Multivariable Calculus with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Peter D. Lax

出品人:

页数:483

译者:

出版时间:2018-4-16

价格:GBP 53.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9783319740720

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 教材
• Calculus
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《抽象代数及其现代应用》 本书旨在为读者提供对抽象代数核心概念的深入理解，并着重探讨其在当代科学和技术领域中的广泛应用。我们将从群论的基石开始，逐步深入到环、域以及更高级的代数结构，如向量空间和模。本书的独特之处在于，它不仅仅局限于理论的阐述，更致力于揭示抽象代数如何成为理解信息论、编码理论、密码学、计算几何以及凝聚态物理等前沿学科的强大工具。 第一部分：群论基础与应用 我们将从最基本但至关重要的代数结构——群开始。读者将学习群的定义、子群、陪集、正规子群以及同态和同构的概念。在此基础上，我们将探讨有限群的结构，特别是西罗定理及其在分类有限单群中的作用。 核心概念： 群的公理，二元运算，单位元，逆元，结合律，交换群，非交换群，阶，循环群。 子群与陪集： 子群的判定，拉格朗日定理，左陪集与右陪集。 正规子群与商群： 正规子群的性质，商群的构造，同态基本定理。 群的同态与同构： 理解不同群之间的结构关系，同构的意义。 有限群的结构： 群的表示，西罗定理，有限单群的分类（概述）。 应用： 对称性分析： 在化学、物理学（如晶体学）中，群论是描述和分析对称性的标准语言。例如，分子振动模式的分类，晶体结构的对称性群。 组合数学： 置换群在计数问题中的应用，如Burnside引理和Polya计数定理，用于解决具有对称性的计数问题。 密码学： 有限域上的离散对数问题是许多现代公钥密码系统的基础，而这些问题本质上属于群论的研究范畴。 第二部分：环论与域论 在掌握了群论的基础上，我们将进入环和域的世界。环是具有两个二元运算（加法和乘法）的代数结构，而域则是其中乘法运算具有良好性质的特殊环。我们将深入研究环的同态、理想、主理想环、唯一分解整环（UFD）和主理想整环（PID）。域的理论将涵盖代数扩张、有限域以及伽罗瓦理论的基本思想。 核心概念： 环的公理，加法群，乘法半群，交换环，单位环，零因子，整环，域。 理想与商环： 理想的定义与性质，左理想，右理想，双边理想，商环的构造。 环的同态与同构： 环同态基本定理。 特殊类型的环： 主理想整环（PID），唯一分解整环（UFD），欧几里得整环。 域的扩张： 代数扩张，超越扩张，正规扩张。 有限域： 有限域的构造，有限域的分类。 伽罗瓦理论入门： 伽罗瓦群，域扩张与伽罗瓦群之间的对应关系。 应用： 编码理论： 有限域是构建纠错码（如 BCH 码、Reed-Solomon 码）的基础。这些码在数据存储、通信和卫星传输中至关重要。 代数几何： 环论，特别是多项式环和理想的理论，是代数几何学的核心。曲线、曲面等几何对象的性质可以通过研究与之相关的环的代数性质来理解。 数论： 代数数域的理论是代数数论的基础，研究丢番图方程等问题。 第三部分：向量空间与线性代数 虽然线性代数通常被视为一门独立的学科，但它与抽象代数有着深刻的联系，特别是向量空间可以看作是域上的模。我们将回顾向量空间的定义、子空间、线性无关、基、维数以及线性变换。此外，我们将探讨特征值、特征向量、对角化以及内积空间的概念，并强调这些概念在各种应用中的重要性。 核心概念： 向量空间的定义，子空间，线性组合，生成集，线性无关，基，维数。 线性变换： 线性映射的性质，核与像，矩阵表示。 特征值与特征向量： 特征多项式，对角化。 内积空间： 范数，正交性，施密特正交化。 应用： 数据科学与机器学习： 主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等降维技术，本质上依赖于线性代数的原理，用于处理高维数据。 信号处理： 傅里叶变换，小波变换等都与向量空间的分解和线性变换紧密相关。 数值分析： 求解线性方程组，矩阵分解等算法是数值计算的基础。 量子力学： 量子态可以用希尔伯特空间中的向量表示，算符的性质与线性代数中的线性变换和特征值密切相关。 第四部分：进阶主题与现代应用 我们将介绍一些更高级的代数概念，并进一步探讨其在各个领域的最新应用。这可能包括模理论、同调代数的基本思想，以及在计算机科学和物理学中的具体案例。 模论初步： 向量空间的推广，模的定义和基本性质。 同调代数简介： 链复形，同调群，在代数拓扑和代数几何中的应用。 计算代数几何： Gröbner 基及其在多项式方程组求解中的应用。 应用： 计算机科学： 形式语言理论，自动机理论，以及某些算法的设计都可能借鉴代数结构。 密码学（再次强调）： 椭圆曲线密码学，基于格的密码学等前沿领域，其安全性依赖于深刻的代数结构（如有限域上的椭圆曲线群，或格的代数性质）。 凝聚态物理： 晶格模型，拓扑相，以及描述量子纠缠的代数结构。 本书旨在培养读者分析和解决问题的能力，使他们能够将抽象的数学概念转化为实际的科学和技术解决方案。通过理论讲解与实例分析相结合的方式，读者将不仅掌握抽象代数的工具，更能体会到其强大的生命力和广泛的适用性。

