Convex Polytopes (Graduate Texts in Mathematics) (v. 221) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Branko Grünbaum

出品人:

页数:487

译者:

出版时间:2003-05-12

价格:USD 95.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387004242

丛书系列:

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凸多面体：从几何直觉到抽象理论的桥梁 本书深入探讨了数学中一个既古老又充满活力的分支——凸多面体的理论。它并非一本简单的介绍性读物，而是旨在为读者构建一个坚实的理论框架，使其能够理解和运用凸多面体的深刻性质。从低维度的直观几何对象，到高维度的抽象结构，本书层层递进，揭示了凸多面体在离散几何、组合数学、优化理论以及理论物理等诸多领域的重要地位。 第一部分：基础概念与核心性质 旅程始于对凸多面体最基本定义的梳理。我们将从最熟悉的二维和三维空间出发，逐步引入“凸集”这一核心概念。读者将理解，一个凸多面体可以被看作是有限个半空间的交集，或者更直观地，可以看作是有限个顶点的凸包。这种定义上的灵活性预示着其丰富的内在结构。 接下来的重点将是多面体的面、边和顶点。我们将详细考察这些几何元素的相互关系，并引入欧拉公式——$V - E + F = chi$，其中 $V$ 是顶点数，$E$ 是边数，$F$ 是面数，$chi$ 是欧拉示性数。对于凸多面体，$chi$ 通常取值为2，这揭示了其拓扑上的稳定性。本书将不仅仅满足于公式的陈述，还会深入探讨欧拉公式的组合意义，以及它在高维空间中的推广。 我们将引入对偶多面体的概念。每个凸多面体都有一个与之对应的对偶多面体，它们的顶点和面相互交换，边也一一对应。这种对偶性是理解和分析多面体结构的一个强大工具，它使得我们可以从一个角度研究一个多面体的性质，然后通过对偶关系获得关于另一个多面体的深刻洞察。 本书将仔细审视多面体的组合结构，包括其面向量、边向量和顶点向量。我们将学习如何用这些向量来描述多面体的几何形状和拓扑结构，并探讨施莱夫利符号等记法，它们为描述正多面体和其他规则多面体提供了简洁高效的方式。 第二部分：组合几何与计数 进入组合几何的领域，我们将更深入地挖掘凸多面体的组合特性。线性代数将成为我们理解多面体结构的有力工具。我们将利用线性规划的语言来描述凸多面体的定义，即由一组线性不等式定义的区域。这将引出单纯形这一基本概念，它是 $n$ 维空间中 $n+1$ 个仿射无关点的凸包，构成了更复杂多面体的基础。 本书将详细研究多面体的骨架（1-skeleton），即由顶点和边构成的图。我们将探讨这些图的性质，例如连通性、顶点度数以及是否存在特殊的图结构。这部分内容将触及图论与组合几何的交叉点。 组合计数将是本部分的另一大主题。我们将学习如何计算给定维度的凸多面体的顶点数、边数和面数。对于一些特殊类型多面体，例如立方体、单纯形和球体（中的多面体逼近），将有专门的讨论。我们将介绍Plücker坐标等方法，用于描述多面体的截面和子空间，这在计算几何和表示论中有着广泛的应用。 第三部分：多面体的分类与构造 本部分将深入到多面体的分类与构造方法。我们将重点关注凸多面体的类型，例如单纯形、立方体、三角柱、棱锥等。本书将阐述正多面体（Platonic solids）及其性质，例如它们在三维空间中的存在性限制。 我们将探讨自由多面体（freely generated polytops）的概念，并研究正交多面体（orthogonal polyhedra）及其在计算机图形学和三维建模中的作用。 定向与拓扑的概念也将在此处得到引入。读者将了解，多面体的表面可以看作是光滑的，并且其拓扑性质（例如连通分支数、孔洞数）对多面体的结构有着重要影响。 第四部分：高维凸多面体 将研究的视角从熟悉的低维度提升到任意维度，我们将进入高维凸多面体的理论。虽然我们无法直接可视化高维对象，但数学工具可以帮助我们理解它们的结构。我们将介绍多面体的代数描述，例如通过顶点表示和面表示。 Minkowski和的概念将被引入，它为理解和构造高维凸多面体提供了一种重要的方法。我们将学习如何通过两个凸集（包括凸多面体）的Minkowski和来构造一个新的凸集。 Gauss映射和Minkowski不等式等工具将在高维分析中扮演关键角色，它们揭示了多面体边界的几何特性。 第五部分：应用与前沿 本书的最后部分将聚焦于凸多面体理论在数学和其他科学领域中的应用。 组合优化是凸多面体理论最重要的应用领域之一。我们将看到，许多组合优化问题（例如旅行商问题、最大割问题）都可以被转化为求解多面体顶点上的函数最优化问题。凸松弛（convex relaxation）技术，利用凸多面体来逼近难以处理的离散优化问题，将是重点讲解的内容。 计算几何领域也与凸多面体密不可分。例如，凸包计算算法，用于找到给定点集的最小凸多面体，是计算几何中的基础问题。本书将讨论一些经典的算法，并分析其计算复杂度。 理论物理学，特别是统计力学和粒子物理学，也出现了凸多面体的身影。在量子场论中，费曼图的某些方面可以用凸多面体来描述。本书将简要提及这些应用，为有兴趣的读者提供进一步研究的线索。 最后，我们将展望凸多面体理论的一些前沿研究方向，例如随机多面体、非凸集的逼近以及高维几何的最新进展。 本书的目标是提供一个全面而严谨的凸多面体理论框架，使读者能够掌握其核心概念、关键工具和广泛应用。通过理论推导、实例分析和对数学思想的深入挖掘，读者将能够领略到这个几何抽象的无穷魅力。

