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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:S. Iitaka

出品人:

页数:357

译者:

出版时间:1981-12-4

价格:USD 52.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387905464

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 代数几何
• 数学
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• Birational Geometry
• Scheme Theory

纯粹解析的奥秘：流形、拓扑与微分几何导论 本书旨在为渴望深入理解空间结构本质的读者构建一座坚实的桥梁，它摒弃了代数方法对几何直观的过度依赖，转而专注于通过分析工具——特别是微分和拓扑——来刻画和分析几何对象。 我们将一起探索那些不依赖于坐标系或代数方程的“纯粹几何”的语言，领略现代几何学中分析方法的力量与美感。 本书的第一部分，《连续形变与内在性质：基础拓扑学检视》，将从最基础的集合论概念出发，迅速过渡到点集拓扑的核心——开集、闭集、邻域、紧致性与连通性。我们不会止步于抽象定义，而是通过大量详实的例子，如欧几里得空间的特定拓扑、函数空间的拓扑结构，来直观感受这些概念的物理意义。重点关注同胚（Homeomorphism）的概念，它是拓扑学中“形状不变性”的精确数学语言。我们将深入讨论基本群的计算，特别是针对圆环、球面和环面的计算实例，这为理解空间的“洞”提供了最初的、非代数的工具。随后，我们将引出商拓扑的概念，并讨论如何通过构造商空间来处理几何的“粘合”操作，例如构造射影空间。这一部分奠定了解析几何讨论所需的基础，确保读者对“接近性”和“连续性”的理解是稳健且无歧义的。 进入第二部分，《平坦之上的微观世界：微分流形基础》，我们将引入微分几何的核心对象——微分流形。本书采取了一种非常“分析化”的视角来定义流形：它首先是一个拓扑空间，但其上的结构（图册和转移映射）必须是光滑的。我们详细探讨了切空间的构造，将其视为流形上每一点的“最佳线性逼近”。切空间的定义将完全基于函数在点上的线性化过程，而非依赖于预先嵌入的欧几里得空间。我们将严谨地推导向量场的定义，并展示它们如何自然地在流形上形成一个李代数结构。随后，我们引入张量场的概念，但区别于纯代数处理，本书侧重于张量场作为多重线性函数作用于切空间及其对偶空间的向量，从而展现其在度量、曲率计算中的分析角色。 本书的第三部分，《内在曲率与测地线：黎曼几何的分析视角》，是全书的核心分析部分。我们首先引入黎曼度量，它被定义为切空间上的一个正定、光滑变化的内积。度量的引入使得“长度”、“角度”和“体积”的概念得以在流形上局部定义。我们花费大量篇幅来构建仿联络（Affine Connection），特别是列维-奇维塔联络，其构造完全基于度量张量，旨在保证平行移动是“最不弯曲”的推广，即保持度量张量不变。我们将详细推导测地线方程，将其视为一个二阶常微分方程组，其解代表了流形上“两点之间最短的路径”（在局部意义上）。 接下来，我们将深入探讨曲率的分析表达。黎曼曲率张量的计算将完全基于联络系数（克里斯托费尔符号）和它们的一阶导数。我们通过Ricci张量和数量曲率，展示了曲率如何量化流形偏离平坦性的程度。例如，我们将通过具体的例子（如球面的计算），展示正曲率如何影响测地线的汇聚行为，这完全是通过分析微分方程解的稳定性来实现的。 第四部分，《微分形式与积分几何：外微分的应用》，将从分析的角度对经典的微积分进行推广。我们定义微分形式（$k$-forms）作为切空间对偶空间的反对称张量，并建立它们之间的外微分（Exterior Derivative）运算$d$。本书将严谨证明$d^2=0$这一基础性质，并阐述其在流形上导出的深刻意义。随后，我们将介绍法兰斯勒-马塞拉（Français-Masserra）定理（即一般流形上的斯托克斯定理），它将线积分、面积分与更高维积分统一起来，所有这些都通过外微分和积分的组合来实现。我们将讨论流的积分，分析向量场在流形上产生的流如何保持或改变几何结构，特别关注守恒量和积分不变量。 本书的结论部分将简要涉及调和分析在几何学中的初步应用，例如介绍德拉姆上同调的分析定义，展示如何利用微分方程（如拉普拉斯-德拉姆算子）的解空间来揭示流形的拓扑不变量，从而在分析的框架内完成对几何结构的深刻洞察。 本书适合对象： 具有扎实的实分析、线性代数和多变量微积分基础，并希望以解析和微分的方法来理解空间几何结构的研究者和高年级本科生或研究生。本书的重点在于“如何计算”和“为什么能计算”，而非仅仅停留在代数结构的描述。

