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出版者:清华大学出版社

作者:关治

出品人:

页数:202

译者:

出版时间:2008-11

价格:20.00元

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isbn号码:9787302186380

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数值分析学习指导：探索计算的边界，驾驭数字的奥秘 这是一本旨在引领您深入理解和掌握数值分析核心概念与实践方法的学习指南。数值分析，作为连接数学理论与实际计算的桥梁，其重要性在科学、工程、金融、数据科学等众多领域日益凸显。本书将带领您穿越抽象的数学公式，抵达充满活力的计算世界，让您不仅理解“为什么”，更能掌握“如何做”。 为何学习数值分析？ 在现实世界中，许多问题无法通过解析方法获得精确解。例如，求解复杂的微分方程，积分无法用初等函数表示，优化复杂函数，或者对海量数据进行建模和预测。数值分析正是为解决这些难题而生，它提供了一套系统性的方法，通过近似计算来逼近真实解，并对这些近似解的精度进行评估。掌握数值分析，意味着您拥有了解决现实世界中无数复杂问题的强大工具。 本书内容概览 本书的编写宗旨是提供清晰、严谨且富有启发性的学习体验。我们避免堆砌繁琐的证明，而是侧重于概念的直观理解、算法的逻辑推导以及实际应用。 第一部分：误差分析与数值稳定性 在任何数值计算中，误差都是不可避免的存在。本部分将深入探讨误差的来源，包括模型误差、截断误差和舍入误差，并教会您如何量化和控制这些误差。我们将学习误差传播的规律，以及如何选择能够最小化误差的算法，确保计算结果的可靠性。理解数值稳定性是数值分析的基石，我们将探讨不同算法在不同条件下的稳定性特性，帮助您做出明智的计算策略。 第二部分：方程求根 寻找方程的根是许多科学和工程问题的核心。本书将系统介绍经典且高效的求根方法，如： 二分法 (Bisection Method)：原理简单，保证收敛，是理解数值方法稳健性的入门。 牛顿法 (Newton's Method)：迭代速度快，但对初值敏感，我们将深入分析其收敛条件和潜在问题。 割线法 (Secant Method)：介于二分法和牛顿法之间，利用割线近似切线，平衡了收敛速度和计算复杂度。 不动点迭代法 (Fixed-Point Iteration)：通过将方程转化为不动点形式，提供另一种求解思路，并讨论其收敛的充分必要条件。 我们将通过丰富的实例，演示这些方法在实际问题中的应用，并对比它们的优缺点，帮助您根据具体情况选择最合适的算法。 第三部分：线性方程组的数值求解 线性方程组在物理模拟、数据拟合、工程设计等领域无处不在。本书将详尽介绍求解大型稀疏或稠密线性方程组的各种数值方法： 直接法 (Direct Methods)： 高斯消元法 (Gaussian Elimination)：最基础的直接法，我们将深入理解其消元过程、回代过程以及引入的潜在误差。 LU分解 (LU Decomposition)：将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵，极大提高了求解效率，尤其适用于多次求解具有相同系数矩阵的线性系统。 Cholesky分解 (Cholesky Decomposition)：专门针对对称正定矩阵的优化分解方法。 迭代法 (Iterative Methods)： 雅可比迭代法 (Jacobi Iteration)：一种经典的迭代方法，将方程组的求解转化为一系列线性变换。 高斯-赛德尔迭代法 (Gauss-Seidel Iteration)：对雅可比迭代法进行改进，利用已更新的变量值，通常具有更快的收敛速度。 