An Introduction To Differential Geometry - With The Use Of Tensor Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Maugham Press

作者:Luther Pfahler Eisenhart

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2008-11-04

价格:USD 41.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781443722933

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 张量分析
• 流形
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 拓扑学
• 曲线曲面
• 黎曼几何
• 微分方程

《拓扑学导论》 本书旨在为读者提供一个坚实而深入的拓扑学基础，重点关注点集拓扑和代数拓扑的基础概念与核心理论。 第一部分：点集拓扑——空间的结构与性质 本部分将从最基本的集合论和度量空间概念出发，逐步构建起点集拓扑学的整个理论框架。我们将细致探讨拓扑空间的定义、基础结构，以及如何利用这些结构来分析空间的内在属性。 第一章：预备知识与基础概念 本章首先回顾必要的集合论知识，包括开集、闭集、闭包、内部和边界的定义。在此基础上，正式引入拓扑空间的定义——一个集合配上一个由开集构成的集合族，并讨论如何从基、局部基和 ঘনত্ব（Countability）等概念来刻画拓扑的性质。我们将详细分析欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑，并展示如何从度量诱导出拓扑结构。紧接着，我们将介绍连续函数的拓扑定义，这为后续分析奠定了基础。 第二章：连通性与分离公理 连通性是拓扑空间最基本的性质之一。本章深入研究连通空间的定义、路径连通性及其与连通性的关系。我们将探索连通集的代数性质，并引入分离公理（Separation Axioms）。从 $T_0$ 空间到最常用的 $T_1$ 和 Hausdorff 空间（或称 $T_2$ 空间），我们将阐明为何 Hausdorff 性质在分析中至关重要。Hausdorff 空间的特性，例如在一个这样的空间中序列的极限的唯一性，将被详尽证明。此外，还会讨论紧致性（Compactness）的概念。我们将通过 Heine-Borel 定理（针对 $mathbb{R}^n$）来引入紧致性的直观理解，然后转向更抽象的定义，如开复盖的有限子复盖性质。紧致性和分离公理之间的交叉性质，例如紧致子集在某个特定空间中的闭性，也将被深入剖析。 第三章：乘积空间与商空间 构建新的拓扑空间是拓扑学中的重要技巧。本章专注于两种主要的构造方法：乘积空间和商空间。对于有限个拓扑空间的乘积，我们将定义盒（Box）拓扑和积拓扑，并证明积拓扑的优越性，特别是在保证投影映射连续性方面的作用。随后，我们将转向商空间。商空间是通过等价关系来“粘合”空间点的过程。我们将详细讨论如何从一个已知的拓扑空间 $X$ 和一个等价关系 $sim$ 构造出商空间 $X/sim$，并定义商拓扑。商空间在构造新颖结构（如圆周、球面）中起着核心作用，相关的连续性条件和拓扑保持性质将被仔细考察。 第四章：完备性与紧致性 本章将深入探讨拓扑空间中的收敛概念，特别是完备性。我们将详细介绍度量空间中的柯西序列，并定义完备度量空间。我们将探讨 Baire 范畴定理（Baire Category Theorem）在完备度量空间中的应用，这对于泛函分析和微分方程的解的存在性至关重要。紧接着，我们将重新审视紧致性，引入局部紧致性的概念，并研究紧致性在乘积空间中的性质。关键的Tychonoff 定理——任意紧致空间的乘积空间仍然是紧致的——将作为本章的理论高潮，其证明将依赖于对对偶理论的深入理解。 第二部分：代数拓扑的入门——不变量的引入 点集拓扑描述的是空间的“连接”方式，但往往难以区分拓扑性质迥异的空间（例如一个圆盘和一个圆环）。代数拓扑的目标就是通过构造代数结构（如群或环）来给拓扑空间赋予不变的代数“标签”。 第五章：基本群——连通性的代数衡量 本章是代数拓扑的起点。我们将定义路径和路本（Loop），并定义它们之间的同伦关系。同伦等价的概念将用于区分拓扑空间。在此基础上，我们正式引入基本群 $pi_1(X, x_0)$，它由空间中所有基于点 $x_0$ 的路本在同伦关系下的等价类构成。我们将证明基本群是一个群（群运算是路径的连接），并展示其在区分空间上的强大能力，例如证明圆周 $S^1$ 和一个点 $P$ 的基本群是不同的。我们还将研究覆盖空间和万有覆叠的概念，并阐述单连通空间（基本群是平凡群）的特征。 第六章：覆盖映射与基本群的计算 为了更有效地计算基本群，本章将系统地介绍覆盖映射（Covering Maps）。我们将定义覆盖映射的拓扑性质，并利用它来理解Deck Transformation Group（覆盖变换群）。我们将证明，如果 $p: E o B$ 是一个覆盖映射，那么 $p$ 诱导出基本群之间的同构：$pi_1(E) cong p^{-1}(b_0)$ 在 $b_0$ 的拉回子集上的共轭子群。最后，我们将应用这些工具来计算几个重要空间的代数不变量：例如，我们将证明 $n$ 维环面 $mathbb{T}^n$ 的基本群是 $mathbb{Z}^n$，而二维球面 $S^2$ 是单连通的。 结论与展望 本书的结构旨在提供从直观的几何概念到严格的代数工具的平滑过渡。读者在完成本书后，将不仅掌握点集拓扑的全部核心理论，包括分离公理、紧致性和完备性的深刻理解，还将具备计算基本群和理解覆盖空间的基本代数拓扑技能，为进一步学习同调论、同伦群和微分几何打下坚实的基础。本书的例子和习题将侧重于拓扑空间构造和拓扑性质的保持与破坏，引导读者真正理解拓扑思维模式。

