Oxtoby, J.C. Measure and Category pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

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页数:0

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价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540905080

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数学
测度论
集合论
拓扑学
实分析
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具体描述

拓扑空间与测度理论基础：从集合论到积分的桥梁作者： [此处留空，此处不应出现 Oxtoby, J.C. Measure and Category 的信息] 内容简介：本书旨在为读者提供一个严谨而清晰的数学分析基础，重点聚焦于拓扑空间的结构特性以及勒贝格测度的构造与应用。它不追求介绍现代泛函分析的全部广度，而是致力于打下坚实的基础，使读者能够深刻理解现代分析学的核心概念——尤其是收敛性、完备性以及测度空间的内在几何。全书结构清晰，从集合论的预备知识出发，逐步过渡到抽象拓扑学的核心框架，随后将测度理论引入，最终探讨两者结合所产生的深刻洞见。第一部分：集合论基础与拓扑空间的引入本书的开篇部分首先回顾了必要的集合论背景，但其深度远超一般微积分教材所涵盖的内容。我们详细讨论了序数和基数的概念，为后续构造复杂空间时所需的可行性提供了理论支撑。特别地，对于选择公理及其等价命题（如策恩定理、良序定理）的讨论，旨在让读者理解这些工具在分析学中扮演的关键角色，尤其是在涉及非构造性证明时。随后，我们引入了拓扑空间这一核心概念。不同于仅停留在度量空间上，本书更早地将视角提升至抽象拓扑结构。我们深入探讨了开集、闭集、邻域基和可数紧性的定义及其等价表述。紧致性（Compactness）的性质被视为贯穿全书的一个中心主题。我们不仅讨论了紧致空间的子集的性质，还详细阐述了Tychonoff 定理的证明，强调了乘积拓扑在构建复杂空间模型中的重要性。在拓扑结构中，连通性和分离公理的讨论也占据了重要篇幅。从最基本的 $T_1$ 公理到更强的豪斯多夫（Hausdorff）性质，我们分析了分离公理如何影响空间中点的局部行为。连通性部分，我们借助路径连通性（Path Connectedness）来直观理解空间的“整体性”，并将其与一般连通性进行对比。第二部分：测度论的严格构造第二部分是本书的核心，致力于建立勒贝格测度的严格构造过程，这需要精心的组织和大量的技术细节铺垫。我们从可测集的概念入手，这涉及对集合进行“足够好的”测量的能力。本书详细讲解了 $sigma$-代数（Sigma-Algebra）的代数性质，并引入了外测度（Outer Measure）的概念，这是构造勒贝格测度的关键第一步。重点在于 Carathéodory 扩张定理的应用与证明。我们展示了如何利用外测度构造出满足 $sigma$-可加性的测度，并严格证明了这种构造是唯一的（在给定条件下）。勒贝格可测集的性质被细致分析，包括可测集的补集、可数并以及交集的性质。在测度空间建立后，我们转向测度本身的性质。除了有限可加性，可数可加性（Countable Additivity）是测度论的标志性特征，本书通过具体的反例说明了为什么这种性质至关重要。同时，有限测度空间和全有限测度空间（$sigma$-finite measures）之间的区别被明确界定，为后续讨论可积函数和收敛定理做准备。第三部分：可积函数与积分理论第三部分将测度论与函数空间相结合，构建勒贝格积分理论。我们采取了逐步逼近的方式来定义积分，以凸显其相对于黎曼积分的优越性。首先定义了简单函数（Simple Functions）的积分，并利用它们的稠密性来定义可测函数的积分。随后，我们引入了可积函数（即 $L^1$ 空间中的函数）的概念。本书对积分的定义力求简洁而严谨，避免不必要的复杂性，但确保了积分运算的线性、单调性和一致性。本部分的高潮在于三大收敛定理的深入讨论与应用： 1. 单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem, MCT)：强调了函数序列单调上升时，积分与极限的交换顺序的条件。 2. 法图引理 (Fatou’s Lemma)：作为一个介于 MCT 和 DCT 之间的重要工具，其不等式形式被详细剖析。 3. 勒贝格控制收敛定理 (Lebesgue Dominated Convergence Theorem, DCT)：被视为分析学中最强大的工具之一，本书将详细阐述“控制函数”的存在性在保证极限与积分交换中的决定性作用。这些定理的证明展示了测度论在处理无穷序列极限时的威力，是现代数学分析的基石。第四部分：积分空间的完备性与拓扑几何的交织最后一部分，我们将视角从点收敛提升到函数空间的一致性。我们探讨了$L^p$ 空间的初步概念，特别是 $L^1$ 空间。本书的一个特色是，在介绍完测度与积分后，我们转向分析学中关于“完备性”的讨论。我们引入了柯西序列的概念，并展示了勒贝格积分在构造完备空间中的核心地位。虽然本书不深入探讨完整的泛函分析，但它会清晰地指出，通过勒贝格积分定义的范数使得 $L^p$ 空间成为巴拿赫空间（Banach Space），这对于理解更高级的分析至关重要。在拓扑与测度的交汇处，本书还对绝对连续性进行了探讨，引入了 Radon-Nikodym 定理的基本思想，说明了如何在两个测度之间建立联系，这是对测度空间结构更深层次的理解。目标读者：本书适合具有扎实微积分基础（包括多变量微积分）的研究生、高年级本科生，以及需要严谨理解概率论、傅里叶分析或偏微分方程基础的数学、物理和工程学专业人士。它旨在培养读者对抽象结构进行清晰、逻辑推理的能力，并为其未来深入学习现代分析和几何学做好充分准备。本书的叙述风格力求精确，但注重逻辑的自然流畅性，确保读者在掌握严谨性的同时，不失对数学美感的体悟。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

