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出版者:兰州大学出版社

作者:郝庆年

出品人:

页数:116 页

译者:

出版时间:2007年12月1日

价格:12.00

装帧:平装

isbn号码:9787311030377

丛书系列:

图书标签:

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《拓扑场论导论》 图书简介 引言：一个全新的几何与物理的交汇点 《拓扑场论导论》是一本旨在为读者提供严谨而深入地理解拓扑场论（Topological Quantum Field Theory, TQFT）核心概念、数学基础及其在现代物理学中应用的权威著作。本书的撰写初衷，是填补当前市场上现有教材在系统性、深度和前沿性之间的空白，为高年级本科生、研究生以及致力于理论物理、数学物理研究的科研人员提供一本既可作初学入门，又可作深度参考的宝典。 拓扑场论是连接拓扑学、几何学、量子场论和凝聚态物理等多个领域的桥梁。它的核心特征在于，物理量的计算结果——例如关联函数或散射矩阵——不依赖于背景时空的度量结构，而仅依赖于其拓扑结构。这种奇特的性质，使得TQFT成为研究流形拓扑不变量、理解量子引力微扰论极限以及分类低维拓扑态的有力工具。 本书的叙事结构设计精妙，从基础的数学概念逐步推向复杂的物理构造，确保读者能够平滑过渡，逐步构建起对这一抽象理论的直观理解与严格把握。 第一部分：数学基础——拓扑与几何的语言 在深入探讨物理模型之前，我们必须先建立坚实的数学框架。本部分聚焦于读者理解TQFT所需的拓扑学和微分几何的先决知识。 第一章：流形与微分结构 本章详细回顾了光滑流形的基本概念，包括拓扑结构、微分结构、切空间和张量丛。我们不满足于教科书式的定义，而是通过一系列精心挑选的例子，如球面、环面和射影空间，帮助读者建立对高维几何空间的直观认识。重点讨论了流形上的向量场、微分形式以及外微分的代数结构，这是定义场论中“场”和“作用量”的基础。 第二章：同调与上同调——拓扑不变量的度量 拓扑场论的物理结果往往是流形的拓扑不变量。本章深入讲解了奇异同调理论（奇异链复形、公理化特征）和de Rham上同调。我们清晰地阐述了de Rham上同调如何与微分形式的积分相关联（即de Rham定理），并初步展示了这些代数不变量如何与微分几何的结构交织在一起。对贝蒂数和欧拉示性的计算将作为贯穿本章始终的具体应用。 第三章：纤维丛与联络 在物理学中，规范场是核心元素。本章引入了纤维丛（特别是主丛和向量丛）的概念，用以描述场的“内部自由度”。我们详细考察了联络（Connection）的几何意义，即如何定义“平行移动”。通过对曲率（Curvature）的计算和讨论，读者将为后续章节中规范场论的引入做好准备。特别是对Chern-Weil理论的简要介绍，为理解Chern-Simons理论奠定了基础。 第二部分：场论的构造——从作用量到观测值 本部分是本书的核心，专注于TQFT的物理构造，特别是如何从数学结构中提取物理的观测值。 第四章：路径积分的拓扑视角 本书从量子场论的路径积分表述出发，但立即将其置于拓扑的框架下。我们探讨了如何修改标准的作用量，使其对背景度量不敏感。本章的核心是理解“拓扑作用量”的含义，以及它如何避免依赖于度规张量 $g_{mu u}$。通过对微小度规形变的分析，我们证明了在零耦合常数限制下，场论的经典有效作用量必须是拓扑精确的。 第五章：西格玛模型与二维TQFT 二维TQFT是理解更高维理论的最佳起点。本章详细分析了共形场论（CFT）与二维TQFT之间的深刻联系，特别是基于Kähler流形上的弦理论Sigma模型。我们重点探讨了A模型和B模型，解释了它们如何分别对应于流形上的辛拓扑和复拓扑结构。通过计算世界面上的规范场，我们引出了著名的Gromov-Witten不变量，并展示了其作为物理观测值的意义。 第六章：Chern-Simons理论的精妙 Chern-Simons（CS）理论是三维TQFT的典范。本章将CS理论的规范场作用量 $S_{CS}[mathcal{A}]$ 与三维流形的拓扑不变量联系起来。我们详细分析了Chern-Simons三流形上的连接，并阐述了Wilczek-Zee相变和Chern-Simons作用量的规范变换下的不变性。通过引入Faddeev-Reshetikhin-Verlinde（FRV）代数，本书清晰地展示了CS理论如何与低维拓扑的Jones多项式和Kauffman不变量建立起精确的对应关系。 第三部分：高级主题与应用 在掌握了基础理论后，本书转向更前沿的研究方向和实际应用。 第七章：阿蒂亚对TQFT的公理化 迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）对TQFT的公理化是连接代数与几何的关键一步。本章系统地介绍了阿蒂亚的五条公理（或称为“定义”）：流形、（d-1）维边界的演化、映射的函子性、结合律（来自浸入）和向量空间（来自零维流形）。我们利用这些公理来构造并验证一个简单的二维TQFT模型，强调了TQFT如何被视为一个“拓扑不变量的机器”。 第八章：拓扑序与凝聚态物理 TQFT在描述凝聚态物理中的拓扑量子计算和分数霍尔效应中扮演了至关重要的角色。本章探讨了TQFT如何自然地描述“拓扑序”——一种没有局域序参量的量子态。我们将重点放在二维非阿贝尔任意子（Anyons）的模型上，解释了非阿贝尔统计的物理意义在于粒子交换的路径依赖性，这正是由三维TQFT（如Chern-Simons理论）在二维时空上的投影所描述的。 第九章：拓扑重整化群与低能有效理论 本章讨论了如何利用TQFT的视角来理解量子场论中的重整化群（RG）流。我们展示了拓扑性质如何保证RG流在低能极限下会收敛于一个拓扑不变的固定点。这为理解不同理论之间的对偶性提供了一个几何化的框架，特别是对偶性的出现往往可以被解释为背景流形纤维化结构的变化。 结语 《拓扑场论导论》不仅是一本关于理论物理的书，它更是一部展示数学美学与物理深刻洞察如何完美契合的典范之作。通过严谨的推导、丰富的示例和对前沿课题的深入探讨，本书旨在培养读者运用几何和拓扑工具解决量子物理难题的能力。它为读者打开了一扇通往数学物理最活跃领域的大门，预示着几何与物理在探索宇宙基本规律中的无限潜力。本书的读者，将能够自信地驾驭拓扑场论这一强大的理论工具，并将其应用于未来的研究之中。