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我必须说，这本书的编辑和排版都非常出色，这对于阅读一本技术性强的书籍来说至关重要。清晰的章节划分、适当的间距以及高质量的图示，都极大地提升了我的阅读体验。作者在引入新概念时，总是会先给出其几何意义和直观解释，然后再进行严谨的数学推导，这种“先有概念，后有公式”的教学方式，非常符合我的学习习惯。例如，在介绍张量作为多线性函数时，作者并没有直接给出抽象的定义，而是从坐标变换和不变量的角度，解释了为什么我们需要张量这样的数学对象。我记得在学习协变导数和度量张量之间的关系时，作者花费了大量篇幅来解释度量张量如何“指导”向量在流形上的平行移动，以及协变导数如何衡量这种“指导”的程度。这种细致入微的讲解，让我能够深入理解微分几何中的核心思想。这本书的习题也设计得非常有价值，它们不仅是对教材内容的巩固，更是对理解能力的挑战。有些习题需要我反思和应用前面学到的知识，这极大地提升了我解决问题的能力。而且，这本书还对一些更高级的概念，如微分形式和霍奇分解，进行了初步的介绍，这让我对微分几何的广阔领域有了更清晰的认识，并激发了我进一步深入学习的兴趣。总而言之，这是一本既有深度又有广度，同时兼具阅读愉悦感的优秀教材，它为我打开了探索微分几何和张量微积分的大门，并且让我对这个领域充满了探索的激情。

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作为一名对理论物理，尤其是广义相对论感兴趣的学生，我一直在寻找一本能够扎实地讲解微分几何和张量微积分的书籍。终于，我找到了《An Introduction To Differential Geometry - With The Use Of Tensor Calculus》。这本书的优点在于，它不仅仅是单纯的数学推导，而是非常注重这些数学工具在物理学中的应用和意义。作者在介绍流形和切空间时，就引入了物理学中诸如速度、加速度等概念，使得抽象的数学结构与熟悉的物理现象联系起来。我特别欣赏他们关于度量张量的讲解，不仅仅是定义了度量张量如何计算距离和角度，更重要的是阐述了它在描述时空几何中的核心作用，以及它如何决定了物体在时空中的运动轨迹。书中对黎曼几何和曲率张量的阐述，更是为我理解引力场如何由物质分布引起提供了清晰的数学框架。他们通过类比，将曲率张量比作一个“影子”，它反映了时空在物质存在下产生的“扭曲”。这种形象化的比喻，让我在面对复杂的张量方程时，能够抓住其背后的物理含义。而且，本书在张量演算的部分，非常注重细节，例如对指标的升降、缩并、求和约定等操作的详细说明，这对于避免计算错误至关重要。我记得在学习张量乘法时，作者不仅给出了矩阵乘法的类比，还展示了如何通过物理量的组合来理解张量乘法。这本书的章节安排也十分合理，从基本的度量几何到更复杂的黎曼几何，再到对曲率的深入探讨，每一步都衔接得非常自然。它也让我看到了，数学语言是如何精确地描述物理现实的，尤其是当涉及到弯曲时空时，传统欧几里得几何的局限性就暴露无遗，而微分几何和张量微积分则提供了强大的工具来解决这些问题。

