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出版者:儒林圖書

作者:Ronald L. Graham

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译者:陳衍文

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isbn号码:9789576520532

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《微积分的逻辑基石：数学分析导论》 简介 《微积分的逻辑基石：数学分析导论》是一部深入浅出、结构严谨的数学专著，旨在为读者构建坚实的数学分析基础。本书的核心目标是超越传统微积分课程中侧重于计算技巧的表象，直击微积分学——这门描述变化与极限的科学——背后所依赖的严密逻辑与理论结构。全书围绕“极限”这一核心概念展开，通过层层递进的论证，系统地阐述了实数系统、序列、函数、连续性、导数和积分的严格定义与性质。 本书尤其强调对概念的精确理解和证明的完整性。我们认为，只有真正理解了 $epsilon-delta$ 语言的内涵，才能真正掌握微积分的威力。因此，本书在开篇部分花费大量篇幅来建立严谨的实数系统，这是后续一切分析理论的基石。从有理数的构造到实数的完备性，我们力求让读者清晰地认识到，正是实数集的完备性保证了微积分理论的有效性。 第一部分：实数系统与逻辑基础 本部分是全书的理论出发点。我们不会简单地假定实数集存在，而是从集合论的基本公理和皮亚诺公理出发，构建出自然数集，然后通过构造性的方法引入整数集和有理数集。 第一章：预备知识与集合论视角 首先回顾必要的集合论基础，重点讨论函数、映射（单射、满射、双射）的概念，以及构造性的证明方法。随后，引入序关系和上确界原理（或称完备性公理）。我们详细论证了为什么有理数系统在处理无理数（如 $sqrt{2}$）时会失效，并利用有理数的柯西序列（或戴德金分割）来定义和构造实数域 $mathbb{R}$。上确界原理的地位被着重强调，它被确立为本分析体系的中心支柱。 第二章：极限的语言：序列收敛 基于 $mathbb{R}$ 的完备性，我们正式定义数列（Sequence）。收敛性的 $epsilon-N$ 定义被详尽剖析，并辅以大量的例证和反例，确保读者能够熟练运用此定义进行证明。本章深入讨论了收敛数列的代数性质（和、差、积、商的极限），并引入了单调收敛定理——这一定理的证明直接依赖于上确界原理。此外，我们还详细研究了子数列收敛定理和柯西序列的概念，为引入紧致性概念做好铺垫。 第二部分：连续性与拓扑初步 在掌握了数列收敛的工具后，我们将焦点转向函数在点上的性质——连续性。 第三章：函数的极限与连续性 本章将函数的极限定义（$epsilon-delta$ 语言）置于核心地位。我们区分了函数在某点处的左极限、右极限以及单侧连续性。随后，连续函数的定义被引入，并与函数极限紧密联系起来。本章的重点在于证明介值定理和极值定理。介值定理的证明同样是建立在实数完备性的基础之上的，它揭示了连续函数在区间上取值的连续特性。 第四章：区间上的良好性质——紧致性 紧致性是现代分析中至关重要但常被忽视的概念。我们首先给出开复盖的定义，并证明了Heine-Borel 定理（实直线上的有界闭区间是紧致的）。随后，我们利用紧致性的性质，提供了对极值定理和介值定理更深刻、更简洁的证明。紧致性在处理函数的均匀连续性（一致连续性）方面发挥着决定性作用。我们将一致连续性的概念与点态连续性进行对比，并论证了“连续函数在紧致集上必一致连续”这一关键结论。 第三部分：微分学——变化率的精确描述 微分学是微积分中最具应用价值的部分，本书着重于其理论的精确性。 第五章：导数的定义与基本法则 导数被严格定义为函数增量比的极限。本章系统回顾并严谨证明了所有基础的微分法则，包括乘法、商法、链式法则。链式法则的证明需要对极限的定义有深刻理解，我们对此进行了细致的论述。我们探讨了导数存在的充分条件，并分析了导数不存在的情形（如尖点和不连续点）。 第六章：微分中值定理的几何与代数意义 本章聚焦于罗尔定理、均值定理（MVT）和柯西中值定理。均值定理的证明是理解导数几何意义（切线斜率与割线斜率的关系）的关键。随后，我们利用均值定理来推导L'Hôpital 法则，并详细讨论了该法则的使用范围和局限性。本章的收尾部分将介绍高阶导数，并为泰勒定理的引入做理论准备。 第七章：泰勒定理与函数逼近 泰勒定理是连接微分学与函数逼近的桥梁。本书提供两种主要的泰勒定理形式：带有拉格朗日余项和柯西余项的形式。我们详细论证了余项的表达式是如何通过均值定理推导出来的。重点探讨了泰勒级数在判定函数局部行为（局部极值判断）中的应用，以及函数在何种条件下可以用其泰勒多项式精确逼近。 第四部分：积分学——累积与测量的严谨构建 本部分将积分概念从直观的“面积”提升到严格的数学定义。 第八章：黎曼积分的定义与性质 我们采用达布（Darboux）和黎曼（Riemann）积分的结合方法来定义定积分。首先引入了函数的上和与下和，以及上积分与下积分的概念。可积性准则（函数在闭区间上可积当且仅当其不连续点集测度为零）被详细证明。随后，我们建立了黎曼积分的线性性质、保序性以及积分的加法性质。 第九章：微积分基本定理（FTC） 微积分基本定理被视为全书的里程碑。我们分两部分严格证明了FTC（I 和 FTC（II）。FTC (I) 证明了积分的上限函数是可微的，而 FTC (II) 证明了定积分可以利用原函数（反导数）来计算。本章还探讨了反常积分（Improper Integrals）的收敛性判别法，包括比较判别法和收敛判别法。 --- 《微积分的逻辑基石：数学分析导论》不仅是一本教科书，更是一本旨在培养读者数学思维和严谨推理能力的工具书。它要求读者不仅要“会算”，更要“能证”，为未来学习更高级的数学分支（如实分析、泛函分析）打下不可动摇的理论根基。全书的论证线索清晰，从不跳跃，力求体现数学分析的内在美与逻辑的严密性。

