Regularization of Inverse Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Engl, Heinz W.; Hanke, Martin; Neubauer, Andreas

出品人:

页数:330

译者:

出版时间:1996-7

价格:$ 145.77

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isbn号码:9780792341574

丛书系列:

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• Regularization
• InverseProblem
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• Analysis
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• Signal Processing
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• Ill-Posed Problems
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《逆问题正则化：原理、方法与应用》 逆问题是科学和工程领域中一类普遍存在且极具挑战性的问题。它们的核心在于从观测到的、往往不完全或含噪声的数据中，推断出产生这些观测结果的潜在原因或模型参数。例如，在医学成像中，我们需要从X射线穿透数据重建出体内组织的密度分布；在地质勘探中，需要从地面测量到的地震波信号推断出地下岩层的结构；在天文学中，需要从望远镜接收到的光信号恢复出遥远星体的真实亮度。这些问题本质上都是“反向”的：我们知道结果，却想知道原因。 然而，逆问题通常是病态的。这意味着： 解的不唯一性： 可能存在多个不同的内在原因能够产生完全相同的观测数据。 解的对扰动的敏感性： 测量数据中微小的误差或噪声，在逆推过程中可能会被放大，导致 reconstructed 出来的模型参数与真实值相差甚远。 直接求解病态逆问题往往会导致不稳定、无意义甚至灾难性的结果。因此，正则化应运而生，成为解决逆问题的关键技术。 《逆问题正则化：原理、方法与应用》 这本书深入探讨了逆问题的数学本质，并系统地介绍了各种有效的正则化方法。全书旨在为读者提供一个全面、深入的理解框架，使其能够掌握分析和解决实际逆问题的能力。 本书的核心内容包括： 1. 病态逆问题的理论基础： 本书将首先详细阐述什么是逆问题，以及它们为何普遍存在于科学研究和工程实践中。 我们将深入分析病态逆问题的数学根源，包括其解空间和信息损失的特性。 通过严谨的数学推导，读者将理解为什么直接求解会失效，以及病态性带来的挑战。 2. 正则化的基本思想： 本书将清晰地解释正则化的核心理念：引入额外的“先验”信息或约束，以稳定求解过程并选择一个“合理”的解。 我们将探讨正则化如何在病态问题中扮演“滤波”的角色，抑制噪声的影响，并引导求解器趋向具有特定性质（如光滑性、稀疏性）的解。 3. 经典的正则化方法： Tikhonov正则化 (或称岭回归)： 作为最基础也是最重要的正则化技术之一，本书将详细介绍其原理、数学形式及其在求解线性病态问题中的应用。我们将探讨如何选择合适的正则化参数 $alpha$，以及它在数学上的意义，例如对解的平滑度施加惩罚。 截断奇异值分解 (Truncated Singular Value Decomposition, TSVD)： 针对线性逆问题，TSVD通过丢弃与小奇异值相关的分量来达到正则化的目的。本书将详细阐述奇异值分解的原理，以及如何利用它来识别和过滤掉对噪声敏感的高频成分。 不适定问题 (Inverse Problems) 的统计学视角： 我们还将从概率论和统计学的角度，介绍如最大后验估计 (Maximum A Posteriori, MAP) 等方法，它们通过引入概率模型和先验分布来实现正则化。 4. 现代与高级正则化技术： Total Variation (TV) 正则化： 针对图像等具有分段常数特性的问题，TV正则化通过惩罚解的梯度的L1范数，能够很好地保留图像的边缘信息，并生成具有清晰边界的重建结果。本书将深入讲解TV正则化的数学原理、数值算法（如ISTA、FISTA等）及其在图像去噪、图像复原等领域的广泛应用。 稀疏正则化 (L1正则化)： 在许多应用中，真实解往往是稀疏的，即只有少数几个分量是非零的。L1正则化，如LASSO，能够诱导解的稀疏性，并在信号恢复、压缩感知等领域取得了巨大成功。本书将详细介绍L1范数的特性，以及如何利用凸优化技术求解L1正则化问题。 贝叶斯方法与变分推断： 对于复杂模型和不确定性量化，贝叶斯正则化提供了一种强大的框架。本书将介绍如何构建概率模型，并利用马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 或变分推断等方法来近似后验分布，从而获得解的估计和不确定性度量。 深度学习在正则化中的应用： 随着深度学习的飞速发展，许多研究将深度神经网络嵌入到逆问题的求解框架中，用于学习复杂的正则化先验或直接进行端到端的映射。本书将概述这些前沿的深度学习驱动的正则化方法。 5. 正则化参数的选择： 正则化方法的有效性在很大程度上取决于正则化参数的选择。本书将系统介绍多种选择策略，包括： L曲线方法 (L-curve Method)： 通过分析残差范数和正则化项范数之间的权衡关系来确定最优参数。 广义交叉验证 (Generalized Cross-Validation, GCV)： 一种基于数据驱动的参数选择方法，通过最小化一个预测误差的估计量来确定参数。 偏差-方差权衡： 从统计学的角度，分析参数选择如何影响解的偏差和方差。 6. 数值算法与实现： 本书将不仅关注理论，还将介绍用于求解正则化问题的各种数值算法，包括： 迭代算法： 如共轭梯度法 (Conjugate Gradient Method) 的变种，梯度下降法及其加速版本。 凸优化算法： 针对L1正则化等问题，介绍相关的凸优化求解器。 实际计算中的注意事项： 如矩阵的条件数、数值精度等问题。 7. 实际应用案例： 本书将通过丰富的实例，展示正则化技术在各个领域的应用，例如： 医学成像： CT、MRI、PET等成像技术的图像重建。 地球物理学： 地震层析成像、重力/磁力反演。 信号处理： 信号去噪、信号分离、压缩感知。 图像处理： 图像去模糊、图像超分辨率、图像修复。 其他学科： 如天气预报、金融建模、量子计算等。 本书的特色： 结构清晰，逻辑严谨： 从基本概念到高级技术，逐步深入，循序渐进。 理论与实践并重： 既提供扎实的数学理论基础，又关注实际计算中的算法和技巧。 内容全面，覆盖前沿： 涵盖了经典与现代的多种正则化方法，并触及深度学习等最新发展。 面向广泛读者： 适合数学、物理、工程、计算机科学、生物医学工程等领域的学生、研究人员和工程师。 通过学习《逆问题正则化：原理、方法与应用》，读者将能够深刻理解病态逆问题的挑战，掌握各种强大的正则化工具，并能够将其有效地应用于解决自己领域内的实际问题，从嘈杂或不完整的数据中提取有价值的信息。