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在使用这本书进行实际问题求解的过程中，我深刻感受到了它在“应用”这一维度上的深厚底蕴。它不仅仅是一本纯粹的理论手册，更像是一本实战指南。书中所选取的应用实例，涵盖了物理学中的电磁场分布、工程学中的结构优化，乃至经济学中的边际分析等多个领域。这些案例的选取既具有代表性，又足够复杂，能够真正考验读者对所学知识的掌握程度。最让我印象深刻的是，在处理完一个关于流体力学中散度与旋度的计算题后，作者并没有立即给出标准答案，而是详细解析了物理意义层面的解释，这才是真正的高级数学教育——教会你“为什么”，而不仅仅是“怎么算”。这种对应用背景的深度挖掘，使得抽象的数学工具真正融入了解决现实世界问题的体系之中，极大地提升了学习的成就感和实用价值。

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我花了整整一个周末的时间来浏览这本书的目录结构，不得不说，作者在章节的逻辑组织上展现了高超的驾驭能力。它并非简单地堆砌知识点，而是构建了一个层层递进、水到渠成的学习路径。从基础的多变量函数概念出发，稳步过渡到偏导数和梯度，随后自然地引入了多重积分的概念，每一步的衔接都显得那么顺理成章，仿佛是在引导读者沿着一条早已规划好的、通往真理的阶梯向上攀登。特别值得一提的是，书中对一些关键理论的引入并非突兀，而是通过引入实际生活中的问题场景作为引子，使得原本枯燥的数学推导过程，瞬间变得有血有肉，让人愿意主动去探究背后的数学原理。这种教学法，极大地降低了初学者面对高维空间时产生的畏惧感。它不是把知识砸在你脸上，而是像一位耐心的导师，一步步拉着你的手，带你穿越数学迷宫，这种循序渐进的编排，对于自学者而言，其价值简直无可估量。

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这本书在数学严谨性上的要求是毋庸置疑的，但真正令我称赞的是，它在保持理论深度和清晰度之间找到了一个近乎完美的平衡点。许多同类教材往往要么过于侧重证明的完备性，导致文字描述晦涩难懂，让人望而却步；要么为了追求易读性而牺牲了必要的严谨性，使得概念的边界模糊不清。然而，这本书巧妙地规避了这两个极端。它在证明核心定理时，步骤清晰，逻辑链条完整，没有跳跃性的步骤；但在辅助性解释中，它又大量运用直觉性的语言和类比，确保读者能够在大脑中构建起相应的几何图像。这种“两手抓，两手都要硬”的处理方式，使得我在面对期末考试的证明题时信心倍增，同时也保证了我在面对前沿研究时，能够理解其基础数学模型的构建逻辑。这表明编著者对目标读者的学习曲线有着深刻的洞察力。

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从纯粹的阅读体验来看，这本书的习题设置绝对是其最大的亮点之一，它体现了一种高水平的教学设计理念。习题的难度分布极其合理，从基础的计算巩固，到中等难度的技巧应用，再到挑战思维极限的综合大题，构成了一个完整的训练阶梯。更重要的是，它不仅仅是重复运用公式，很多题目设计成了需要多步骤融合才能解决的综合性问题，迫使你必须将梯度、方向导数、线积分和曲面积分等不同章节的概念串联起来。我个人尤其喜欢那些需要自己动手构建模型或进行参数设定的开放式问题，它们有效地训练了我的批判性思维和问题建模能力。尽管答案通常不会详细给出每一步的推导过程，但书后提供的关键结果足以让我核对计算的准确性。可以说，这本书的习题集本身，就是一本极佳的、独立的高阶练习册，是真正检验和巩固知识的试金石。

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这本书的封面设计着实让人眼前一亮，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色字体，散发出一种严谨又不失现代感的学者气息。拿到手里掂量了一下，分量十足，这预示着内容必然是扎实而全面的。内页的纸张质量也相当不错，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到过于疲劳。装帧的工艺一看就是下过功夫的，书脊的粘合非常牢固，即便是频繁翻阅也不会担心散架。更值得称赞的是，这本书的排版布局极为清晰，图文的搭配恰到好处，每一个定理的阐述都用粗体或斜体清晰地标识出来，这对于我这种需要反复查阅公式和定义的读者来说，简直是福音。而且，书中引用的插图和图形，无论是三维空间的描绘还是向量场的示意图，都清晰锐利，极大地帮助了对抽象概念的直观理解。整体来看，这本书在物理层面上就给予了读者一种“这是本靠谱的参考书”的强烈暗示，从细节处体现了出版方的专业态度，让人对即将展开的学术探索充满了期待和信心。

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