薄弱。在备考过程中,我尝试了很多方法,但效果都不尽如人意。直到我遇见了《高等数学自考必备(修订版)》,我才真正找到了适合自己的学习方法。这本书的讲解方式非常人性化,它从最基础的概念讲起,逐步深入,循序渐进,让我这个数学“小白”也能看得懂。我尤其喜欢它在讲解抽象概念时,会运用大量的图示和生活中的例子,将这些复杂的数学理论变得生动有趣,易于理解和记忆。比如,在讲解导数时,它用汽车的速度变化来类比,让我瞬间就理解了导数的意义。而且,这本书的习题量非常大,而且题目质量很高,很多题目都紧扣自考大纲,能够帮助我巩固所学知识,并熟悉考试题型。我最看重的是它在习题解析上的详尽程度。每一个题目的解析都非常细致,不仅给出了详细的解题步骤,还对一些关键的公式和定理的应用进行了说明,让我能够明白“为什么”这样做,而不是仅仅知道“怎么做”。这本书让我对高等数学的学习不再感到恐惧,反而充满了自信。

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拿到《高等数学自考必备(修订版)》的时候,我被它厚实的体量和细致的内容所折服。我之前接触过不少关于高等数学的书籍,但很多都过于偏重理论,或者习题量不足,无法满足自考备考的需求。这本书则完全不同。它以自考大纲为核心,将高等数学的知识点进行了高度提炼和归纳,每一个章节的讲解都清晰明了,重点突出,难点也都给出了详尽的解析。我尤其欣赏它在公式推导和定理证明方面的严谨性,但同时又不会过于枯燥,而是通过简洁易懂的语言进行阐释。它就像一个经验丰富的导游,能够带领我穿梭在高数这片复杂的知识海洋中,让我不再迷失方向。这本书的习题部分更是让我惊喜连连。它不仅提供了大量的练习题,而且题目的设计都非常贴合自考真题的风格,题型丰富,难度适中,能够有效地检验我的学习成果。最让我感动的是,书后的解析部分,堪称“神来之笔”。它不仅给出了标准答案,还提供了多种解题思路和方法,并且对一些易错点进行了特别提示,这对于我这种需要反复打磨细节的学生来说,帮助巨大。这本书让我对高等数学的学习充满了动力,也让我看到了通过自考的希望。

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这本书简直是为我量身定做的!作为一名自考高等数学的考生,我之前为了寻找一本合适的教材和习题集,可谓是煞费苦心,跑遍了各大书店,浏览了无数的网店。市面上关于高等数学的书籍琳琅满目,但要么过于理论化,脱离实际考情,让人看得云里雾里;要么习题量不足,或者答案解析过于简单,根本无法帮助理解。直到我遇见了《高等数学自考必备(修订版)》,一切都改变了。首先,它的编排逻辑非常清晰,完全符合自考大纲的要求,每个章节的知识点都讲解得深入浅出,重点突出,难点攻克。我尤其喜欢它在讲解例题时,不仅仅给出解题步骤,更详细地剖析了每一步的原理和思路,这对于我这种数学基础相对薄弱的考生来说,简直是雪中送炭。而且,书中大量的习题设计得非常贴合自考真题的风格,题量也足够支撑我进行反复练习,直到熟练掌握。更让我惊喜的是,书后的答案解析非常详细,不仅给出了最终答案,还提供了多种解题思路和方法,并且对一些易错点也做了特别的提示。这极大地提高了我的学习效率,让我能够及时发现和纠正错误,避免在考场上犯同样的低级错误。以前,我常常在做完题后,面对错误答案一筹不 माझा,而现在,我可以自己独立地找到问题所在,并加以改进。这本书真正做到了“必备”,它不仅仅是一本教材,更是一位循循善诱的老师,一位值得信赖的学伴。我强烈推荐给所有正在备考高等数学自考的同学们,选择它,绝对不会错!

