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《现代几何学前沿探索》 作者： 著名数学家，多国科学院院士 约翰·哈德森 教授 领衔，汇集全球顶尖几何学家的研究成果 出版社： 环球科学文献出版社 ISBN： 978-1-23456-789-0 装帧： 精装，特种防伪纸张印刷，内附高清全彩拓扑图谱 定价： 人民币 480.00 元 --- 内容简介：跨越维度，重塑空间认知的里程碑巨著 《现代几何学前沿探索》并非一本面向初学者的入门教材，而是一部深度聚焦于二十一世纪几何学最尖端、最活跃领域的研究综述与理论构建的集大成之作。本书汇聚了全球顶尖数学家十余年来的心血结晶，旨在为高等院校教师、研究生、以及从事理论物理、计算机图形学、数据科学等相关领域研究的专业人士提供一个全面、深刻、富有启发性的知识平台。 本书结构严谨，逻辑缜密，共分七大部分，层层递进，从经典几何的深刻反思，迈向抽象代数与拓扑学的无缝对接，最终抵达高维空间与非欧几何的复杂结构解析。 第一部分：黎曼几何的内禀几何视角重构 本部分首先回顾了十九世纪黎曼几何的奠基性工作，但重点迅速转移至当代对“度量”（Metric）和“联络”（Connection）的重新理解。我们深入探讨了规范场理论（Gauge Theory）在微分几何中的应用，详细阐述了陈-西蒙斯理论（Chern-Simons Theory）的拓扑不变量性质，以及如何利用 Ricci 流（Ricci Flow）来研究空间形状的演化与稳定性的问题。特别收录了对佩雷尔曼（Perelman）几何化猜想的最新进展的独到见解，包括对“穿刺”（Surgery）技术在处理奇点时的数学细节分析。 第二部分：代数拓扑的同调理论深化 代数拓扑是连接几何形状与代数结构的桥梁。《现代几何学前沿探索》用超过两百页的篇幅，详细解析了同调代数在低维拓扑中的威力。内容涵盖了奇异同调、胞腔同调，以及更为先进的 $ ext{Eilenberg-MacLane}$ 空间理论。我们特别关注了“截面上同调”（Sheaf Cohomology）在处理局部与全局信息不一致性问题上的应用，以及它与代数几何中相交理论的微妙关系。对于 $ ext{Whitehead}$ 积和许瓦茨恒等式（Cartan-Eilenberg Identity）的推导过程，我们提供了更清晰、更易于遵循的逻辑链条。 第三部分：低维拓扑与纽结理论的计算几何 低维拓扑（三维和四维流形）是当前研究热点。《现代几何学前沿探索》详尽介绍了琼斯多项式（Jones Polynomial）的物理起源，并将其提升到更抽象的量子不变量层面。重点分析了 Khovanov 同调理论，它如何通过引入新的分级信息，极大地丰富了对纽结和链环的区分能力。此外，本书还系统地介绍了弗洛尔理论（Floer Theory）的变体，如辛拓扑中的 Gromov-Witten 理论，展示了如何利用虚拟本征解（Virtual Eigenmaps）来计算高阶不变量。 第四部分：辛几何与正则化结构 辛几何，作为经典力学的精妙几何语言，在本卷中被赋予了新的活力。我们探讨了泊松结构（Poisson Structure）与可积系统（Integrable Systems）之间的深层联系。核心内容聚焦于“辛流形上的度量问题”，特别是关于 Calabi-Yau 流形存在的必要几何条件。本书首次以专题形式，系统梳理了 $M$-理论（M-Theory）背景下，对紧致化空间（Compactified Space）的辛几何约束，为理论物理学家提供了坚实的数学工具箱。 第五部分：非交换几何的范式转变 非交换几何（Non-Commutative Geometry），由阿兰·孔涅（Alain Connes）开创，试图用“非交换的代数”来描述“空间”。本书用全新的视角审视了这一领域，从 $C^$-代数和冯·诺依曼代数出发，构建了非交换空间的谱理论。我们详述了非交换黎曼几何的构造框架，并探讨了其在描述量子引力效应和信息论中的潜在应用，尤其是在信息熵的几何化解释方面，提出了若干新的猜想。 第六部分：超几何与群论的交集 本部分关注的是具有特殊对称性的几何结构。我们深入研究了李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）在无限维空间中的推广，特别关注了仿射李代数（Affine Lie Algebras）和 Kac-Moody 代数。通过研究根系（Root Systems）和 Weyl 群，本书揭示了它们在分类共形场论（Conformal Field Theories）中的核心作用。几何学在这里退化为对对称群的深入代数结构挖掘。 第七部分：计算几何与算法几何的挑战 不同于前几部分的纯理论探讨，最后一部分聚焦于几何概念在实际计算中的挑战与机遇。讨论内容包括：高维数据的拓扑数据分析（TDA），特别是持久同调（Persistent Homology）在噪音数据筛选中的应用；以及如何利用张量网络（Tensor Networks）来模拟和计算复杂几何对象的拓扑性质。本书为解决大规模三维建模中的曲率估计问题，提供了一种基于离散微分几何的新型算法框架。 --- 本书特色与阅读建议： 1. 前沿性与权威性： 全书内容紧跟国际数学最高水准会议的最新成果，所有章节均由该细分领域的国际领军人物撰写或审校，确保了观点的深度和准确性。 2. 严谨的数学证明： 大量篇幅用于提供核心定理的完整、无删节的证明过程，尤其对涉及深刻分析的环节，给出了多套可选的证明路径，满足不同背景读者的需求。 3. 跨学科的视野： 本书并非孤立的数学专著，它与理论物理（如弦理论、量子场论）、信息科学（如编码理论、拓扑机器学习）建立了清晰的数学映射关系，为交叉研究提供了坚实的理论基础。 4. 精美的图表： 附录中收录了数十张高分辨率、经过特殊设计的拓扑结构图、流形剖面图以及抽象代数结构的示意图，极大地辅助了对高维、抽象概念的直观理解。 适合读者： 几何学、拓扑学、微分方程、理论物理学、应用数学专业的研究生、博士后及资深研究人员。非本专业但具备扎实实分析基础和线性代数背景的读者，亦可从中获得关于现代空间本质的深刻洞察。 阅读本书，您将获得对“空间”概念在现代数学中的多维、多层次的全新认知。
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mark，很好的初中题库。
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