Degenerate Parabolic Equations (Universitext) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Emmanuele DiBenedetto

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:1993-07-23

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387940205

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
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• 偏微分方程
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抛物型方程的退化性：理论与应用 本书深入探讨了一类特殊的数学方程——抛物型方程，并着重聚焦于其“退化性”这一核心特征。退化抛物型方程因其在描述自然现象和工程问题中的重要性而备受关注，例如流体动力学中的某些模型、多孔介质中的渗流、以及生物扩散过程等。这些方程的退化性意味着其部分系数可能为零，从而导致方程的性质发生显著变化，并给理论分析和数值求解带来独特的挑战。 本书的结构设计旨在为读者提供一个严谨而全面的视角，从基础理论出发，逐步深入到更复杂的分析方法和应用。 第一部分：基础理论与方程的分类 在开篇，我们将首先回顾经典抛物型方程的基本概念和解的存在性、唯一性等性质。随后，重点引入“退化性”的概念，清晰界定何为退化抛物型方程。我们将根据方程系数的退化方式，对这类方程进行细致的分类，例如： 椭圆部分退化： 当二次型中的某些系数趋近于零时，方程在空间上可能呈现出退化特征，影响传播的性质。 抛物部分退化： 当时间导数前的系数退化时，方程可能无法完全满足经典的抛物型性质，例如解的平滑性或初值问题的适定性。 混合型退化： 结合上述两种情况，方程可能在不同区域或不同参数下表现出复杂的退化行为。 我们将详细分析不同类型退化方程的特征方程，以及由此产生的关于解的性质，例如解的支撑集（support）的演化、解的奇异性（singularities）的产生与传播等。 第二部分：分析工具与关键理论 本书的中间部分将集中介绍分析退化抛物型方程所必需的关键数学工具和理论。这包括： Sobolev 空间与嵌入定理： 在处理具有奇异系数的方程时，传统的函数空间可能不再适用。我们将深入探讨更广义的 Sobolev 空间，以及它们在分析退化方程解的正则性方面的作用。 能量方法： 能量方法是研究偏微分方程定性性质的重要手段。本书将详细介绍如何构建和运用适合退化抛物型方程的能量泛函，以证明解的先验估计（a priori estimates）和稳定性。 Schauder 估计的推广： 经典的 Schauder 估计为抛物型方程解的内在光滑性提供了重要依据。我们将探讨如何将 Schauder 估计推广到退化情形，以获得关于退化方程解在不同区域的正则性结果。 非线性理论： 许多实际问题涉及非线性退化抛物型方程。本书将介绍处理非线性项的方法，例如不动点定理、单调性方法以及压缩映射原理在非线性退化方程中的应用。 奇点分析： 退化性常常导致解的奇点出现，例如尖点（cusps）、界面（interfaces）等。我们将探讨分析这些奇点结构、演化以及对宏观行为影响的理论方法。 第三部分：特殊方程类型与应用 在本书的最后部分，我们将聚焦于一些具有代表性的退化抛物型方程模型，并探讨其具体的理论分析和潜在应用。这可能包括： 多孔介质方程 (Porous Medium Equation)： 描述液体在多孔介质中流动的经典模型，其退化性体现在当压力（或密度）为零时，方程的性质发生改变。我们将分析其黎曼-希尔伯特问题（Riemann-Hilbert problem）以及解的传播速度。 非线性热方程 (Nonlinear Heat Equation) 的退化情形： 当热导率系数依赖于温度时，可能出现退化。本书将探讨其在非线性扩散和相变问题中的应用。 具有非局部项的退化方程： 考虑一些包含非局部相互作用的退化抛物型方程，例如在种群动力学或材料科学中出现的模型。 变分方法与自由边界问题： 退化抛物型方程常常与自由边界问题（free boundary problems）紧密相连。本书将介绍如何利用变分方法来研究这类问题，其中退化性自然地出现在自由边界的产生和演化过程中。 本书特色： 理论的严谨性： 本书注重数学的严谨性，对每一个概念和定理都给出了清晰的定义和详细的证明。 方法的系统性： 围绕退化性这一核心，本书系统地介绍了分析工具和理论方法，帮助读者建立起解决这类方程的思维框架。 应用的广泛性： 通过对具体模型的分析，本书展示了退化抛物型方程在不同科学和工程领域的广泛应用潜力。 本书适合作为高等院校研究生或高年级本科生的教材，也可供从事偏微分方程、数学物理、流体力学、应用数学等领域的研究人员参考。通过阅读本书，读者将能够深刻理解退化抛物型方程的数学本质，掌握分析这类方程的先进方法，并为进一步的研究打下坚实的基础。

