Linear Algebra: A Concrete Introduction pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9780024069108

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• 线性代数
• 矩阵
• 向量空间
• 线性变换
• 特征值
• 特征向量
• 应用
• 计算
• 初等线性代数
• 数学

《线性代数：具象化入门》是一本致力于以直观、易懂的方式展现线性代数核心概念的著作。本书旨在弥合理论抽象与实际应用之间的鸿沟，让读者在构建坚实理论基础的同时，深刻理解线性代数在科学、工程、数据科学乃至经济学等众多领域扮演的关键角色。 全书围绕“具象化”这一核心理念展开。我们不满足于仅仅罗列公式和定理，而是通过大量精美的插图、具体的例子以及富有启发性的类比，将抽象的数学对象——向量、矩阵、线性变换等——具象化为几何图形、数据点、变换过程，甚至是现实世界中的场景。我们相信，一个清晰的几何或物理图像能够极大地帮助读者建立直观的理解，从而更容易掌握复杂的代数关系。 本书的结构精心设计，循序渐进，确保读者能够逐步建立对线性代数的全局认知。 第一部分：向量的几何世界 我们从最基础的元素——向量——开始，但不是在抽象的 $n$ 维空间里。相反，我们首先将读者引入熟悉的二维和三维欧几里得空间。在这里，向量被描绘成有方向和大小的箭头，向量的加法和标量乘法被直观地展现为图形上的平移、旋转和伸缩。我们探讨向量的线性组合，将其理解为通过缩放和叠加现有向量来“到达”新的位置。点积（内积）的概念被赋予了几何意义，它关联着向量之间的角度和投影，是衡量向量“相似性”或“正交性”的有力工具。 第二部分：矩阵的力量——线性变换的语言 一旦掌握了向量的基本操作，我们便引入矩阵。矩阵不再是冷冰冰的数字表格，而是描述线性变换的强大工具。我们展示如何通过矩阵来表示二维平面或三维空间的旋转、反射、缩放、剪切等几何变换。每个矩阵都对应着一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性函数。理解矩阵与线性变换的对应关系是掌握线性代数的关键一步。我们深入探讨矩阵乘法如何组合线性变换，从而实现更复杂的空间变形。 第三部分：方程组的解——探索向量空间的交集 线性方程组是线性代数最直接的应用之一。本书将线性方程组的求解过程与几何概念紧密联系起来。一个方程组可以被看作是若干个超平面（在二维中是直线，三维中是平面）的交集。方程组的解的存在性、唯一性问题，都可以通过分析这些超平面如何相交来直观理解。高斯消元法不再是机械的符号运算，而是通过一系列几何操作（如在向量空间中进行移动和缩放）来寻找交点的系统方法。我们还会介绍矩阵的秩，并将其与方程组解的个数联系起来，进一步深化对解空间的理解。 第四部分：基与维数——构建空间的骨架 本部分将带领读者从具体的向量空间迈向更抽象的领域，但依然保持具象化的视角。我们引入“基”的概念，将其比作描述一个空间坐标系的“基本方向”或“坐标轴”。一个向量空间可以通过一组线性无关的基向量张成。基的意义在于，任何该空间内的向量都可以唯一地表示为这些基向量的线性组合。我们探讨了不同基之间的转换，以及这如何影响向量的坐标表示。维度被直观地定义为描述空间所需的最小基向量的数量。 第五部分：特征值与特征向量——揭示变换的本质 这是线性代数中最具洞察力的概念之一。特征值和特征向量揭示了线性变换在某些特定方向上保持不变（或者仅仅是伸缩）的本质。对于一个线性变换（由矩阵表示），特征向量是那些在变换后方向不变的向量，而特征值则表示这些向量被伸缩的比例。我们将特征值和特征向量的计算过程与几何上的“不变方向”和“伸缩因子”联系起来，例如，在旋转、剪切等变换中寻找保持方向的向量。这在理解动力系统、稳定性分析等领域至关重要。 第六部分：内积空间与正交性——度量与简化 在本部分，我们将“点积”的概念推广到更一般的向量空间，引入了内积空间的框架。内积不仅允许我们定义向量的长度（范数），还允许我们定义向量之间的角度，从而推广了“正交性”的概念。正交性在数学和工程中扮演着极其重要的角色，它能够极大地简化问题，例如在傅里叶分析、数据压缩（如主成分分析）等领域。我们探讨了正交基的优越性，以及如何通过格拉姆-施密特正交化过程来构建正交基。 第七部分：线性代数在数据科学中的应用 考虑到当今时代数据科学的蓬勃发展，本书专门设置了一章，系统地展示线性代数如何在这一领域发挥核心作用。我们将具象化的线性代数概念与实际数据科学问题联系起来： 主成分分析 (PCA)：如何利用特征值和特征向量来降维，捕捉数据的主要变化方向。 线性回归：如何使用矩阵运算来拟合数据模型，找到最佳的回归系数。 推荐系统：如何利用矩阵分解技术（如奇异值分解 SVD）来发现用户和物品之间的潜在关系。 图像处理：矩阵变换在图像的缩放、旋转、滤波中的应用。 自然语言处理 (NLP)：词嵌入（Word Embeddings）的数学原理，将离散的词语映射到低维连续向量空间。 本书的每一章都精心设计了大量的练习题，从概念验证题到计算题，再到应用题，旨在帮助读者巩固所学知识，并尝试将所学应用于解决实际问题。我们鼓励读者主动思考，并尝试用自己的语言来解释和描述线性代数概念。 《线性代数：具象化入门》不仅仅是一本教科书，它更是一扇通往理解现代科学与技术背后数学语言的窗户。我们相信，通过这种具象化、直观的学习方法，您将能够真正掌握线性代数的力量，并自信地将其应用于您的学习和研究之中。无论您是数学、科学、工程领域的学生，还是数据科学家、研究人员，亦或是对现代技术原理感到好奇的任何人，本书都将是您探索线性代数世界的理想起点。

