具体描述
《现代数学基础》是高等教育工科数学系列教材之一，是一本基础性的现代数学教材，重点介绍与科学技术密切相关的一些重要的现代数学与应用数学的分支的基本概念和方法。全书分七篇：第一篇 实变函数；第二篇 一般拓扑学；第三篇 泛函分析；第四篇 抽象代数；第五篇人工神经网络；第六篇小波变换；第七篇分形理论及其应用。前四篇介绍了现代数学的经典内容，后三篇介绍了与现代科技密切相关的一些现代应用数学内容及其在工程中的应用实例，以帮助读者更好地理解和掌握相关内容。
《现代数学基础》各篇可独立作为高校理工科类的高年级本科生和研究生的现代数学同名课程的教材或参考书，也可将各篇综合使用作为现代数学系统教材。《现代数学基础》还可供科研工作者参考使用。
《空间几何：解析与直观的融合》 图书简介 《空间几何：解析与直观的融合》是一部旨在全面梳理和深入探讨二维及三维空间几何学的专著。本书突破了传统教科书中将解析几何与立体几何割裂教授的局限，力求在严谨的代数运算与丰富的几何直观之间架设坚实的桥梁，引导读者以一种更为统一和深刻的视角理解空间结构。 全书共分为六大部分，内容覆盖了从基础的向量代数到高级的微分几何初步概念，强调理论的内在联系和实际应用中的可视化能力培养。 第一部分：基础代数与向量空间 本部分为全书的理论基石。我们从最基本的点、线、面的概念出发，引入向量作为描述空间中位移和力的数学工具。详细阐述了向量的线性运算、内积（点积）和外积（叉积）的几何意义及其计算方法。特别强调了通过向量表示点、线、面方程的系统性方法。 核心内容包括： 向量的线性相关性与基，向量空间的基础概念，二维（$mathbb{R}^2$）和三维（$mathbb{R}^3$）坐标系的选择与变换（包括旋转和投影的矩阵表示）。 侧重点： 确保读者对向量外积在确定平面法向量和计算面积中的关键作用有深刻理解，这是后续所有解析几何计算的起点。 第二部分：直线、平面与二次曲面基础 本部分将向量知识应用于欧几里得空间中的基本几何实体。我们系统地推导了空间中直线（参数方程、点向式、对称式）和平面（法向量式、一般式）的各种表示形式，并着重讲解了它们之间的相对位置关系（平行、相交、垂直）的判断准则。 直线与平面的关系： 详细分析了线面角、二面角、点到平面距离的向量投影计算。 二次曲面入门： 引入二次曲面的标准形式，如椭球面、双曲面、抛物面等。通过配方法将一般二次方程转化为标准形式，并结合截面分析法，帮助读者在脑海中构建出这些复杂曲面的三维图像。对二次曲面的主轴和顶点进行详尽讨论。 第三部分：坐标变换与几何不变性 几何的本质在于研究在特定变换下保持不变的性质。本部分聚焦于坐标系的选择对描述带来的影响，以及如何通过坐标变换来简化方程、揭示几何本质。 正交变换与刚体运动： 探讨旋转矩阵的性质，理解刚体运动（平移与旋转）如何用正交矩阵表示。 二次型与主轴定理： 这是连接解析几何与线性代数（特征值/特征向量）的关键章节。详细讲解了如何利用特征值分解来对二次曲面进行“去耦”，即找到一组最优的坐标轴（主轴），使得二次曲面方程在新的坐标系下达到最简形式。这极大地深化了对椭圆、抛物线等二次曲线/曲面本质的理解。 第四部分：曲线的微分几何初步 从描述静态的几何形状转向描述运动和变化。本部分引入了参数曲线的概念，并利用微积分工具来分析曲线的局部性质。 参数曲线的性质： 速度、加速度向量的几何意义，切线、法平面。 曲率与挠率： 引入自然参数化（弧长参数化），系统推导了平面曲线的曲率公式和空间曲线的挠率公式。曲率衡量曲线弯曲的程度，挠率则描述了曲线偏离其主切面的趋势。我们通过大量的实例演示如何利用曲率和挠率来精确描述空间中路径的“弯曲度”。 第五部分：曲面的微分几何基础 将微分几何的概念扩展到曲面。本部分是连接传统微积分与现代几何学的桥梁。 曲面的参数化描述： 探讨如何用两个参数来描述一个曲面，例如球面和圆柱面。 第一、第二基本形式： 详细解释了第一基本形式与测地线、面积元的关系，以及第二基本形式如何刻画曲面的局部弯曲程度。 主曲率与高斯曲率： 引入主曲率的概念，并推导出高斯曲率。高斯曲率是曲面内在几何特性的核心度量，它在等距变换下保持不变，是理解几何本质的关键。通过对平面的高斯曲率为零、球面的高斯曲率为正、双曲面的高斯曲率为负的分析，直观展示了不同几何空间的内在差异。 第六部分：几何应用与可视化 本部分展示了前述理论在工程、物理和计算机图形学中的实际应用，强调解析工具如何服务于直观理解。 投影与透视： 讨论中心投影和正交投影的数学模型，解释透视畸变（如消失点）的成因。 空间优化问题： 结合拉格朗日乘数法，解决带约束条件下的空间距离、面积、体积的极值问题。 实例分析： 通过对卫星轨道（近似为椭圆/双曲线）、晶体结构（利用对称群的几何表示）的分析，巩固读者的解析能力和空间想象力。 本书的特色在于其严谨的数学推导与丰富的几何图像并重，力求让读者在掌握解析工具的同时，能够清晰地“看见”空间中的几何对象及其运动变化。它不仅是理工科专业学生的必备参考书，也是对几何美学抱有浓厚兴趣的读者的理想读物。
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