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isbn号码:9780821806623

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• Singularity theory
• Complex geometry
• Algebraic geometry
• Differential geometry
• Kähler manifolds
• Moduli spaces
• Resolution of singularities
• Birational geometry
• Hodge theory
• Complex manifolds

《奇点与复几何》一书，如其名所示，深入探索了数学领域中两个既迷人又极富挑战性的分支：奇点理论与复几何。本书旨在为读者构建一个坚实的理论框架，并清晰地阐述这两个领域之间的深刻联系。 奇点理论，作为拓扑学和微分几何的一个重要分支，研究的是光滑流形上光滑映射的局部性质，特别是那些偏离“光滑”行为的点，即奇点。这些奇点并非简单的“缺陷”，而是蕴含着丰富的几何信息，它们的存在和类型揭示了映射的本质结构。本书将从最基础的芽（germs）和拟序（jets）概念出发，逐步引入分类理论，例如著名的A. Whitney的分类定理，该定理为二维光滑映射的奇点提供了一个完整的分类。我们会详细讨论例如尖点（cusps）、燕尾（swallowtails）等经典奇点，以及它们是如何通过映射的局部形变产生的。 本书还将深入研究奇点分类的更一般框架，包括 Thom-Mather 定理，它阐述了稳定映射的奇点集合具有特定的拓扑结构。我们将探讨奇点的拓扑不变量，例如 Milnor 数量和接触角（contact invariants），这些不变量能够区分不同类型的奇点，并与奇点的几何性质紧密相关。此外，我们还将触及一些现代奇点理论的研究方向，例如奇点的代数几何视角，即从代数簇的角度研究奇点，以及 Morse–Bott 理论在奇点分析中的应用。 另一方面，复几何是研究复流形（即局部上是 $mathbb{C}^n$ 中的开集，并且其上的坐标变换是全纯的流形）的几何性质的学科。复流形是代数几何与微分几何的交汇点，它们在数学和物理学的许多领域都扮演着核心角色。本书将首先介绍复向量空间、复线性映射、复矩阵等基础概念，为理解复结构打下基础。随后，我们将深入探讨复流形的定义，包括复图册（complex atlases）、复坐标和复结构的构造。 本书将重点介绍一些基本的复流形，如复球面（complex spheres）、复射影空间（complex projective spaces, $mathbb{CP}^n$）及其上的代数曲线和曲面。我们将详细讲解复流形上的全纯函数、全纯向量场和全纯微分形式，并引入 Dolbeault 柯西-黎曼方程（Dolbeault-Cauchy-Riemann equations），这是研究复流形上函数和微分形式性质的关键工具。 更重要的是，本书将仔细考察奇点理论如何渗透到复几何的研究中。例如，在代数几何中，代数簇的奇点是研究的核心问题之一。我们将探讨复代数曲线和曲面上的奇点，例如尖点、自交点（self-intersection points）、孤立奇点（isolated singularities）等，以及它们对黎曼面（Riemann surfaces）的拓扑和几何性质的影响。 本书将详细阐述复几何中的一些重要概念，如霍奇理论（Hodge theory），它揭示了复流形的拓扑性质与其上的微分形式之间的深刻联系。我们将讨论黎曼流形（Riemannian manifolds）上的拉普拉斯算子（Laplacian operator）以及其与霍奇分解（Hodge decomposition）的关系。此外，我们还将探讨 Kähler 流形（Kähler manifolds）的性质，这是一类具有特殊复结构和黎曼结构的复流形，它们在理论物理（如弦理论）中有着广泛的应用。 本书的另一大亮点是探讨奇点理论与复几何在具体问题中的结合。例如，在研究复代数曲线的模空间（moduli spaces of complex algebraic curves）时，奇点理论对于理解曲线的退化（degenerations）和模空间的奇异性至关重要。我们将分析例如在模空间中出现的奇点，并讨论如何利用奇点理论的工具来理解这些奇异性的几何意义。 本书还将涉及一些与奇点和复几何相关的现代研究课题，例如： Speiser 奇点: 这是复射影空间中代数曲线的特定类型奇点。 Milnor 纤维: 由奇点附近的超曲面（hypersurface）形成的纤维丛（fiber bundle），其拓扑性质与奇点的局部结构密切相关。 Kleinian 奇异性: 在三维复流形中出现的更复杂的奇异性，它们在对称性理论和规范场论中具有重要地位。 Quiver 表示与奇点: 通过代数表示论的语言来理解奇点的结构。 Mirror Symmetry (镜像对称): 这是一个深刻的猜想，连接了具有相同拓扑但不同几何结构的两种复流形，奇点在其中扮演着重要角色。 本书力求在概念的清晰性、理论的严谨性和内容的深度之间取得平衡。通过对奇点理论和复几何这两个重要领域的系统性介绍和深入探讨，本书将为数学专业学生、研究人员以及对高维几何和拓扑感兴趣的读者提供一个宝贵的资源。读者将能够掌握分析复杂几何结构中奇点产生机制的关键工具，理解这些奇点如何影响整体的几何和拓扑性质，并领略数学家们如何巧妙地运用这些理论来解决更深层次的数学问题。本书旨在激发读者对这些数学分支的兴趣，并为进一步的深入研究奠定坚实的基础。