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这本书简直是一本通往数学真理的密室钥匙，但前提是你得有足够的体力去转动那把沉重的锁。初次捧读时，我就被其内容所展现出的那种令人敬畏的复杂性所震撼。它不是那种可以轻松翻阅的读物，更像是需要用放大镜和显微镜去仔细研究的文物。我不得不承认，在某些章节，我感觉自己像是在迷宫中摸索，每一步都充满了不确定性，需要不断地回头查阅前面的定义和定理。然而，正是这种探索的过程，才使得最终理解某个核心论断时所产生的顿悟感如此强烈。作者似乎有一种魔力，能够将那些极其抽象的结构，通过精妙的语言组织和严谨的推导，呈现在我们面前。那些关于概形、向量丛的讨论，初看起来如同天书，但随着阅读的深入，它们开始在我的脑海中形成某种可感的图像，尽管这些图像是建立在纯粹的逻辑之上的。这本书要求你投入时间，投入心力，它不会轻易地交出自己的秘密，但对那些愿意付出的人来说，回报是极其丰厚的。

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这本书对我来说，更像是一份严肃的学术邀请函，邀请我去参与到一场关于结构本质的深刻对话中。它的语言风格是高度专业化的，每一个术语都经过了千锤百炼，承载着特定的数学意义，不容许丝毫的含糊不清。我发现自己必须时刻保持高度的专注力，因为哪怕是一行推导中的遗漏，都可能导致后续大段内容的理解崩塌。然而，正是这种对精确性的执着，构成了这本书无与伦比的权威性。它仿佛一本“圣典”，记录着领域内的核心信仰和基本公理。阅读它不是为了快速获取信息，而是为了沉浸式体验数学思想的演进过程。每一次攻克一个难点，都像是在心智中打磨出了一块新的宝石。对于那些以严谨的数学研究为志向的读者，这本书是必经的淬火之地，它会以最严格的标准来检验你的基础和你的决心。读完它，你才会真正明白，什么是数学的深度所在。

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坦率地说，这本书的阅读体验是一场对心智的极限拉练。它仿佛一本厚重的史诗，每一页都承载着数百年的数学思想沉淀。我很少在其他数学著作中看到如此彻底的、不妥协的对某一领域的深入挖掘。它很少使用类比或者轻松的口吻来软化概念的棱角，而是直截了当地将读者带入到问题的核心。这对于那些已经对基础理论了然于胸的进阶学习者来说，无疑是一大福音，因为他们需要的正是这种纯粹、无修饰的数学表达。对我个人而言，阅读的过程充满了挫折与反思，我时常需要停下来，在草稿纸上反复演算，以确保我对某个构造的理解没有偏差。我发现自己开始以一种全新的视角来看待多项式、曲线乃至更高维度的空间。它不仅仅是教授知识，更是在重塑你看待数学问题的方式。这本书的难度是毋庸置疑的，但正是这份难度，保证了其内容的深度和广度，使其成为该领域内一座难以逾越的里程碑。

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我最近完成了一次对这本书的系统性研读，感受颇深。这本书最令人赞叹的一点，在于它如何将看似分散的代数概念，通过几何的视角完美地编织在一起。它的叙事结构非常巧妙，并非简单地罗列事实，而是像构建一座宏伟的建筑，每一步的搭建都服务于最终的整体结构。我特别喜欢作者在处理范畴论和函子等工具性概念时的处理方式，它们没有沦为孤立的技巧展示，而是自然地融入到对空间形貌的描述之中。读完后，我感觉自己掌握了一套强大的语言体系，能够精确地描述那些在传统欧几里得几何中无法触及的“奇异”或“非经典”的空间。这种理解的深化，是任何初级教材都无法提供的。这本书的魅力就在于它的严密性与深刻的洞察力并存，它让你在敬畏其复杂性的同时，又对其内在的美丽结构感到由衷的折服。

评分☆☆☆☆☆

《代数几何》这本书的标题本身就散发着一股深邃而迷人的气息，对于任何一个热衷于数学美感和逻辑严密性的读者来说，都充满了诱惑。我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时我正在探索数学的边界，试图理解那些超越了日常直觉的抽象概念。这本书的装帧设计简约而不失格调，厚实的纸张和清晰的排版预示着其中内容的重量。我花了大量时间沉浸在其中，试图去捕捉那些隐藏在符号和公式背后的几何直观。每一次翻阅，都像是在攀登一座数学的高峰，每一点微小的进展都伴随着巨大的成就感。这本书无疑需要读者具备扎实的代数基础，但它所引导的思维路径却是无与伦比的。它不仅仅是一本教科书，更像是一场智力上的冒险，迫使你重新审视你对空间、结构和变换的理解。我尤其欣赏作者在引入复杂概念时所展现出的耐心和清晰度，尽管内容本身极具挑战性，但引导的步骤却如同精心编排的舞蹈，流畅而富有节奏感。这本书的价值在于它拓展了读者的思维疆域，让我得以窥见数学世界中那些宏伟而精妙的构造。

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这本的习题不知为什么很糟糕，感觉不太值得一做

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关于base change的强调和fibre product的介绍从52之外收获真是颇大。

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这本的习题不知为什么很糟糕，感觉不太值得一做

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这本的习题不知为什么很糟糕，感觉不太值得一做