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在我看来，这本《An Introduction To Differential Geometry - With The Use Of Tensor Calculus》是一本非常适合数学系高年级本科生或者研究生入门微分几何的教材。它在内容的选择上既广博又深入，既涵盖了微分几何的基础理论，又引入了张量微积分这一强大的分析工具。作者在介绍流形的概念时，非常细致，从度量空间、拓扑空间开始，一步步构建起流形的定义，并且通过例子说明了什么是光滑结构。这对于我来说，是非常重要的，因为我之前对流形的理解仅仅停留在“可微的”这样一个模糊的概念上。这本书通过引入切空间和向量场，让我能够理解在流形上进行向量运算的可能性，并且进而理解导数和积分在流形上的意义。我尤其欣赏作者对黎曼几何的讲解，他们深入浅出地解释了度量张量、联络、协变导数以及曲率张量这些核心概念，并且清晰地阐述了它们之间的相互关系。书中关于测地线的部分，不仅仅是给出了测地线的定义，还详细地讨论了测地线的存在性和唯一性，以及它们在曲率下的行为。这让我对“直线”在弯曲空间中的推广有了更深刻的认识。此外，这本书的习题设计也非常有启发性，它们不仅巩固了教材中的概念，更引导我去思考一些更深层次的问题。有些习题甚至需要我查阅一些辅助资料，这极大地锻炼了我独立解决问题的能力。总的来说，这本书不仅是知识的传递，更重要的是能力的培养，它教会了我如何思考和解决涉及微分几何和张量微积分的问题，为我未来的研究打下了坚实的基础。

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这本书给我带来的最深刻印象之一，是它在处理张量计算时的严谨性和清晰度。许多教材可能会在计算细节上有所省略，导致读者在实际操练时感到困惑，但这本书却恰恰相反。它详细地解释了张量指标的规则，例如求和约定和克罗内克符号的作用，并且在推导过程中，每一步都标注清楚了指标的变化和运算。这使得我在练习计算时，能够有章可循，不会因为混淆指标而产生错误。作者在引入张量导数时，更是将它与我们熟悉的向量微分算子（如梯度、散度和旋度）进行了联系，并且解释了它们之间的关系，这让我能够理解，张量导数是如何将这些基本的微分运算推广到更一般的张量场上。我尤其记得对曲率张量的推导过程，作者通过对测地线进行微小扰动的分析，一步步地构建了里奇张量和斯奇张量，并详细解释了它们各自在描述时空几何中的意义。这本书的数学证明风格也十分讨喜，它不是那种枯燥乏味的符号堆砌，而是力求通过逻辑推理，清晰地展示定理的由来。每当遇到一个重要的定理，作者都会先从一个直观的几何思想出发，然后用精确的数学语言将其形式化，最后给出严格的证明。这种方式极大地提升了我学习的效率和兴趣。此外，这本书的章节结构也非常便于查阅，它将不同的概念和公式都进行了清晰的分类和索引，我在复习或者查找某个特定公式时，能够非常快速地找到所需内容。对于那些想要深入理解张量微积分的读者来说，这本书绝对是一本不可多得的宝藏，它不仅教会你如何进行计算，更重要的是让你理解计算背后的原理和意义。

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这是一本在接触微分几何的初始阶段就让我感到非常愉悦的书。作者以一种循序渐进的方式，将抽象的数学概念具象化，并通过大量的例子和图示来辅助理解。我尤其欣赏它在建立直觉方面的努力，很多在其他教材中可能被视为理所当然的跳跃，在这本书中都得到了细致的解释。例如，在引入曲面理论时，作者花了相当多的篇幅来讨论切平面和法向量的概念，并通过想象一个在三维空间中光滑变形的二维纸张来帮助读者建立三维感受。他们对曲率的讲解，特别是高斯曲率和平均曲率的几何意义，也做得非常出色，让我能够深刻体会到它们是如何描述一个曲面弯曲程度的。而且，这本书并不止步于基础的曲面几何，很快就过渡到了黎曼几何的基石——张量分析。我一直认为，张量微积分是理解微分几何后续发展的关键，而这本书在这方面的引入恰到好处，它没有直接抛出复杂的张量定义，而是通过坐标变换的视角，一步步引出协变和逆变分量，以及张量的基本运算。这种“软着陆”的方式极大地减轻了我学习初期的畏难情绪。我记得在学习共变导数时，作者详细地解释了为什么需要它，以及它如何在不同坐标系下保持不变性，这对于理解测地线和曲率张量等后续概念至关重要。这本书的语言风格也非常清晰，虽然是学术性著作，但并没有显得过于晦涩难懂。作者在解释一些复杂定理时，总会先给出直观的几何解释，然后再进行严谨的数学推导，这对于我这种偏向几何直觉的学习者来说，简直是福音。总而言之，这本书为我打开了微分几何的精彩世界，让我对这个领域产生了浓厚的兴趣，并且为我后续更深入的学习打下了坚实的基础。