逐次超松弛法 (Successive Over-Relaxation, SOR)：通过引入松弛因子进一步加速收敛。 本书将重点讨论这些迭代方法的收敛条件，并分析它们在计算量、内存需求和数值稳定性方面的表现，帮助您在不同场景下选择最优的求解策略。 第四部分：插值与逼近 当给定一组离散数据点时，我们常常需要找到一个函数来近似这些数据，以便进行预测、平滑或曲线拟合。本部分将为您呈现以下关键技术： 多项式插值 (Polynomial Interpolation)： 拉格朗日插值法 (Lagrange Interpolation)：构造简洁的插值多项式。 牛顿插值法 (Newton's Divided Differences)：提供一种递归的插值方法，便于增量添加数据点。 样条插值 (Spline Interpolation)： 三次样条 (Cubic Splines)：克服了高次多项式插值可能出现的震荡问题，能够产生更平滑、更自然的曲线，在计算机图形学和数据可视化中应用广泛。 函数逼近 (Function Approximation)： 最小二乘逼近 (Least Squares Approximation)：当数据存在噪声时，我们不再追求精确插值，而是寻找一个函数，使其与数据的误差平方和最小。 我们将探讨不同插值和逼近方法的性质，例如收敛性、连续性和光滑性，并分析它们在处理不同类型数据时的适用性。 第五部分：数值积分与微分 许多科学和工程问题中，需要计算函数的定积分或导数。当解析方法失效时，数值方法成为我们唯一的选择。本书将介绍： 数值积分 (Numerical Integration)： 梯形法则 (Trapezoidal Rule)：最基础的数值积分方法。 辛普森法则 (Simpson's Rule)：利用抛物线近似被积函数，提供更高的精度。 高斯积分 (Gaussian Quadrature)：通过巧妙选择积分点和权重，实现极高的积分精度。 数值微分 (Numerical Differentiation)： 有限差分法 (Finite Difference Methods)：利用函数值在邻近点上的差值来近似导数。 我们将详细讲解这些方法的推导过程、精度分析，并通过实例演示如何在实际问题中应用它们来求解面积、体积、流速等。 第六部分：常微分方程的数值解法 常微分方程（ODE）是描述动态系统演化的数学工具，在物理学、化学、生物学、经济学等领域扮演着核心角色。本书将引导您掌握求解ODE的数值方法： 欧拉法 (Euler's Method)：最简单的前向和后向欧拉方法，理解其原理和局限性。 改进欧拉法 (Improved Euler Method)：如Heun's method，提高精度。 龙格-库塔法 (Runge-Kutta Methods)： 二阶和四阶龙格-库塔法 (RK2, RK4)：在精度和计算量之间取得良好平衡，是广泛使用的经典方法。 我们将深入讨论这些方法的收敛性、稳定性和步长选择问题，并给出在不同ODE问题中选择合适方法的建议。 学习本书，您将获得： 扎实的理论基础：清晰理解数值分析的数学原理，建立严谨的逻辑思维。 实用的算法技能：掌握多种核心数值算法的实现细节和应用技巧。 解决实际问题的能力：能够将数值分析方法应用于工程、科学、金融等领域的实际问题。 批判性思维：学会评估不同数值方法的优缺点，理解误差和稳定性的重要性，做出明智的选择。 计算思维：培养将复杂问题转化为可计算模型，并利用计算机进行求解的能力。 本书的编写风格力求深入浅出，循序渐进。每一章节都包含清晰的概念解释、详细的算法推导、直观的图示说明，以及丰富的算例分析。我们鼓励读者动手实践，将所学知识应用于编程实现，并通过解决实际问题来加深理解。 数值分析的世界广阔而精彩，它不仅是掌握高级科学技术的基础，更是理解和改造我们所处世界的有力工具。希望本书能成为您探索数字奥秘，驾驭计算力量的得力助手！

