離散數學(下)(四版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:鼎茂

作者:黃子嘉

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006

价格:0

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isbn号码:9789861225500

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• 离散数学
• 数学
• 教材
• 高等教育
• 计算机科学
• 第四版
• 组合数学
• 图论
• 数理逻辑
• 代数结构

离散数学（上）：理论基础与计算思维的构建 本书特色： 系统性与深度并重： 详尽梳理离散数学的核心概念，从集合论、逻辑学、图论到组合数学，构建起严密的理论框架。 强调计算思维的培养： 紧密结合算法设计与分析的需求，通过大量实例和习题，引导读者将抽象的数学语言转化为具体的计算步骤。 内容前沿且实用： 覆盖现代计算机科学中的关键数学工具，为数据结构、算法设计、数据库理论、网络通信等领域打下坚实基础。 --- 第一部分：逻辑与证明——思维的基石 第一章 命题逻辑与谓词逻辑 本章旨在为读者建立严谨的数学推理基础。我们将从最基本的逻辑联结词（与、或、非、蕴含、等价）入手，详细阐述命题的真值表、永真式、矛盾式以及如何利用这些工具进行命题的等价替换。重点将放在范式的构建上，包括合取范式（CNF）和析取范式（DNF），这在布尔代数和电路设计中具有直接应用价值。 随后，深入探究谓词逻辑（一阶逻辑）。我们引入量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$），并解释如何将自然语言语句精确地翻译成一阶逻辑表达式。本章将详细剖析量词的否定规则和等词性量词的嵌套，这是进行复杂数学证明和程序规范化描述的关键技能。 第二章 证明的艺术与技巧 在本章中，我们将从形式逻辑的推导规则过渡到实际的数学证明方法。首先，系统介绍直接证明（Direct Proof）和间接证明（包括反证法 Indirect Proof 和逆否命题证明 Contrapositive Proof）的结构和适用场景。 随后，重点讲解数学归纳法（Mathematical Induction）。归纳法被视为离散数学中最核心的证明工具之一。我们将区分基础归纳法、强归纳法（强假设归纳法），并辅以大量关于数列、递归关系和图结构性质的证明实例，确保读者能够准确把握归纳基础和归纳步骤的逻辑关联。同时，也会探讨结构归纳法，为后续章节中对树和列表等递归定义的结构进行证明做准备。 --- 第二部分：集合、函数与关系——对象的组织 第三章 集合论基础 本章是整个离散数学的起点，提供了组织和描述对象的语言。我们从集合的定义、表示方法（枚举法、描述法）开始，逐步过渡到集合的运算，包括并集、交集、差集、补集以及笛卡尔积。特别强调幂集的概念及其大小的计算。 关于集合的运算，本章不仅停留在代数层面，更会深入探讨德摩根定律、分配律等集合代数的基本性质，并将其与命题逻辑的等价性进行类比，强化结构上的统一性。对于有限集合，集合的计数和容斥原理是本章的另一重点，为后续的组合数学奠定基础。 第四章 函数与关系 关系是描述对象间联系的核心工具。本章首先定义二元关系，并系统分类讨论其重要性质，如自反性、对称性、传递性。在此基础上，重点分析等价关系（Equivalence Relations），解释如何利用等价关系将集合划分为等价类，这是理解抽象代数和数据划分的重要概念。 函数（Functions）被视为满足特定约束条件的特殊关系。我们将详尽讨论函数的种类：单射（一对一）、满射（映 onto）和双射（一一对应）。对于双射函数，我们将深入探讨反函数的构造以及复合函数的性质。对于涉及无限集合的场景，将引入基数（Cardinality）的概念，并简要介绍康托尔定理，为理解不同无穷集的大小差异提供数学依据。 --- 第三部分：数数的能力——组合数学的初步 第五章 基础计数原理 本章旨在培养读者的系统计数能力，是算法复杂度分析和概率论的基础。核心内容围绕两大基本原理展开：加法原理和乘法原理。 随后，我们将系统学习排列（Permutations）与组合（Combinations）。详细区分可重复与不可重复、有序与无序这四种基本计数场景。重点讲解排列公式（$P(n, k)$）和组合公式（$C(n, k)$，二项式系数），并利用二项式定理的展开式来证明恒等式。 第六章 更高级的计数技术 本章在基础计数之上引入更复杂的计数工具。首先是容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion, PIE）。我们将从二维集合的容斥推广到多重集合的容斥，并应用于解决“没有元素位于其原位”的错排问题（Derangements）。 其次，引入鸽巢原理（Pigeonhole Principle）。我们将从基础的“如果 $n+1$ 只鸽子飞入 $n$ 个巢，则至少有一个巢有两只或更多鸽子”出发，扩展到推广的鸽巢原理，并结合实例展示其在证明存在性问题中的高效性。 --- 第四部分：代数结构入门 第七章 代数结构与群论初步 本章将离散数学的抽象性推向一个新的高度，介绍代数结构的基本概念，为深入学习抽象代数和密码学打下基础。 核心概念包括代数系统（带有满足特定封闭性、结合律、单位元和逆元等性质的集合与运算）。重点介绍半群、幺半群和群（Group）的严格定义。我们将分析一些基础群的实例，如整数集在加法下的群、非零有理数集在乘法下的群，以及对称群 $S_n$ 的基本性质。 此外，本章将引入子群、陪集的概念，并侧重讲解拉格朗日定理，该定理是群论中关于阶（元素个数）关系的最基本且强大的结论之一，对后续理解同态、同构至关重要。 第八章 递归关系与生成函数 本章聚焦于描述和求解涉及数列、计数问题中的递归定义。我们将探讨线性齐次常系数递归关系的求解方法。首先，通过特征方程法（Characteristic Equation）求解齐次解。随后，介绍如何利用生成函数（Generating Functions）将递归关系转化为代数方程，这提供了一种强大的、非递归的解决路径。 我们将详细演示如何使用生成函数来求解经典的计数问题，如将一个整数拆分为若干个整数之和（分割问题），以及某些组合问题的计数。这部分内容是连接组合数学与微积分、序列分析的桥梁。 --- 适用对象： 计算机科学、软件工程、信息安全等专业本科生。 希望系统性复习离散数学基础，为学习算法、数据结构、形式语言与自动机理论做准备的学生。 需要掌握严格逻辑推理和抽象数学建模能力的工程技术人员。