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拿到这本书时，第一个映入眼帘的便是其严谨的排版和清晰的数学符号系统。对于处理偏微分方程这类高度依赖精确表达的学科来说，这一点至关重要。我发现这本书在介绍完基础的方程形式后，并没有急于跳入复杂的证明，而是花了相当大的篇幅来阐述“退化”这一概念在不同物理背景下的具体体现，比如多孔介质流、非线性扩散过程等等。这种自下而上、理论联系实际的叙述方式，极大地降低了初次接触该领域的读者的学习门槛。我尤其赞赏作者在处理非线性项时所展现出的技巧，那些关于能量估计和先验估计的推导过程，逻辑链条异常紧密，每一步的合理性都得到了充分的论证，丝毫没有含糊带过。老实说，在阅读一些其他著作时，常常会遇到一些关键步骤“读者自证”的情况，但在这里，我几乎可以完全信赖作者提供的每一步推理。它更像是邀请读者参与到一场严谨的数学探险中，而不是被动地接受既有结论。

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我必须承认，初次接触这本书时，我被其中大量的技术细节和密集的符号推导震慑住了。这绝不是一本可以轻松翻阅的书籍；它要求你全神贯注，甚至需要准备大量的草稿纸来重走作者的逻辑路径。但这种“需要努力”恰恰是其价值所在。它避免了对复杂概念的过度简化，坚持了数学的精确美感。特别是关于非线性退化方程的适定性理论，作者巧妙地运用了熵方法和特性的概念来处理那些传统解法失效的区域，这种处理手法的高妙之处在于，它不仅证明了解的存在性，更揭示了解的某些内在物理约束。这本书的价值在于，它提供了一套完整的、可以信赖的数学语言，来精确描述那些在常规抛物方程框架下显得模糊不清的物理现象。对于任何想深入到这个细分领域进行原创性研究的人来说，这几乎是一本绕不开的案头必备书。

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从图书馆借阅的这本《Degenerate Parabolic Equations (Universitext)》给我的整体感受是：这是一部为严肃的数学家和工程师准备的“工具箱”，而非“入门指南”。我尝试用它来解决一个我在项目中遇到的具体工程问题——涉及到某些材料属性随温度非线性变化的扩散模型，发现书中的某些高级变分方法和正则性理论，为我提供了全新的、更具鲁棒性的数值求解思路。这本书的难点在于其抽象层次非常高，读者需要对Sobolev空间、分布、以及拓扑结构有非常深刻的理解才能游刃有余。然而，一旦克服了初期的阅读障碍，其提供的理论深度是无与伦比的。我尤其喜欢它在章节末尾设置的“Further Reading”部分，那些引用的文献都非常精准地指向了该领域的关键里程碑，这极大地帮助我构建了对整个研究领域的历史脉络认知。

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这本书的厚度和内容密度是成正比的，它无疑更偏向于那些已经具备扎实泛函分析和基础PDE知识的读者。我印象最深的是关于奇点发展和爆破理论的章节。在抛物型方程中，奇点的行为往往比椭圆型方程复杂得多，涉及时间尺度和空间尺度的相互作用。这本书对于如何利用尺度不变性原理来分析这些局部行为，给出了非常独到的见解。不同于那些侧重于理论完备性的书籍，此书在展示了基础理论的坚实基础上，明显透露出对研究前沿问题的关注。例如，对于某些特定类型的退化方程，它会明确指出当前研究的瓶颈在哪里，以及可能的研究方向，这种“面向未来”的写作态度，对于在读博士生来说，无疑是极具启发性的。它不仅仅是在教授“已知”，更是在暗示“未知”的边界所在。

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这本《Degenerate Parabolic Equations (Universitext)》无疑是一部在专业领域内极具分量的著作，我作为一名长期在偏微分方程领域摸爬滚打的研究生，对它的期待值相当高。首先，从它的“Universitext”系列标签就能看出，作者（们）意图打造一本既能作为高级教材，又能作为研究参考的经典。我个人最欣赏的是它对于退化抛物型方程的系统性梳理，这块内容在很多标准教材中往往只是惊鸿一瞥，但其背后的数学结构和物理意义却极其深邃。翻开书的章节目录，就能感受到那种扎实的数学功底和清晰的逻辑脉络，尤其是关于弱解的定义和存在性理论，作者似乎花了大量的篇幅去构建一个严谨的框架，这对于理解实际应用中可能出现的奇异边界条件和非光滑数据至关重要。我特别关注了其中关于概率方法在处理这类方程中的应用部分，那部分内容的处理方式，完全跳脱了传统分析学的窠臼，展示了一种跨学科的思维深度。这本书绝不是那种只罗列公式的“参考手册”，它更像是一位经验丰富的导师，带着你一步步深入到问题的核心，讲解时那种对细节的执着和对理论优雅性的追求，让人读来非常过瘾。

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