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对于应用层面的读者而言，这本书的实践指导价值是毋庸置疑的，尤其是在处理高维稀疏表示问题时。书中对L1范数正则化（Lasso及其变体）的数学基础做了详尽的分析，包括其在非光滑优化下的次梯度理论。但这并非一本简单的算法手册，它更像是一份深入剖析算法“灵魂”的解剖报告。例如，关于如何选择 $ell_1$ 惩罚项的力度，书中不仅给出了理论上的界限，还探讨了在计算机资源有限的情况下，如何设计高效的迭代求解器（如ISTA/FISTA的收敛性分析），以及这些迭代过程如何与原始的正则化目标函数紧密关联。我发现，通过对这些细节的掌握，我可以更好地诊断算法在实际数据集中表现不佳的原因，而不是简单地更换一个库函数了事。这种从理论到实现的无缝过渡，是这本书最吸引人的地方之一。

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我花了大量时间去研究这本书中关于贝叶斯方法的章节，发现其深度远超我预期的教科书级别。它不仅仅是介绍了先验信息在逆问题求解中的作用，更是将正则化视为一种特定形式的先验约束。作者巧妙地将贝叶斯推理的概率框架与经典的确定性正则化技术（如Ridge回归或Lasso的某种推广形式）联系起来，展现了统计学习理论与经典数学物理问题的统一性。特别值得称赞的是，书中对“模型证据”和“证据优化”的讨论，这在许多应用领域，例如医学成像或地球物理反演中，是决定模型有效性的关键因素。阅读这些章节时，我感觉自己在进行一场关于信息论和不确定性量化的智力探险，每一个概率密度函数的选择背后都隐藏着对物理真实性的深刻洞察。这本书迫使读者思考：我们对未知解的“信念”是如何影响我们最终“看到”的结果的，这是一个非常哲学且实用的问题。

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这本关于逆问题正则化的书，对于任何想要深入理解现代数值分析和机器学习中不稳定问题的研究者来说，都是一本不可或缺的工具书。作者以极其严谨的数学框架，构建了一系列关于如何将病态问题转化为良态问题的理论基础。我尤其欣赏的是它对Tikhonov正则化方法的详尽阐述，不仅仅停留在公式的罗列，而是深入剖析了正则化参数选择的各种准则，比如L曲线法、广义交叉验证（GCV）的实际应用和局限性。书中对不同尺度下信息的权衡处理，比如谱方法和基于梯度的优化方法如何相互补充，提供了非常清晰的视角。阅读过程中，我感觉自己仿佛在搭建一座复杂的数学桥梁，每一步推导都要求精确无误，但最终的结构却异常稳固，能有效地处理现实世界中那些噪声缠身、数据稀疏的复杂场景。对于那些习惯于依赖“黑箱”算法的工程师来说，这本书会强迫你回到问题的本质，理解为何某些算法在某些条件下会崩溃，以及如何通过巧妙的数学构造来挽救这些计算。

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这本书的排版和逻辑结构，体现出作者对清晰度和连贯性的极致追求。每一章的引言都精准地定位了当前研究的痛点，而结论部分则往往会引出更深层次的开放性问题，为后续的研究指明方向。最让我印象深刻的是它对“不适定性”概念的系统性处理。作者没有将“不适定”视为一个需要被简单“修复”的障碍，而是将其视为信息受限环境下的必然结果，并从信息论的角度去解读这种限制。通过对解空间、噪声空间和数据空间之间映射关系的几何直观描述，即便是复杂的函数空间中的操作，也能被巧妙地转化为易于理解的线性代数概念。这种自上而下、层层递进的讲解方式，极大地降低了理解高深理论的认知负担，使得复杂的分析过程变得流畅且富有逻辑美感。

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作为一本深入探讨逆问题正则化的专著，它对不同正则化方法在特定应用场景下的适用性的比较分析尤为精妙。作者没有偏袒任何一种方法，而是以一种冷静、客观的科学态度，对比了基于Lipschitz连续性假设的平滑方法与基于稀疏性假设的非光滑方法之间的根本差异。书中对“解的稳定性”和“解的精度”之间的权衡关系进行了细致入微的探讨，这对于设计实际的工程系统至关重要。我特别欣赏它在讨论算法收敛性时，总是会穿插实例说明当正则化参数设置不当时，解的振荡现象是如何出现的，以及如何通过更精细的正则化框架（比如二阶正则化）来抑制这些高频噪声。总而言之，这是一部集数学严谨性、理论深度与工程实用性于一体的典范之作，它不仅仅是知识的传递，更是一种解决问题的思维模式的培养。

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