An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Pubns

作者:Oden, J. T./ Reddy, J. N.

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:

价格:193.00 元

装帧:Pap

isbn号码:9780486462998

丛书系列:

图书标签:

• 有限元方法
• 数值分析
• 数学建模
• 偏微分方程
• 计算数学
• 工程数学
• 应用数学
• 结构力学
• 数值计算
• 高等教育

图书简介：有限元法的数学基础与应用概览 书名： An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements 本书主题： 本书聚焦于数值分析领域的核心工具——有限元方法（Finite Element Method, FEM）的数学理论基础、严谨的推导过程以及其在实际工程和科学问题中的应用框架。它旨在为读者提供一个坚实的理论基石，使其能够深入理解有限元方法的内在机制，并熟练地构建和分析求解偏微分方程（PDEs）的数值方案。 --- 第一部分：问题的背景与理论基石（The Foundation） 本书伊始，首先对工程和物理学中广泛存在的偏微分方程（PDEs）进行了系统的回顾与分类。我们关注的是定常和瞬态问题，特别是涉及椭圆型、抛物型和双曲型方程的经典例子，如拉普拉斯方程、泊松方程、热传导方程和波动方程。作者强调了这些连续介质问题的数学本质——它们通常表现为边界值问题或初边值问题，其精确解的获取往往依赖于复杂的分析技术或根本不可求得。 在此背景下，本书引入了变分原理作为离散化的桥梁。详细阐述了广义的弱形式（Weak Formulation），特别是通过索伯列夫空间（Sobolev Spaces）的视角来定义函数空间的适当性。本书深入探讨了Sobolev空间（$W^{k,p}$和$H^k = W^{k,2}$）的定义、嵌入定理（如索伯列夫嵌入定理）以及迹（Trace）的概念。理解这些空间对于确保弱解的存在性、唯一性和正则性至关重要。 变分问题的数学框架是本书的核心理论支柱。通过对如狄利克雷能量泛函的最小化，建立了形式上统一的框架，即求解如下结构的问题：找到一个函数 $u$ 使得对于所有“合适的”测试函数 $v$，满足一个双线性形式 $a(u, v)$ 与一个线性泛函 $L(v)$ 之间的关系。 第二部分：离散化——有限元空间（Discretization and Finite Element Spaces） 理论准备就绪后，本书进入有限元方法的核心步骤：空间离散化。 网格剖分（Meshing）的几何学被详细考察。从一维（区间划分）到二维（三角形和四边形网格）再到三维（四面体和六面体网格），本书探讨了网格的质量、形状正则性（Shape Regularity）以及非畸变性（Non-Delaunay/Delaunay Triangulations）的概念，这些对后续的误差估计至关重要。 有限维逼近子空间的构建是本阶段的重点。本书系统地介绍了分片多项式空间 $V_h$ 的构造： 1. 有限元（The Finite Element）定义： 严格定义了一个有限元单元（Element）——由一个几何单元、一组基函数（Shape Functions）和一个节点（Nodal）集合构成。 2. 基函数的构建： 详细推导了标准单元（如在 $[-1, 1]$ 上的区间、标准三角形或四面体）上的拉格朗日插值基函数（Lagrange Basis Functions），并讨论了P-逼近（固定节点数，增加多项式次数）和H-逼近（固定多项式次数，加密网格）的差异。 3. 全局有限元空间的构造： 讨论了如何通过网格的粘合（Assembly）过程，从局部基函数构建出全局的、满足特定连续性要求的有限元空间 $V_h$（通常是 $C^0$ 连续）。 第三部分：离散化误差分析（Error Analysis） 本书的价值在于其对有限元方案的收敛性与精度的严格数学证明。 最优插值误差估计： 首先，分析了有限元空间 $V_h$ 中的近似解 $u_h$ 对真实解 $u$ 的插值误差。这依赖于Strang-Fix 定理的基本思想，涉及到全局误差的上界估计，通常表示为 $|u - u_h|_{H^k} leq C h^p |u|_{H^{p+k}}$，其中 $h$ 是网格尺寸的度量，$p$ 是多项式次数。 Cea 引理与先验估计： 随后，引入了著名的 Cea 引理，它将求解问题的近似误差直接与空间 $V_h$ 内部的最小残余误差联系起来。Cea 引理为后续的误差分析提供了关键的上界估计工具。 后验误差估计的初步讨论： 本书也展望性地介绍了现代有限元分析中至关重要的概念——残差估计（Residual-based Error Estimation），尽管更深入的自适应方法可能在后续的高级读物中详述。 正则性对精度的影响： 深入探讨了真实解 $u$ 的正则性（Regularity）如何直接决定了有限元方法的收敛阶数。对于高正则性（例如，在光滑域上的椭圆方程，解具有 $H^2$ 或更高阶的光滑性），可以实现更高的收敛精度。 第四部分：实际实施与装配（Implementation and Assembly） 理论分析之后，本书转向了有限元方法的数值实现。 矩阵的构建： 重点阐述了如何将连续的弱形式转化为离散的线性代数方程组 $A u_h = F$。 1. 刚度矩阵（Stiffness Matrix）的计算： 详细展示了如何通过双线性形式 $a(u_h, v)$ 在基函数上的积分，构建出系统的刚度矩阵 $A$。书中会展示如何利用数值积分（Quadrature Rules），如高斯求积（Gaussian Quadrature），来近似这些在局部单元上计算的积分。 2. 载荷向量（Load Vector）的计算： 同样，线性泛函 $L(v)$ 被转化为载荷向量 $F$ 的计算，也通常需要数值积分。 装配过程（Assembly）： 描述了将所有局部单元的贡献（局部矩阵和向量）根据节点编号，通过稀疏矩阵技术高效地集成到全局矩阵 $A$ 和向量 $F$ 中的算法过程。 边界条件的施加： 对Dirichlet边界条件和Neumann边界条件的数学处理方式进行了严格区分。Dirichlet条件通常通过修改矩阵的行和列来施加（如通过惩罚法或直接修改），而Neumann条件则自然地体现在线性泛函 $L(v)$ 的计算中。 总结与展望 本书不是一本侧重于具体软件操作的手册，而是一本侧重于“为什么”和“如何证明”的理论专著。它为读者提供了理解有限元方法在数值计算中稳定性和准确性的数学语言和工具。通过对变分理论、函数空间、插值理论和误差估计的深入探讨，本书培养了读者批判性地评估任何新颖有限元方案的能力，是进入计算固体力学、流体力学（CFD）和电磁学数值模拟等前沿领域进行深入研究的坚实起点。它为那些希望从“会用有限元软件”跃升到“能设计和分析有限元算法”的工程师和研究人员而准备。

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