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语言风格上，作者展现了一种非常独特且亲切的叙事口吻，这在我阅读严肃的数学著作时是相当少见的体验。它不像教科书那样板着脸孔，而是更像一位知识渊博的朋友在耐心地为你梳理脉络。语句中充满了启发性的疑问句和恰到好处的类比，使得原本枯燥的章节也变得富有生气。例如，在解释秩和零空间的关系时，作者用到了一个关于“信息丢失与恢复”的比喻，一下子就把看似深奥的线性代数概念拉回到了信息论的范畴，让人豁然开朗。这种行文的流畅性，极大地减轻了阅读疲劳，让我可以一口气读完好几章而不会感到大脑停滞。它成功地在保持学术严谨性和保持读者学习兴趣之间找到了一个绝妙的平衡点。

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我最欣赏这本书的一点是它在理论阐述上的那种近乎偏执的“具体化”倾向。很多线性代数教材，在讲解特征值、特征向量或者特征空间这些核心概念时，往往会一开始就抛出抽象的定义和复杂的证明，让初学者望而却步。但这本书的处理方式截然不同，它似乎总是能找到一个非常贴近日常经验的例子或者一个生动的几何图像来作为切入点。比如，在讲解线性变换时，作者没有直接堆砌矩阵乘法的运算，而是先用二维空间中图形的拉伸、旋转、投影等具体操作来建立直观认识，然后再慢慢过渡到代数表示。这种“先知其然，再知其所以然”的教学路径，极大地降低了理解门槛。每当我觉得一个概念可能要变得晦涩难懂时，作者总能及时抛出一个“迷你案例研究”来巩固理解，让人感觉自己不是在啃一堆冷冰冰的符号，而是在进行一场有目的性的思维探索。

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这本书的装帧设计非常吸引人，封面采用了简约而不失深度的设计风格，主色调是沉稳的深蓝与清新的浅灰搭配，这很符合内容本身的严谨性和现代感。拿到手里，能感受到纸张的质感很好，印刷清晰锐利，即便是复杂的矩阵和向量图表也能清晰呈现，阅读起来非常舒适，长时间盯着看也不会感到眼睛疲劳。从排版上看，作者在处理公式和文字的留白上把握得相当到位，既保证了信息密度，又不会让人感到拥挤压抑。细节之处彰显了出版方的专业态度，比如书脊的粘合度非常牢固，即使经常翻阅也不会担心散页，这对于经常需要查阅参考书的读者来说是一个极大的加分项。整体而言，这本书在物理呈现上就给人一种“值得信赖”的感觉，光是看着它静静地躺在书架上，就仿佛能感受到一股学术的沉静力量，让人迫不及待想要深入其中探索线性代数的奥秘。这种高质量的制作，无疑提升了阅读体验的档次。

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这本书的练习题设计是真正体现了其“Concrete Introduction”这一承诺的环节。我过去读过的教材，练习题常常是理论证明的简单重复，或者是一些计算量巨大的矩阵运算，对于建立“应用感”帮助不大。然而，这里的习题种类非常丰富，从基础的计算检验，到中等难度的概念应用，再到最后那些需要结合实际工程或数据科学背景的综合应用题，层次分明。尤其值得称道的是，对于那些需要更深入思考的题目，作者不仅提供了答案，还配上了详尽的解题思路分析，有时候甚至会探讨不同的解题路径及其优缺点。这使得即使是自学者，也能从中获得类似有经验导师指导的感觉。我发现，很多题目并非是为了考查死记硬背，而是巧妙地设计来迫使读者将抽象的代数工具与背后的几何或物理意义联系起来，真正实现了知行合一的数学学习。

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对于希望将线性代数应用于现代技术领域的读者而言，这本书提供了一个非常坚实且面向未来的基础框架。它不仅仅停留在传统的三大基本定理和行列式上，而是花了大篇幅去深入探讨了正交性、奇异值分解（SVD）以及最小二乘法这些在机器学习、信号处理和数据分析中至关重要的工具。更棒的是，它在讲解这些高级主题时，始终紧扣着前文建立的几何直觉，这使得理解SVD这种看起来很复杂的分解过程变得逻辑清晰、水到渠成。在我看来，这本书的价值不仅在于教会你如何进行线性代数的运算，更在于培养你用线性代数的思维去建模和解决实际问题的能力。它提供了一把万能钥匙，可以开启通往许多前沿科技领域的门径，这份前瞻性让人非常欣赏。

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