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这本书的叙事风格非常吸引人，它以一种娓娓道来的方式，将微分几何和张量微积分这两个看似晦涩的领域展现得清晰而生动。作者在讲解基本概念时，总是能够找到恰当的类比和直观的解释。例如，在介绍流形时，作者将一个弯曲的纸张比作一个二维流形，而纸张上的曲线就是流形上的曲线。然后，他们进一步解释了如何在纸张上的任意一点定义切线，以及这些切线如何构成一个切空间。这种从具体到抽象的过渡，极大地帮助我克服了对抽象概念的恐惧。我尤其喜欢书中关于曲率张量的讲解，作者通过对地球表面和其它弯曲曲面的类比，生动地解释了曲率张量是如何刻画时空弯曲的。他们还详细地展示了如何从度量张量出发，通过一系列张量运算，推导出曲率张量。这个过程虽然复杂，但由于作者的细致讲解，我能够一步步跟上，并且理解每一步的数学意义。这本书的张量演算部分也是我的学习重点，作者在介绍指标的升降、张量乘法、张量缩并等运算时，都给出了大量的例子，并且解释了这些运算的几何含义。我记得在学习如何通过张量缩并来得到标量曲率时，作者强调了这是将高阶张量“压缩”成一个数值的过程，而这个数值却蕴含了时空弯曲的整体信息。这种对数学工具背后意义的挖掘，让我对微分几何和张量微积分的理解更加深刻。这本书就像一个精美的拼图，作者巧妙地将各种数学概念拼凑在一起，最终呈现出一幅完整的几何画卷。

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作为一名对数学充满好奇心的探索者，我在寻求一本能够深入理解“弯曲”数学的书籍时，偶然发现了《An Introduction To Differential Geometry - With The Use Of Tensor Calculus》。这本书的价值在于，它不仅仅是关于微分几何的介绍，更是关于如何用数学语言描述和分析“弯曲”现象的指南。作者在开篇就强调了欧氏几何在描述弯曲空间时的局限性，并自然而然地引出了流形的概念。他们对流形上光滑函数、光滑映射以及切空间的定义，都进行了非常详尽的阐述，让我能够理解在没有固定坐标系的情况下，如何进行数学分析。我特别欣赏作者对度量张量的讲解，他们不仅阐述了度量张量如何定义流形上的距离和角度，更重要的是，他们将其与物理学中的度量概念联系起来，为理解时空几何打下了基础。书中对联络和协变导数的介绍，也是我学习过程中的一个亮点。作者解释了为什么在弯曲空间中，向量的平行移动会依赖于路径，以及协变导数如何捕捉这种路径依赖性。这种对“非欧几何”核心思想的深入剖析，让我对微分几何产生了更深的敬畏。而且，本书在处理张量运算时，也非常注重教学效果，通过对指标的巧妙运用，简化了复杂的计算过程，并且清晰地展示了不同张量运算的几何意义。这使得我在学习过程中，能够逐渐培养出对张量运算的“语感”。总而言之，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的向导，带领我穿越抽象的数学世界，去领略弯曲几何的魅力。它为我打开了一扇新的大门，让我看到了数学在描述复杂现象方面的强大力量。