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本书购于本科大四寒假前夕，研究生期间被带到北京，放在实验室的桌上三年未曾翻过。工作之后下决心把它看完，从11年春天到12年春天，除去期间两三个月玩三国志的时间，耗时约一年 认真思考过书中每一道习题，半数以上的题目即使看了答案也不会做。读完最大的收获是自己清醒地...  

评分☆☆☆☆☆

认认真真读的第一本所谓经典的数学基础教材.作者的写法太飘逸,太销魂了,和国产的数学书,即使是同样topic的教材完全感受不同.不信,请瞧作者是如何演绎generating function的吧. 我觉得这么风骚的数学书,其口味需要一定的适应过程,而且,就我而言,如果对内容没有预先的领会兼之一...  

评分☆☆☆☆☆

很喜欢这本书的写作风格。作者不仅讲述数学问题和技巧，而且教人解决问题的方法，以一种令人觉得有趣的方式，带有一点感情色彩，而不是简单的灌输。 以前看过的国内的数学教材都是干巴巴的，罗列概念、证明定理、给几个例题，我不是对数学本身感兴趣的读者，很难喜欢这种书。 ...  

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今天先不写关于学习内容，以后再慢慢写吧。 今天中午书刚到手，我就已经迫不及待的想一窥芳容了（不过真心鄙视机械工业的排版，字小且密）。 学互联网计算机行业的都知道，这方面要学的东西很多很多，尤其是在你还处在学校并且对自己未来规划不是很明确的前提下。所以，可能会...  

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我在06年的时候买的这本书，买的时候并没有参考别人的书评，只是觉得这本书的标题很酷，那时才工作2年，也曾经静下心来花了几个月的时间去学习，但是发现与每天的编码工作没有太大的关系，更重要的是想读懂这本书绝对不是易事，后来就放在书架上。 时间一晃过去了3年，随着经验...  