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我是在一次关于广义相对论的研讨会上被一位老教授强烈推荐后购入此书的。坦白说，初读的体验并不算愉快，因为它似乎完全没有考虑读者的“入门友好度”。大量的符号和复杂的张量分析充斥其间，对于习惯了简洁现代物理教材的我来说，简直是一场智力上的煎熬。它更像是某个特定学派的“圣经”，充满了只有圈内人才能心领神会的约定俗成和历史沿革的影子。但当我坚持读到中间关于时空弯曲的几何阐述时，那种醍醐灌顶的感觉是无法替代的。作者通过一系列看似繁琐的步骤，最终揭示出宇宙结构内在的和谐与必然，那种宏大叙事下的微观精确，让人不得不对作者深厚的洞察力表示敬佩。这本书更像是一扇通往特定物理哲学的门，一旦推开，里面的风景或许会颠覆你原有的认知框架，但这个过程是需要付出巨大心力去适应的。

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这本书的封面设计得相当有年代感，带着一种老派科学著作的沉稳气息，让人一翻开就感觉自己面对的是一部厚重的、需要下苦功夫去啃的经典。纸张的质感很好，散发着淡淡的油墨香，这种触感在现在的电子书时代已经很难得了。内容上，作者的行文风格非常严谨，每一个论述都像是经过了千锤百炼的数学推导，逻辑链条紧密得让人几乎找不到可以喘息的空间。我最欣赏的是它对基本概念的构建，没有丝毫的含糊其辞，力求将每一个物理实在都用最纯粹的数学语言来描述。虽然阅读起来需要极高的专注度，时不时得停下来对着草稿纸重新演算一番，但正是这种挑战性，才让人感到每一次理解的深入都来之不易，仿佛自己真的踏入了一个由公理和定理构筑的、坚不可摧的理论大厦之中。它更像是一本供专业研究者或资深爱好者深入钻研的工具书，而不是面向大众科普的读物。

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这本书的装帧给人一种坚固可靠的感觉，书脊即便多次翻开也不会轻易松垮，这很符合其内容的“硬核”特质。阅读它，就像是跟随一位经验丰富但脾气古怪的导师进行一对一的私人辅导。他不会刻意讨好你，只会用最直接、最本质的方式将知识的内核展示给你。其中穿插的一些历史背景介绍，虽然篇幅不长，却能让人理解为何某些概念会以当前的形式被确立，这对于理解物理理论的发展脉络非常有帮助。它对“场”和“势”的讨论非常深入，几乎将这些概念的哲学含义也一并探讨了进去，使得这本书不仅仅是一本技术手册，更像是一部关于物理实在本质的哲学探讨集。读完后，我感觉自己对“什么是物理定律”这个问题有了更加成熟和复杂的认识。

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翻开书页，我首先留意到的是作者对术语定义一丝不苟的偏执。每一个新引入的概念，作者都要花费相当大的篇幅去界定其物理意义、数学表达以及与其他概念之间的潜在联系，生怕读者产生丝毫的歧义。这种详尽到近乎唠叨的叙述方式，让我在处理那些高度抽象的概念时，内心感到异常踏实。很多时候，我发现自己不是在学习一个新理论，而是在学习一种新的、更精确的语言体系。书中对许多经典实验的重新审视也令人耳目一新，作者总是能从更深层次的原理出发，对实验结果做出富有洞察力的诠释，而非简单地复述结论。这本书需要时间来沉淀，它不是那种能让你一口气读完并立即“掌握”的快餐读物，更像是一壶需要文火慢炖的老茶，回味悠长，每一次重读都会有新的领悟浮现。

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这本书的排版和插图风格，透露出一种上世纪八九十年代的学术气息，字体偏小，图示多为黑白线条勾勒，缺乏现代教材那种五彩斑斓的视觉引导。这或许是受限于当时的印刷技术，但不得不承认，这确实增加了阅读的门槛。我发现自己经常需要在查阅附录的数学工具箱和正文之间来回切换，才能跟上作者的思路。不过，其内容的深度是毋庸置疑的，它并没有满足于停留在现象的描述，而是深入挖掘了现象背后的结构性原因。特别是关于能量守恒在非惯性系下的修正部分，作者的处理方式相当巧妙，避开了许多教科书上常见的近似手法，直接给出了一个更普适的框架。这本书与其说是教人如何“计算”物理问题，不如说是教人如何“思考”物理问题，它培养的是一种对物理实在的直觉和敬畏。

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