上个月我非常愉快的读完了John C. Oxtoby的Measure and Category，封面上译名为测度与范畴学，不过我觉得书名应该翻译成测度与纲，因为它和代数学中范畴并没有什么关系。在现代数学中有三种衡量集合大小的概念；基数、测度与纲，前者是集合论中的概念，而这本书主要...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

当我深入 Oxtoby 的《Measure and Category》时，我发现自己不仅在学习数学知识，更是在学习一种数学“美学”。这本书将测度论和集合论这两个看似独立的领域，巧妙地融为一体，展现了数学内在的逻辑性和结构性。Oxtoby 在介绍“集合”的概念时，就展现了他对事物本质的洞察力。他对“基数”的定义和运算，尤其是对“连续统假设”的探讨，让我对无穷集合有了全新的认识。在测度论部分，我对“勒贝格测度”的构建过程留下了深刻的印象。Oxtoby 巧妙地运用了“外测度”和“可测集”的概念，一步步地完成了这个意义深远的构造。我特别欣赏书中关于“单调类定理”的证明，它展示了数学证明的简洁性和力量。Oxtoby 的语言风格总是那么精准而富有启发性，他能够用最少的文字传递最多的信息，并且能够将复杂的概念用清晰的方式呈现出来。这本书的价值在于，它不仅仅是一个知识的载体，更重要的是，它提供了一个理解现代分析学基础的框架，并且为进一步探索更高级的数学领域打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

Oxtoby 的《Measure and Category》这本书，对于那些真正想要深入理解数学核心概念的读者来说，无疑是一份珍贵的礼物。我一直认为，数学的魅力在于其内在的逻辑性和抽象性，而这本书恰恰能够淋漓尽致地展现这一点。作者 Oxtoby 在处理“测度”这一核心概念时，展现了他无与伦比的清晰度和深度。他不仅仅是介绍勒贝格测度的定义和性质，更重要的是，他通过历史的视角，展示了从有限可加性测度到完全可加性测度的演进过程，以及集合论中的一些关键性结果，如博雷尔集合的性质。我特别赞赏书中关于“集合的基数”和“选择公理”的讨论，这些内容是理解集合论的基础，也是许多高级数学分支的基石。Oxtoby 的讲解方式总是能够抓住问题的本质，并且提供足够详尽的证明，这对于想要建立扎实数学功底的读者来说至关重要。即使是对于一些非常抽象的概念，比如“可测函数”的定义及其重要性质，作者也能通过巧妙的例子和类比，让读者逐渐领会其精髓。这本书的阅读体验，不仅仅是知识的积累，更是一种思维的升华，它让我看到了数学并非是孤立的符号和公式，而是 interconnected and deeply logical。

评分☆☆☆☆☆

Oxtoby 的《Measure and Category》是一本真正意义上的“思想之书”。它不仅仅是教授测度论和集合论的知识，更重要的是，它教会了读者如何去“思考”数学。我尤其喜欢书中对“度量空间”和“完备性”概念的探讨。Oxtoby 巧妙地将几何直觉与严格的分析相结合，让读者在理解这些抽象概念时，能够有清晰的图像和逻辑支持。例如，他通过“柯西序列”的概念来定义完备性，并展示了完备度量空间在许多数学问题中的重要性，比如不动点定理的应用。在测度论方面，他对“积分”概念的深化，从黎曼积分到勒贝格积分的过渡，是我学习过程中最受启发的部分之一。Oxtoby 并非简单地给出定义，而是深入分析了勒贝格积分在处理“几乎处处”收敛函数时的优势，以及它在概率论和泛函分析中的广泛应用。这本书的结构非常严谨，章节之间的联系紧密，形成了一个有机的整体。每一次阅读，我都能从 Oxtoby 的论证中发现新的理解和视角。对于那些对数学有深入追求的读者来说，这本书绝对是必读之作，它将帮助你建立起对现代数学分析核心概念的深刻认识。

