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出版者:Rough Draft Printing

作者:Alfred North Whitehead

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2007-09-01

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781603860390

丛书系列:

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探寻数学的深度与广度：《数学概论》 一本带领读者领略纯粹数学之美与逻辑之严谨的权威之作。 本书旨在为渴望深入理解现代数学核心概念的读者提供一个坚实而富有启发性的入门路径。我们相信，数学不仅仅是一系列计算规则的集合，而是一门关于结构、模式、逻辑推理和抽象思维的强大语言。通过本书，读者将不仅学习“如何”解决问题，更重要的是理解数学概念“为何”如此构建，以及它们在更广阔的知识体系中扮演的角色。 第一部分：奠基：逻辑、集合与证明的艺术 本部分致力于构建读者理解所有高等数学分支所必需的基础框架——形式化思维。 第一章：数学的逻辑基石 我们从命题逻辑开始，详细探讨连接词（与、或、非、蕴含、等价）的真值表及其在构建复杂论证中的作用。重点分析量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的精确使用，这是数学语言精确性的核心。随后，我们将深入探讨证明的结构：直接证明、反证法（Reductio ad Absurdum）、数学归纳法（Principle of Mathematical Induction）作为证明自然数命题的不可或缺的工具，将进行详尽的案例分析。我们还将介绍构造性证明与非构造性证明的区别，拓宽读者对“存在”的理解。 第二章：集合论的初始构造 集合论是现代数学的通用语言。本章从朴素集合论（Naïve Set Theory）出发，定义集合、元素、子集、幂集。我们将精确地定义集合间的基本运算：并集、交集、差集和对称差集。紧接着，我们将介绍笛卡尔积，这是理解关系和函数的基础。为了避免罗素悖论等集合论的内部矛盾，我们将简要介绍公理化集合论（如 ZFC 系统的基本思想），以展示数学严谨性的边界和要求。 第三章：关系、函数与构造 本章将集合论的工具应用于建立关键的数学结构。关系的定义（内积关系、二元关系）是理解结构的第一步。我们重点研究特殊类型的关系：等价关系（Equivalence Relations）及其诱导出的划分（Partitions）——这是理解同构和分类的关键。随后，函数被定义为一种特殊的、满足特定条件的双射关系。我们深入探讨函数的性质：单射（Injectivity）、满射（Surjectivity）和双射（Bijectivity），并研究复合函数的性质。最后，通过构造函数，展示如何从已知的数学对象构建新的对象。 第二部分：数的本质：从自然数到实数 本部分专注于数学中最基本的研究对象——数系——的严格构建过程。 第四章：自然数的公理化 本章将应用集合论的工具，严格地定义自然数 ($mathbb{N}$)。我们将采用皮亚诺公理（Peano Axioms）作为出发点，定义零、后继（Successor Function）的概念。然后，我们将利用数学归纳法的强大威力，严格证明加法和乘法的基本性质（交换律、结合律、分配律）。本章的难点和重点在于证明自然数的唯一性，即皮亚诺公理体系的独立性。 第五章：整数与有理数的扩张 如何从自然数构建出可以进行减法运算的整数 ($mathbb{Z}$)？我们将利用等价关系来定义整数：将有序对 $(a, b)$ 视为 $a - b$，然后定义等价关系 $[(a, b)] = [(c, d)]$ 当且仅当 $a+d = b+c$。接着，我们考察有理数 ($mathbb{Q}$)，它们是通过整数对 $(p, q)$，其中 $q eq 0$，且定义等价关系 $frac{a}{b} = frac{c}{d}$ 当 $ad = bc$ 得到的。本章深入分析有理数域的封闭性、稠密性，以及它们如何在数轴上形成一个“有间隔”的结构。 第六章：实数的完备性 实数 ($mathbb{R}$) 的构建是分析学的基石。我们首先回顾无理数的直观概念（如 $sqrt{2}$ 的不可压缩性）。本章的核心在于引入戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）的概念来严格定义实数。我们将重点分析实数的完备性（Completeness Axiom）——即实数的上确界原理（Least Upper Bound Property），这是区分 $mathbb{Q}$ 和 $mathbb{R}$ 的关键性质。理解完备性，是理解微积分中极限概念的先决条件。 第三部分：结构与变换：代数与拓扑的初探 本部分开始将读者引入更抽象的数学领域，关注对象之间的内在结构和变换。 第七章：基础代数结构 本章介绍抽象代数中最基础的结构——群（Groups）。我们定义群的四大公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并以整数加法群和非零有理数乘法群为例进行分析。我们深入研究子群、陪集（Cosets）以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）在有限群中的应用。本章也简要引入环（Rings）和域（Fields）的概念，将数系（如 $mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R}$) 置于统一的代数框架下进行审视。 第八章：度量空间与拓扑入门 为了理解“接近”和“连续”的概念，我们需要脱离欧几里得几何的束缚。本章介绍度量空间（Metric Spaces），即定义了距离函数（度量）的空间。我们用度量来重新定义极限和收敛性。随后，我们将引入拓扑空间（Topological Spaces）的基本概念，即通过开集而非距离来定义邻近性。这使得我们可以讨论那些在拓扑形变下保持不变的性质，为读者理解拓扑学奠定感性认知。 第四部分：变化的度量：分析学的核心概念 本部分将建立起连接代数与分析学的桥梁——微积分的严谨基础。 第九章：极限与连续性 本章回归微积分的核心——极限 ($lim_{x o a} f(x) = L$)。我们使用$epsilon-delta$ 定义来严格化这一概念，并展示如何用该定义来证明简单的极限。我们将运用极限的概念来定义函数的连续性——即在每一点上，微小的输入变化导致微小的输出变化。本章强调拓扑和度量空间背景下的连续性定义，并讨论连续函数的关键性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）。 第十章：导数与积分的严格化 导数被定义为在某一点上的极限（切线斜率），体现了函数瞬时变化率的概念。我们推导并证明微分法则（如乘法定律、链式法则）。接着，我们转向积分。本书将积分的概念建立在黎曼和（Riemann Sums）的极限之上，而非仅仅是面积的概念。我们将严格陈述并证明微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus），展示微分和积分之间的深刻对偶关系。 --- 本书特色： 概念先行，计算随后： 强调理解数学思想的深度，而非仅仅记忆公式。 严谨性与可读性的平衡： 确保证明的滴水不漏，同时辅以丰富的实例和几何直观解释。 结构化叙事： 引导读者从具体的数系构建，逐步过渡到抽象的结构理论，展示数学知识体系的内在联系。 目标读者： 所有对纯粹数学感兴趣的本科生、自学者，以及希望系统回顾和夯实数学基础的理工科高年级学生或研究人员。阅读本书要求具备基本的代数知识和强烈的逻辑思维意愿。

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