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这本书的书名，在我脑海中勾勒出了一幅宏伟的图景：在宇宙的边缘，在时空的极限，数学的规则以一种我们难以想象的方式运作着。“奇点”，代表着我们现有物理定律的终结，也可能是新理论的起点。而“复几何”，则为我们提供了一个全新的视角，去探索这些极端区域的数学结构。我希望这本书能够带我深入理解，为何在这些物理学中最困难的问题中，复几何扮演着如此关键的角色。我期待着，能够学到那些用来分析和理解奇点的数学技术，并且能够欣赏到这些技术所展现出的数学之美。这本书，在我看来，不仅仅是一本关于数学和物理学的书，更是一次关于人类理解宇宙极限的探索之旅。

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这本书的名字，唤起了我对宇宙最极端现象的无限遐想。当我想象“奇点”时，我首先想到的是宇宙大爆炸的起点，一个一切都坍缩于一点的时刻，或者黑洞中心那无限致密的存在。而“复几何”，这个词本身就散发着一种超越寻常的数学魅力，它所描绘的几何世界，一定是丰富多彩且充满未知的。我希望这本书能够以一种循序渐进的方式，引导我理解这些抽象的概念，并且揭示它们之间的内在联系。我期待能够在这本书中，找到那些能够帮助我理解宇宙终极命运的数学线索，并且能够欣赏到数学在探索宇宙奥秘时所展现出的简洁与力量。

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这本书的标题，如同一把钥匙，开启了我对宇宙最深层奥秘的探索欲望。“奇点”，在我看来，是物理学中最令人着迷的谜团之一，它们标志着我们现有理解的边界。而“复几何”，则为我们提供了一种全新的语言和工具，去研究和描述这些边界。我希望这本书能够帮助我理解，数学中的复数系统是如何能够帮助我们更好地理解和描述物理世界中的这些极端现象。我期待着，能够从书中获得关于复几何在分析奇点时的深刻见解，以及这些数学工具如何为我们揭示宇宙的运作方式提供新的可能。这本书，在我看来，是通往理解宇宙终极秘密的一扇门。

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这本书的标题，如同一个魔咒，召唤着我对宇宙终极秘密的探求。我一直对那些在物理学中“失效”的点感到好奇，它们往往是突破现有理论的关键。而“奇点”，正是这种失效的极致体现。同时，我也对复几何的理论框架充满了兴趣，它所引入的复数，为几何学带来了全新的维度和视角，我总觉得它隐藏着解决某些物理学难题的钥匙。我希望这本书能为我提供一个清晰的脉络，将奇点的概念与复几何的工具巧妙地联系起来。我期待着，在书中能够找到关于这些概念的严谨定义、深邃洞见，以及它们在现代物理学，尤其是宇宙学和量子场论中的具体应用。这本书，或许能帮助我理解，为何那些看似抽象的数学结构，能够如此精准地描述我们所处的现实世界，甚至预测那些我们尚未发现的现象。

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这本书的封面设计非常引人注目，深邃的星空背景，交织着复杂的光线和几何图形，立刻就能吸引住我。虽然我不是这个领域的专家，但它散发出的神秘感和智慧的光芒让我跃跃欲试。我一直对宇宙的奥秘以及那些看不见的规律着迷，而“奇点”和“复几何”这两个词汇，在我脑海中勾勒出了一个宏大而充满未知的图景。我常常在想，宇宙的诞生，黑洞的内部，那些我们无法触及的极端状态，是否都与这些深奥的数学概念紧密相连？这本书，我想，或许能为我揭开一些神秘的面纱，让我得以窥探那些构成我们现实基础的更深层次的数学结构。我期待着能够理解那些抽象的概念如何被具象化，以及它们如何帮助我们理解我们所处的世界。从封面上流露出的严谨和艺术感，我预感这本书不仅仅是理论的堆砌，更可能是一次智力上的冒险，一次与宇宙深层规律的对话。我希望能在这本书中找到一些启发，一些能够拓展我思维边界的新视角，不仅仅是为了知识的获取，更是为了那种探索未知、挑战自我的乐趣。