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最让我感到惊喜的是这本书的“反思性”写作风格。它不像一本标准教材那样语气单向输出，而是充满了对数值分析这一学科本质的深刻洞察。书中常常会穿插一些关于“为什么我们需要数值方法”的哲学性讨论，引导读者思考计算的局限性和精确性的边界。比如，在谈到离散化误差时，作者没有回避数字表示的固有缺陷，而是坦诚地指出，任何数值解都是对真实解的一种“近似”，并探讨了在实际应用中如何评估这种近似的“可接受度”。这种诚实的态度非常重要，它帮助我们建立起一种健康的、批判性的学习视角，避免了对计算结果盲目信任的陷阱。在处理插值问题时，书中不仅详述了拉格朗日插值和牛顿插值，还特意用了一章的篇幅来剖析了龙布-尼茨插值的振发现象，并提出了使用样条函数作为更稳健替代方案的思路。这种前瞻性和对潜在风险的预警，使得整本书读起来充实而富有建设性，它不仅仅是一本“如何做”的指南，更是一本关于“如何正确地理解和应用”数值方法的深度思考录。

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这本《数值分析学习指导》显然是为那些渴望在数字世界中稳步前行的学习者准备的利器。我一直觉得，理论知识的堆砌如果缺乏有效的实践指导，就像是拿到了一堆精美的乐高积木却不知道如何搭建起宏伟的城堡。这本书最让我欣赏的一点，就在于它对“如何学”的深度挖掘。它不像某些教材那样只是冷冰冰地罗列公式和定理，而是像一位经验丰富的老教授，耐心地引导你穿越数值分析的迷宫。例如，在处理迭代法收敛速度的分析时，书中不仅仅给出了收敛阶的定义，更重要的是，它用生动的语言解释了为什么某些方法在特定问题上表现出色，而另一些则力不从心。我记得书中关于有限差分法的讨论，没有直接跳到高阶近似，而是先从最基本的泰勒展开入手，一步步推导出二阶中心差分的优势，这对于初学者建立直观理解至关重要。它强调了“病态问题”的识别与处理，这一点在实际工程应用中是决定成败的关键。书中的案例选择也十分贴合实际，涵盖了从简单的线性系统求解到复杂的偏微分方程数值逼近，真正做到了理论与应用并重，让人感觉手中的知识是“活”的，而不是束之高阁的装饰品。这种循序渐进、注重内涵的讲解方式，极大地增强了我的学习自信心。

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这本书在工具性和实用性上的体现，远超出了我最初的预期。很多号称“指导”的书籍，最后还是沦为理论的复述，读者往往需要自己去摸索如何将这些知识转化为可执行的代码。但《数值分析学习指导》在这方面做得非常出色。它似乎预设了读者会使用某种主流的计算环境，并针对性地提供了大量关于如何使用现有工具库进行数值计算的建议和技巧。我尤其欣赏其中关于算法稳定性的探讨。在讲解矩阵分解时，它不仅提到了LU分解，还详细对比了带枢轴的LU分解和QR分解在处理不同性质矩阵时的效率差异和稳定性优势。书中给出的伪代码清晰明了，几乎可以直接翻译成任何一种编程语言。这种将数学理论与工程实践无缝衔接的处理方式，极大地提升了我的工作效率。以前我总是在理论推导完成后，对着一堆公式发愁如何下手编程，现在我感觉这本书已经帮我铺好了大部分的道路，我只需要专注于实现细节和结果验证。这种“实战派”的作风，是许多偏重理论的参考书所不具备的宝贵特质。

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坦率地说，初次翻开这本书时，我有些担心它会过于晦涩难懂，毕竟数值分析这块内容向来以抽象著称。然而，这本书展现出了一种令人耳目一新的编排逻辑。它似乎深谙读者的“痛点”，总能在关键的转折点设置“知识巩固点”。最让我印象深刻的是关于误差分析的部分，作者没有采用那种教科书式的、密密麻麻的数学推导，而是巧妙地将误差分解为截断误差和舍入误差两大块，并针对性地给出了如何通过改变算法或计算精度来最小化整体误差的策略。这种结构化的思维导图，帮助我迅速构建了对整个误差体系的宏观把握。再比如，在线性代数部分，对于特征值问题的处理，书中不仅详细阐述了幂次法和反幂次法，还花了相当的篇幅来讨论它们在实际应用中可能遇到的陷阱，比如如何选择初始向量以避免收敛到次优特征值。这种对细节的把控，让这本书不仅仅是一本“指导书”，更像是一本“避坑指南”。文字风格上，它保持了一种恰到好处的严谨与亲和力之间的平衡，让人在紧张的思考之余，还能感受到一股来自作者的鼓励和支持，绝无那种高高在上的学术腔调。

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我必须指出，这本书在内容深度上展现出一种罕见的平衡感——既能满足入门者的需求，又能提供给进阶者深入挖掘的空间。对于我这样已经有一定基础的读者来说，最吸引我的是它对“现代”数值方法的不遗余力。例如，在非线性方程求解章节，书中对牛顿法及其变种的讨论非常深入，不仅限于一维情况，还扩展到了多维的拟牛顿法（如BFGS算法）的原理和收敛性分析。更妙的是，它将这些高级算法与实际工程中的优化问题紧密关联起来，比如在最小二乘拟合中的应用场景。这种超越基础教学大纲的拓展，使得这本书的价值得以持续释放，随着我知识水平的提高，我总能从中发现新的层次和解读。书中的图示和示意图也极具匠心，它们并非简单的美化，而是用来辅助理解那些抽象的几何意义，比如迭代路径的收敛轨迹，使得复杂的数学概念变得直观易懂。这本书真正做到了“授人以渔”，教我们如何像一个专业的数值分析师那样去思考和解决问题，而不是仅仅停留在“知道”某个公式的层面。

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