评分☆☆☆☆☆

当我投入到 Oxtoby 的《Measure and Category》的学习中时，我感受到的不仅仅是知识的灌输，更是一种思维的拓展和视野的开阔。这本书在“类别”（Category）这个概念上的阐述，给我留下了极为深刻的印象。它不仅仅是一个数学术语，更是 Oxtoby 引导我们理解数学结构的一种方式。我欣赏他如何将一些看似不相关的数学对象，通过“同态”或“同构”的概念联系起来，揭示它们之间更深层次的共性。书中关于“拓扑空间”的介绍，以及如何在其上定义“测度”和“概率”，让我看到了数学不同分支之间的天然联系。Oxtoby 在处理那些“良性”和“病态”的数学对象时，总是能够提供清晰的界定和区分。例如，在讨论可测集合时，他详细阐述了如何构建一个完备的测度空间，以及集合的“可测性”对于积分运算的重要性。这本书的语言风格十分简洁而有力，没有多余的废话，每一句话都直击要点。即使是一些复杂的定理，如“拉东-尼科迪姆定理”，作者也能通过层层递进的论证，最终将其清晰地展现在读者面前。对于任何想要在数学领域有所建树的人来说，这本书提供了一个坚实的基础和宝贵的视角。

评分☆☆☆☆☆

Oxtoby 的《Measure and Category》这本书，对我来说，是一次关于数学“精确性”与“优雅性”的深度探索。从一开始，作者 Oxtoby 就以他严谨而富有洞察力的笔触，引领我进入了集合论的奇妙世界。他对“集合的基数”以及“不可数集”的论证，例如经典的康托尔对角线论证，都让我惊叹于数学的逻辑之美。随后，在测度论的部分，他对“勒贝格测度”的构建过程，特别是“外测度”的引入和“可测集”的定义，都显得尤为精妙。我尤其欣赏书中对“积分”概念的深化，从黎曼积分到勒贝格积分的过渡，让我深刻理解了后者在处理更广泛函数类型时的优越性。Oxtoby 并不只是简单地罗列定义和定理，他总是能够通过清晰的论证和恰当的例子，将那些抽象的概念具象化，从而帮助读者建立起深刻的理解。书中的语言风格简洁而有力，没有丝毫的冗余，每一句话都充满了数学的智慧。这本书的价值在于，它不仅传授了测度论和集合论的核心知识，更重要的是，它塑造了一种严谨的数学思维习惯，这种习惯将伴随我一生，在我未来的学习和研究中受益无穷。

评分☆☆☆☆☆

当我开始研读 Oxtoby 的《Measure and Category》时，我深切体会到了一种思维的“重塑”。在学习过程中，我发现作者 Oxtoby 是一位极其出色的引导者，他能够将那些可能令人望而生畏的抽象概念，通过一系列精心设计的讲解和论证，化解为清晰易懂的数学语言。书中对“集合”这一基础概念的探讨，便足以让人耳目一新。不同于高中时期对集合的直观理解，Oxtoby 深入剖析了集合的性质、运算以及与之相关的各类悖论，例如著名的罗素悖论，并在此基础上构建了公理集合论的框架。这种对“基础”的深刻挖掘，让我明白了数学的严密性是如何一步步建立起来的。接着，在测度论的部分，作者对“测度”这一概念的引入，不仅仅是定义了一个数值映射，更是揭示了它在量化“大小”和“概率”等概念上的强大能力。从外测度到内测度，再到可测集和勒贝格测度的构造，每一步都显得那么自然而然，仿佛自然规律本身就蕴含其中。我尤其对书中关于“零测集”和“几乎处处”等概念的阐述印象深刻，它们在分析数学中扮演着至关重要的角色，理解它们为后续学习打下了坚实的基础。这本书的价值在于，它不仅仅传递了知识，更重要的是传授了一种数学的思考方式，一种对抽象概念的敏锐洞察力。