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我是一个对科学和数学的交叉领域充满好奇的读者。当我看到“奇点”这个词时，我立刻联想到宇宙的起源和黑洞的神秘。而“复几何”则勾起了我对数学中那些超越实数系统的更广阔世界的想象。我希望这本书能够为我打开一扇窗，让我得以一窥那些在理论物理学前沿扮演重要角色的数学工具。我期待着，能够理解复几何如何提供一种新的语言来描述奇点，以及这些数学概念如何帮助科学家们构建更完整、更深刻的物理模型。我明白，学习这些内容需要付出极大的努力，但我相信，这本书能够以一种引人入胜的方式，将这些复杂的概念呈现出来，让我能够欣赏到数学在揭示宇宙奥秘时的深度和广度。

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阅读这本书让我感觉自己像是在探索一片未知的数学大陆。书中的概念，虽然对我来说是全新的，但它们所描绘的景象却异常壮观。我仿佛看到，在数学的深处，存在着一些极其复杂却又无比精确的结构，它们如同宇宙的骨架，支撑着一切。我一直在思考，那些我们用来描述现实世界的数学工具，在面对“奇点”这样极端情况时，是否会失效，或者需要被更强大的理论所取代？而复几何，这个名字本身就带有一种超越我们日常直觉的意味，我很好奇它如何能够帮助我们理解这些超越常规的数学对象。我希望这本书能引导我一步步地走进这些复杂的概念，即使过程充满了挑战，我也愿意投入时间和精力去理解。我期待着，通过这本书，我能够培养出一种更深刻的数学直觉，能够欣赏到数学在揭示宇宙本质时所展现出的力量和美感。

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作为一名对数学和物理学的交叉领域有浓厚兴趣的学习者，我一直在寻找能够深入理解“奇点”以及相关数学工具的书籍。“奇点”这个概念，在宇宙学、黑洞物理学以及量子引力理论中都扮演着至关重要的角色。我希望这本书能够为我提供一个扎实的基础，让我能够理解这些物理现象背后的数学原理。而“复几何”作为一门处理复数变量几何的数学分支，我深信它在描述和分析奇点方面拥有独特的能力。我期待在这本书中，能够找到关于复几何在分析奇点时的具体方法和应用，以及这些方法如何帮助我们突破现有理论的局限。这本书，在我看来，是连接物理学前沿问题和深层数学结构的桥梁。

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我对那些能够连接不同学科的知识感到特别着迷。物理学中的许多难题，似乎都指向了数学的某些抽象分支，而“奇点”和“复几何”无疑是其中最令人兴奋的两个交叉点。我一直在思考，那些我们目前无法完全理解的现象，比如宇宙大爆炸的起点，或者黑洞视界附近的状况，是否都隐藏在这些高深的数学结构之中？这本书的名字，让我觉得它可能提供了一个非常独特的视角，去审视这些物理学中最具挑战性的问题。我预感，这本书会涉及到一些非常优美的数学构造，那些复杂的公式和定理，在正确的引导下，会像精密的仪器一样，帮助我们测量和理解那些我们无法直接观察到的现实。我渴望能够在这本书中找到一些新的思考方式，一些能够启发我从更广阔的视角去审视物理学问题的思路。我希望这本书能够成为我探索宇宙奥秘的一块基石，帮助我理解那些隐藏在现象背后的数学逻辑。

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我最近正在为一篇关于宇宙学前沿研究的论文搜集资料，而“奇点”这个词在其中出现的频率非常高，它既是理论的起点，也是一些模型失效的边界。与此同时，我一直对数学中那些看似抽象却能解释物理现象的领域充满好奇，复几何便是其中之一。因此，当我在书架上看到《奇点与复几何》这本书时，我的内心充满了期待。我知道，这本书很可能不是一本轻松的读物，它需要耐心和专注，但正是这种挑战性让我更加渴望去征服它。我希望这本书能为我提供更深入的理解，不仅仅是关于奇点本身的数学定义，更包括它们在不同物理理论中的应用，以及复几何在描述和理解这些奇点时的独特优势。我特别想知道，复几何的那些高维度的概念，是否能够帮助我们突破当前理论在描述极端情况时的局限。我想象着，通过这本书，我能够构建起一个更连贯的知识体系，将那些零散的理论碎片连接起来，从而对宇宙的深层运作有一个更清晰的认识。

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