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说实话，市面上关于离散数学的书籍汗牛充栋，但真正能做到深入浅出、兼顾理论深度和应用广度的，凤毛麟角。这本《离散数学（下）（四版）》无疑是其中的佼佼者。我尤其欣赏它对现代计算思维的融入。它不是一本孤立的数学理论书，而是紧密地围绕着计算机科学的核心需求来构建知识体系的。例如，在讲解命题逻辑和谓词逻辑时，它很自然地过渡到了布尔代数和逻辑电路设计的基础，这种跨学科的视角让学习变得更有目的性。对于我这种应用型人才来说，这至关重要。我不需要成为纯粹的数学家，但我必须掌握用数学的语言来描述和解决计算问题的能力。这本书成功地搭建了这座桥梁，它提供的不仅仅是知识点，更是一种思考框架，教你如何用数学的精确性来约束和指导程序设计。

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这本《离散数学（下）（四版）》简直是数学学习者的一剂强心针，内容编排得丝滑流畅，把原本抽象的概念讲得入木三分。尤其是在讲到图论那一部分时，作者的讲解方式让人耳目一新，不是那种枯燥乏味的公式堆砌，而是通过大量生动的例子和图示，让你仿佛能亲手触摸到那些节点和边之间的逻辑关系。记得有一次为了理解某个复杂的染色问题，我卡了好几天，翻遍了网上的各种资料，直到拿出这本书，里面的一个巧妙的证明思路一下子就点亮了我的思维，那种豁然开朗的感觉，真是太棒了。这本书的难度设置也恰到好处，既有基础概念的夯实，也有深入到前沿研究的探讨，让不同层次的读者都能找到自己的增长点。而且，课后习题的设置也非常用心，从基础巩固到思维拓展，层层递进，逼着你动手动脑，真正把知识内化。对于想要在算法设计、计算机科学领域深耕的朋友来说，这本书绝对是案头的必备良品，是通往更高阶数学殿堂的一座坚实桥梁。

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我给这本书打五星，纯粹是因为它的完整性和严谨性。有些教材为了追求简洁而牺牲了细节的完整性，导致读者在遇到复杂情况时无从下手；而有些教材则把所有细节都堆砌在一起，让人望而却步。这本《离散数学（下）（四版）》找到了一个完美的平衡点。它的例题设计非常巧妙，很多看似简单的证明题，背后都蕴含着深刻的数学思想。我发现，很多时候，解答一个难题的关键，就在于能否准确地套用书本中某个不起眼的定理的推论。而且，这本书的参考文献列表也十分详尽，如果你对某个特定分支有更浓厚的兴趣，它会为你指明下一步深入探索的方向，而不是让你在学完基础后就陷入迷茫。总而言之，这是一本值得反复翻阅、能够陪伴你度过整个计算机专业学习生涯的工具书。

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拿到这本厚厚的《离散数学（下）（四版）》时，我本来还有点抗拒，毕竟“离散数学”这几个字听起来就够让人头疼的了。但是，当我翻开它，特别是看到关于组合数学那几章时，我的看法彻底颠覆了。作者的文笔非常具有感染力，那种对数学美感的追求贯穿始终。他不仅仅是在教授公式和定理，更是在引导我们欣赏数学的结构和内在的和谐。比如说，在讲解生成函数的时候，作者没有直接抛出繁复的推导，而是先用一个生活中的排列组合小问题引入，让你自然而然地感受到为什么需要这种工具，然后循序渐进地展示它的威力。这种“润物细无声”的教学方法，极大地降低了学习的心理门槛。更值得称赞的是，这本书的排版和插图质量极高，即便是复杂的逻辑图和集合关系图，也清晰明了，这对于长时间阅读和参考来说，是一个巨大的加分项，保证了阅读体验的舒适度。

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这本书的“四版”带来的提升是显而易见的，它明显吸纳了这些年来教学实践中的反馈和新的研究成果。我对比了老版本，新版在“数理逻辑”和“代数结构”这两个基础却又决定上限的部分做了大量的打磨和补充。特别是代数结构部分，它对群、环、域的介绍，从抽象代数的角度给出了一个非常严谨而又易于理解的框架。以往我总觉得这部分内容很“玄乎”，但通过本书的讲解，我开始理解为什么这些结构在密码学、编码理论中扮演着基石的角色。作者在处理这些抽象概念时，总是先给出一个清晰的定义，然后紧接着辅以至少三个不同领域的应用实例，这种“定义—实例—意义”的结构，极大地增强了知识的粘合度。每次读完一个章节，都感觉自己的逻辑思维能力被磨砺了一遍，收获远超预期。

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