评分☆☆☆☆☆

当我捧起 Oxtoby 的《Measure and Category》时，我预感到这将是一次智力上的冒险，而事实证明，我的预感是准确的。这本书不仅仅是关于测度论和集合论的理论知识，它更是一种对数学“精确性”和“逻辑性”的极致追求。Oxtoby 在阐述“实数完备性”时，引入的“戴德金分割”和“柯西序列”等概念，让我深刻理解了实数系的结构是多么精巧而又不可或缺。在测度论的部分，作者对“积分”概念的深刻剖析，尤其是勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性，是我学习过程中一个重要的转折点。Oxtoby 通过对“可测函数”的性质以及“积分的收敛定理”（如控制收敛定理）的详细论述，让我看到了如何通过更强大的工具来解决更复杂的问题。这本书的文字简洁而富有穿透力，每一个定理的陈述都经过反复推敲，每一个证明都环环相扣。我尤其欣赏的是，Oxtoby 在书中经常提及一些重要的数学结果及其在其他领域的应用，比如在概率论中，测度论是其基础，而卡尔金-卡尔金（Karhunen-Loève）展开等概念的理解，都离不开这本书提供的框架。这本书的价值，在于它不仅传授了知识，更重要的是，它塑造了一种严谨的数学思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本 Oxtoby 的《Measure and Category》绝不仅仅是一本数学教材，它更像是一次通往数学抽象世界的沉浸式探索。初次翻开这本书，就被其严谨的逻辑和精妙的论证所吸引。作者 Oxtoby 以一种非常清晰且循序渐进的方式，引导读者逐步深入到测度论和集合论的深邃领域。我尤其欣赏的是，书中不仅仅是罗列定义和定理，而是通过大量的例子和直观的解释，将那些看似抽象的概念变得触手可及。例如，在介绍勒贝格测度时，作者并非直接给出公式，而是先从长度、面积等我们熟悉的几何概念出发，巧妙地展示了传统黎曼积分的局限性，然后自然地引出勒贝格测度的必要性和优越性。这种“从已知到未知”的教学方法，极大地降低了初学者的门槛，同时也培养了读者对数学思想的深刻理解。更重要的是，这本书不仅仅局限于理论层面，它还常常提及这些理论在其他数学分支，甚至在物理学、概率论等领域中的应用，这使得学习过程充满了启发性，让我看到了数学知识的联动性和普适性。对于任何渴望真正理解现代分析学基础的学生而言，这本书都是一个不可多得的宝藏，它所塑造的严谨思维和分析能力，将在你未来的数学学习道路上受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本 Oxtoby 的《Measure and Category》简直是一次对数学“基础”的深度挖掘之旅。我被书中对“集合”的严谨处理方式深深吸引。在开始介绍测度之前，Oxtoby 花了大量的篇幅去阐述集合论的基本公理，以及像“基数”和“序数”这样的概念。这种对基础的重视，为后续的学习打下了极其坚实的基础。我特别喜欢他对“不可数集”的论证，比如康托尔的对角线论证，它直观而又充满力量地展现了无穷集合的奇妙之处。接着，在测度论的部分，Oxtoby 对“勒贝格测度”的构建过程，尤其是“外测度”和“可测集”的定义，可谓是匠心独运。他通过一系列的构造和证明，展示了如何从最基本的集合操作，构建出一个具有优良性质的测度。书中对“单调类定理”的引入和应用，更是让我看到了数学证明的优雅和力量。Oxtoby 的讲解风格，就是那种能够让你在理解每一个步骤的同时，也感受到背后更深层次的数学思想。这本书的难度适中，但其内容的深度足以让任何一个认真钻研的读者受益匪浅，它将为你打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

Oxtoby 的《Measure and Category》这本书，对我而言，是一次对数学“直觉”与“严谨”之间关系的深刻体悟。在初次接触这本书时，就被作者 Oxtoby 引导读者构建“测度”的思路所折服。他并没有直接给出复杂的定义，而是从我们熟悉的“长度”、“面积”等概念出发，逐步引入“外测度”和“可测集”的构造。这种从直观到抽象的过渡，让我在理解那些核心概念时，能够有坚实的支撑。书中关于“集合的计数性”和“不可数集”的讨论，以及对“康托尔集”的详细分析，都展示了数学在探索无穷世界时的奇妙之处。在测度论的部分，Oxtoby 对“勒贝格积分”的阐述，尤其是我理解“可测函数”和“积分的收敛定理”时，简直是茅塞顿开。他清晰地解释了为什么勒贝格积分能够处理更广泛的函数类，并且在处理极限运算时表现出更好的性质。Oxtoby 的写作风格非常注重逻辑的连贯性，每一个定理的证明都经过精心设计，步步为营。这本书的阅读过程，不仅仅是知识的积累，更是一种思维的训练，它让我学会了如何去审视和分析数学问题，并且能够从中发现更深层次的联系。

评分☆☆☆☆☆