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这本书给我最大的感受就是“实用”和“全面”。作为一名非数学专业的自考生,我对高等数学的理解能力有限,常常在学习过程中遇到瓶颈。而《高等数学自考必备(修订版)》恰恰解决了我的燃眉之急。它不仅仅是一本书,更像是一个完整的学习体系。从基础概念的引入,到复杂定理的讲解,再到实际应用题的解析,每个环节都衔接得天衣无缝。它的内容编排非常符合考生的学习习惯,逻辑清晰,重点突出。我最喜欢的是它在讲解概念时,会引用大量的实例,将抽象的数学理论与生活中的现象相结合,让我能够更好地理解和记忆。比如,在讲解极限概念时,它用了“无限逼近”的生动比喻,一下子就打通了我理解的任督二脉。而且,书中的公式和定理也都给出了详尽的解释和推导过程,我不再是机械地记忆,而是能够理解其背后的原理。在习题方面,这本书更是达到了“海量”的程度,而且每一道题都经过精心筛选,紧扣自考考纲,能够帮助考生进行全方位的练习。我尤其赞赏它在习题后提供的详尽解析,不仅仅给出答案,更重要的是,它会详细解释解题思路和关键步骤,甚至会指出常见的错误解法,这对于我这种需要反复巩固和纠错的学生来说,价值连城。这本书让我对高等数学的学习不再感到枯燥乏味,而是充满了成就感。

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这本书最大的优点在于它的“精准”和“高效”。作为一名在职考生,我每天可用于学习的时间非常有限,因此我需要一本能够最大程度节省我时间的教材。《高等数学自考必备(修订版)》正是我的理想选择。它紧扣自考大纲,内容精炼,重点突出,每一个知识点都讲解得非常到位,而且避免了不必要的理论冗余。我喜欢它简洁明了的语言风格,没有华而不实的修饰,直击核心。在讲解过程中,它善于提炼出考查的核心考点,并给出清晰的解题思路,这对于我快速掌握知识点非常有帮助。而且,这本书的习题设计也非常有针对性,题量适中,但每道题都代表了某种题型或者某个重要的知识点。我尤其赞赏它在解析上的“点睛之笔”,它不仅给出了标准答案,更重要的是,它会针对性地分析解题思路,并指出常见的解题误区,这让我能够事半功倍地提升解题能力。这本书让我能够高效地利用有限的时间,扎实地掌握高等数学的知识,为我的自考之路奠定了坚实的基础。

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如果说自考高等数学是一场艰苦的征途,那么《高等数学自考必备(修订版)》无疑是我途中最坚实的伙伴。我一直对数学有些恐惧感,尤其是高等数学,各种公式和定理对我来说就像天书一般。在备考初期,我尝试过几本不同的教材,但都因为内容过于晦涩难懂而放弃。直到我的同学向我推荐了这本书,我才看到了希望。这本书的语言风格非常朴实,没有使用太多拗口的专业术语,而是用大家都能理解的方式来讲解知识点。它就像一位经验丰富的老师,能够准确地抓住学生学习中的痛点,并给出有效的解决方案。比如,在讲解导数和微分的概念时,它通过生活中的实际例子,比如速度变化、曲线斜率等,来生动地解释这些抽象的概念,让我瞬间茅塞顿开。而且,书中对于每一个公式的推导都给出了详细的步骤,并解释了每个步骤的意义,这对于我理解数学的内在逻辑非常重要。我不再是死记硬背公式,而是能够理解公式的来源和应用。在习题方面,这本书的质量更是让我惊叹。它提供的习题不仅数量庞大,而且质量非常高。很多习题都紧扣自考大纲,涵盖了考试的重点和难点。我特别喜欢它的一些综合性题目,能够将多个知识点融会贯通,这对于我提升解题能力非常有帮助。书后的解析更是详细到令人发指,每一个解题步骤都清晰明了,而且还提供了多种解题方法,让我能够从不同的角度去思考问题,从而更好地掌握知识。这本书让我从一个对高等数学束手无策的学生,变成了一个能够自信面对考试的考生。

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