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从装帧和排版来看，这本“研究生数学文集”的系列特质体现得淋漓尽致。厚重、略显朴素的封面下，隐藏着极其密集的数学符号和定理陈述。排版清晰，但页边距相对较窄，这使得在边上做笔记时会稍微感到局促。不过，其索引部分做得非常到位，对于查找特定的定义或引文非常方便。我注意到作者在引用参考文献时表现得非常谦逊，通常只引用了奠定基础的经典著作，而较少涉及近二十年来的新兴研究方向，这使得本书更像是一部对“经典凸多面体理论”的权威性总结，而非对前沿动态的全面追踪。这种“经典化”的倾向，虽然保证了理论的恒久价值，但也意味着读者需要通过其他更近期的期刊论文来补充关于算法效率和高维数据结构方面的最新进展。对我而言，它成功地将庞杂的几何直觉统一在少数几个强有力的代数框架之下，这才是最令人称道的地方。

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说实话，这本书的阅读体验更像是在攻克一座古典文学的堡垒，而非轻松地翻阅一本现代教科书。它的语言风格是极其克制的，每一个术语的引入都经过了深思熟虑，绝不浪费一个形容词。这种严谨性对于初次接触该领域的读者可能构成一个不小的挑战，书中的许多证明过程都需要读者具备极强的推理能力和对基本公理体系的深刻理解。我记得在学习关于顶点枚举（Vertex Enumeration）和面极小化（Facet Minimality）的章节时，我不得不频繁地查阅附录中的代数拓扑预备知识，否则很难跟上作者的思路跳跃。作者似乎默认读者已经对代数几何和组合论有着相当的熟悉度，这使得本书的定位更加偏向于那些已经具备一定数学背景的研究生或资深爱好者。我个人最喜欢的部分是它对Polytopal Cones的深入探讨，作者将这些锥体与凸分析中的极端点理论巧妙地结合起来，展示了代数方法在解决几何问题时的强大力量。这本书不是用来快速获取知识的工具书，而是用来建立完整、坚实理论框架的基石。

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这本关于凸多面体的教材，从我作为一名严肃的数学研究生的角度来看，简直是一场深邃的智力冒险。首先，它的叙事结构严谨得令人印象深刻，作者似乎在每一个章节的开端都精心布设了一个逻辑陷阱，让你在不知不觉中被引导至下一个更复杂的概念。我尤其欣赏作者在处理维度提升问题时的那份耐心，他没有简单地堆砌公式，而是通过非常直观的几何图像（尽管书里是文字描述的，但其描述的画面感极强）来解释为什么在更高维空间中，原本看似简单的定理会展现出惊人的复杂性。比如，关于支撑函数（Supporting Functions）那一段，我花了好几个下午才真正消化掉其在对偶性理论中的核心地位，那种拨云见日的感觉，只有真正沉浸在这些抽象结构中的人才会体会到。书中对施莱格尔图（Schlegel Diagrams）的论述虽然篇幅不算长，但却是理解高维多面体可视化的关键钥匙，它成功地架起了三维直觉与任意维度抽象概念之间的桥梁。整本书读下来，感觉像是被一位技艺精湛的工匠带着，一步步打磨一块粗糙的原石，最终展露出其内在的完美几何结构。对于那些希望超越基础线性规划范畴，深入几何拓扑交界处的读者来说，这绝对是不可或缺的案头参考书。

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这本书的深度和广度是毋庸置疑的，但其对教学实践的考量似乎是次要的。它更像是一份为“同行”准备的详尽备忘录。书中习题的设计尤其能体现这一点——它们往往不是用来检验基本概念的理解，而是要求读者自行拓展理论的边界，或者去发现某个著名定理的某种新型变体。例如，有一个关于布雷斯定理（Breslauer’s Theorem）的变体证明题，要求我们利用Farkas引理来推导一个关于线性不等式组解集的几何解释，这需要极高的创造力和对不同数学分支的融会贯通。我发现，如果仅仅依赖书本上的讲解而不自己动手推导那些看似“显然”的步骤，那么对核心概念的掌握将是浮于表面的。对于那些寻求快速入门凸优化的人来说，这本书的门槛可能会过高，因为其中关于凸集的拓扑性质和欧几里得空间中的度量选择的讨论，占据了相当大的篇幅，这些内容虽然是理论基石，但对于单纯的算法实现者来说，可能显得过于冗余和抽象。

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这本书的阅读体验是一场与逻辑本身的对话。作者的写作风格充满了“非黑即白”的确定性，这在处理几何对象的边界情况时尤为重要。我们都知道，在处理凸性问题时，边界和极端情况往往是理论崩溃的薄弱点，但这本书在这方面做得非常扎实。它系统性地探讨了如何处理退化情形（Degenerate Cases），例如，维度降低的集合如何嵌入到更高维度空间中，以及如何通过拓扑工具来“规避”这些退化。例如，书中对“锥的生成集”（Generating Sets of Cones）的讨论，细致到令人发指，几乎涵盖了所有已知的构造方法及其相互转换的条件。这种层层递进、滴水不漏的论证方式，使得读者在合上书本后，对“什么是凸多面体”的理解，已经提升到了一个全新的哲学层面——它不再仅仅是几个不等式的解集，而是一个在特定拓扑结构下被严格定义的几何实体。它需要耐心、需要时间，但它所给予的回报，是扎实而不可动摇的理论根基。

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