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说实话，这本书的装帧和排版确实很下功夫，拿在手里感觉很有分量，纸质也非常好，长时间阅读眼睛不容易疲劳。内容上，我尤其欣赏它对“生成函数”那部分的讲解，以前总觉得这个概念很玄乎，读了其他资料也是云里雾里。但在这本书里，作者通过大量的实例和图示，把生成函数从一个抽象的代数工具，变成了一个可以操作、可以理解的实用模型。每一步推导都交代得清清楚楚，没有那种“想当然”的跳跃。这让我对解决一些复杂的计数问题重新燃起了信心。它不像某些大学教材那样堆砌公式，而是注重“为什么”和“怎么做”，真正做到了理论与实践的完美统一。对于自学者来说，这种详尽的引导简直是无价之宝。

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老实说，这本书的阅读门槛不算低，它要求读者对基础的代数运算有一定的熟练度，但如果你愿意投入时间，回报绝对是巨大的。我花了整整两个周末才啃完其中关于“二项式系数恒等式”的那几章，期间查阅了大量的参考资料。但一旦那种豁然开朗的感觉袭来，那种将复杂的系数通过巧妙的代换或积分运算最终化简为简单形式的成就感，是其他任何阅读体验都无法比拟的。这本书的深度在于，它不仅告诉你“是什么”，更深入地解释了“为什么是这样”，甚至探讨了不同数学分支之间的内在联系。它不是一本快餐读物，而是一部需要细细品味的数学经典，每重读一次，都会有新的感悟。

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这本《具體數學》简直是数学爱好者的福音，它以一种极其清晰和直观的方式，将那些看似高深莫测的离散数学概念娓娓道来。初读时，我以为这又是一本枯燥乏味的教科书，但很快就被作者的叙事风格所吸引。那种将抽象的数学公式与日常生活的例子巧妙结合的功力，让人拍案叫绝。特别是对于组合数学中的那些经典难题，作者总能找到一个独特的视角切入，仿佛是拿着一把精巧的钥匙，为我们打开了一扇扇通往真理的大门。书中的定理和证明过程，逻辑严密却又不失趣味性，读起来一点都不费劲。它不只是在传授知识，更是在培养一种数学思维，一种严谨而又富有创造性的思考方式。我强烈推荐给所有对算法、概率或计算机科学感兴趣的朋友们，这本书绝对能为你打下坚实的基础。

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这本书的阅读体验非常流畅，它的叙事口吻带着一种老派学者的沉稳和对学科的热爱，读起来让人感到非常亲切，就像一位经验丰富的导师在耳边细细指点迷津。我尤其喜欢它穿插的那些历史典故和数学家的趣闻轶事，这些小插曲不仅调剂了阅读的枯燥感，更让人体会到数学发展过程中的曲折与魅力。它不像某些前沿研究著作那样咄咄逼人，而是循循善诱，鼓励读者自己去探索未知的领域。我最近在使用书中介绍的那些“离散概率”技巧来分析一个实际项目中的数据分布，效果出奇地好。这本书的价值远超出了课本范畴，更像是一本能指导你如何思考、如何解决问题的“方法论”指南。

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我之前总觉得离散数学这块内容，要么过于侧重理论推导，要么就是停留在非常基础的集合论层面，难以深入。但《具體數學》成功地架起了这座桥梁。它对“求和”和“递归关系”的处理方式，堪称教科书级别的典范。作者没有满足于给出标准的解法，而是展示了多种解决同一问题的不同思路，这极大地拓展了我的解题视野。例如，书中对于某些看起来复杂的递推关系，巧妙地运用了“猜想——证明”的循环过程，这个过程本身就蕴含着深刻的数学哲学。读完后，我发现自己看问题的角度都变了，看待复杂问题时，不再是望而却步，而是下意识地去寻找其中隐藏的结构和对称性。

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