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我之所以对这本书赞不绝口，很大程度上是因为它在讲解抽象概念时所展现出的卓越的教学艺术。作者并没有直接抛出复杂的数学定义，而是通过一系列精心设计的例子和类比，逐步引导读者进入微分几何的世界。例如，在介绍曲面时，作者首先从熟悉的二维平面和三维欧氏空间出发，然后引入曲面作为欧氏空间的子集，并通过对曲面上点、曲线、切向量等基本元素的讨论，建立起对曲面局部性质的直观认识。我特别喜欢他们对曲率的讲解，不仅仅是给出了数学公式，而是用“弯曲程度”这样的语言来描述高斯曲率和平均曲率的几何意义，并且通过对不同形状的曲面（如球面、马鞍面）的分析，让我能够深刻地体会到曲率所传达的信息。进入张量微积分的部分，作者同样采取了循序渐进的方法。他们从坐标变换出发，自然地引出了协变张量和逆变张量，以及张量代数的基本运算。我记得在学习张量微分时，作者详细地解释了度量张量在协变导数中的作用，以及它如何确保了在不同坐标系下的几何量的计算结果一致性。这种细致的讲解，使得我能够从根本上理解张量微积分的逻辑，而不是死记硬背公式。这本书的另一大优点在于，它始终将数学的抽象性与几何的直观性相结合，使得学习过程既严谨又富有乐趣。每次当我感觉某个概念难以理解时，翻回前面的图示和例子，总能找到新的灵感。这本书不仅提升了我的数学能力，更重要的是培养了我对数学美学的欣赏，让我看到了数学的内在逻辑和优雅。

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作为一名对数学物理交叉领域抱有浓厚兴趣的读者，我一直在寻找一本能够同时兼顾严谨性和应用性的教材。《An Introduction To Differential Geometry - With The Use Of Tensor Calculus》正是这样一本难得的著作。它不仅仅是枯燥的数学推导，更是将抽象的几何概念与物理学中的实际问题紧密结合。作者在介绍流形的概念时，就引入了物理世界中的运动轨迹和状态空间，使得抽象的数学结构变得触手可及。我尤其赞赏作者在讲解度量张量时，所展现出的深度。他们不仅仅是定义了度量张量如何计算流形上的长度和角度，更重要的是，他们阐述了度量张量作为时空几何的载体，如何决定了物体在其中的运动方式。例如，在讨论测地线时，作者通过度量张量与牛顿力学中惯性运动的联系，让我看到了微分几何在描述引力现象中的强大威力。书中对曲率张量的分析，更是为理解广义相对论的核心思想提供了坚实的数学基础。作者通过类比，将曲率张量比作时空对“自由落体”运动的影响，清晰地揭示了引力并非一种力，而是时空弯曲的表现。而且，这本书在张量计算方面的详尽指导，对于避免计算错误至关重要。作者对指标的约定、张量代数运算的细节，都进行了深入浅出的讲解，这使得我在解决复杂的物理问题时，能够更加自信。总的来说，这本书是一座连接数学与物理的桥梁，它不仅教会了我微分几何和张量微积分的知识，更重要的是，它让我看到了数学语言在理解宇宙运行规律方面的无与伦比的力量。

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这本书最让我印象深刻的一点，是它在介绍张量微积分时，对“不变量”概念的强调。作者反复指出，张量之所以重要，是因为它们在坐标变换下具有特定的变换规律，而一些由张量构成的特定表达式，比如数量曲率，却是坐标无关的，即它们是不变量。这种对不变量的关注，不仅贯穿了整个张量演算的讲解，也让我理解了微分几何在物理学中的核心价值——用独立于观测者视角的数学语言来描述物理现实。作者在讲解度量张量时，就强调了它作为几何不变量的重要性，它定义了流形上的距离和角度，而这些是独立于我们选择的坐标系的。我尤其欣赏他们对曲率张量及其不变量（如迹和行列式）的分析，这让我能够理解，尽管时空弯曲的局部细节可能很复杂，但其整体的弯曲性质可以通过一些不变量来概括。书中关于测地线的介绍，也紧密围绕着不变量的概念。作者解释了测地线是在曲面上“最短”或“最长”的路径，而这种“最短”性质在数学上是不变量的。在学习张量求导和张量方程时，作者也始终不忘提醒我们注意指标的升降和求和约定，这些规则的遵循，正是为了确保计算结果的“不变量性”或“特定变换性”。这种对数学核心思想的反复强调，让我在学习过程中，不仅掌握了计算技巧，更重要的是理解了这些技巧背后的深层意义。这本书就像一位经验丰富的向导，它不仅指引我前行，更教会我如何去理解沿途的风景，如何去发现数学中的普适真理。

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