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出版者:Addison-Wesley

作者:Lial, Margaret L./ Greenwell, Raymond N./ Ritchey, Nathan P.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003-6

价格:$ 189.08

装帧:HRD

isbn号码:9780321173881

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 有限数学
• MyMathLab
• 高等教育
• 大学教材
• 数学应用
• 代数
• 统计
• 微积分预备
• 问题解决

离散数学与现代计算的基石：一部深度探索理论与实践的专著 书名： 离散结构与算法基础 (Discrete Structures and Algorithmic Foundations) 面向读者： 计算机科学、软件工程、信息技术、数学及相关工程领域的本科生、研究生，以及希望深入理解计算核心原理的专业人士。 字数： 约1500字 --- 导言：超越连续性的世界 在数学的广阔疆域中，我们通常习惯于处理那些连续、平滑的量——曲线、速率、变化率，这些构成了微积分和经典分析学的核心。然而，当我们步入数字时代，面对计算机的逻辑、网络的拓扑、以及算法的精密设计时，一种全新的数学视角变得至关重要：离散数学。 《离散结构与算法基础》旨在为读者提供一个坚实而全面的基础，使他们能够理解和掌握那些支撑现代计算科学的非连续性结构、逻辑推理和精确计数方法。本书的视角迥异于那些侧重于金融数学或优化模型（如线性规划）的教材，我们聚焦于结构、关系、证明与可计算性本身。 本书的结构经过精心设计，从最基本的逻辑和集合论出发，逐步深入到图论的复杂世界，最终连接到现代密码学和计算复杂度的理论前沿。我们坚信，一个优秀的计算机科学家或数学家，必须能够熟练地使用离散工具来解析和构建复杂的系统。 第一部分：逻辑、证明与计算的基石 (The Foundation: Logic, Proof, and Computation) 本部分奠定了本书的理论基石，强调严谨的数学论证方法和命题的精确表达能力。 第一章：命题逻辑与谓词逻辑的精密语法 我们从形式逻辑开始，详细剖析命题联结词 ($land, lor, eg, o, leftrightarrow$) 的真值表及其在布尔代数中的应用。重点将放在如何将自然语言中的模糊表述转化为精确的逻辑公式，以及如何利用重言式、矛盾式和可满足性来分析论证的有效性。 第二章深入到谓词逻辑 (Predicate Logic)，引入量词 ($forall, exists$)，这是描述对象属性和关系的关键工具。我们将探讨如何将复杂的声明——例如“所有可达的网络节点都能接收到信号”——精确地符号化。同时，本章也涵盖了推理规则（如分离规则、假言三段论）和归谬法在自动化定理证明中的初步应用。 第二章：集合论与关系代数：构建数字宇宙 集合论是描述数据结构的基础。本章细致阐述了集合的运算（并、交、差、幂集），以及集合的计数技巧（皮亚诺算术与集合论的联系）。 更重要的是，我们详细探讨了关系 (Relations) 的概念，包括等价关系和偏序关系。等价关系是理解数据分类（如同一文件系统中的文件组）的基础，而偏序关系（如抽象语法树中的继承关系）则是组织复杂层次结构的核心。我们将学习如何使用矩阵表示法来分析关系的性质（如自反性、对称性、传递性）。 第三章：数学归纳法与递归的威力 数学归纳法是证明关于自然数或结构属性的定理的黄金标准。本书不仅展示了基本归纳法，还深入探讨了强归纳法 (Strong Induction) 和良基归纳法 (Well-Ordering Principle)。这些工具是证明算法正确性、以及理解递归函数（如快速排序或斐波那契数列的性质）的基础。本章将结合具体的算法实例，展示如何通过归纳法严格证明循环不变量和递归函数的终止性。 第二部分：计数、组合与结构 (Counting, Combinatorics, and Structures) 如何精确地量化可能的结果？这是设计高效算法和分析概率模型前的必修课。 第四章：组合数学的艺术：排列、组合与生成函数 本章是关于“数数”的系统研究。我们将从乘法原理和加法原理出发，逐步引入排列（允许重复和不允许重复）和组合（二项式系数）。重点会放在二项式定理及其在代数展开中的应用。 随后，我们将引入更高级的技术，例如鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)——一个看似简单却极其强大的工具，常用于证明存在性问题。此外，我们将引入生成函数 (Generating Functions)，它将离散的数列问题转化为连续的代数方程求解问题，是解决复杂递推关系的有力武器。 第五章：递归关系与求解递推方程 许多算法的时间复杂度或数据结构的大小都由递归关系描述。本章专门用于系统地求解一阶和高阶的线性齐次与非齐次递归关系。我们将展示如何使用特征方程法来找到精确解，并将这些方法应用于分析二分查找、合并排序等经典算法的效率。 第三部分：图论与网络模型 (Graph Theory and Network Modeling) 图论是计算机科学中最具实践意义的分支之一，它为网络、数据结构、调度和路径规划提供了统一的数学语言。 第六章：图论基础：拓扑结构的可视化语言 本章从图的定义（有向图、无向图、加权图）开始，详细介绍了基本术语：度数、路径、连通分量、子图和同构。我们将使用邻接矩阵和邻接表来探讨图的多种表示方式及其在内存和计算效率上的权衡。 第七章：图的遍历与连通性算法 本章的核心是探索如何在图中有效移动。我们将深入讲解深度优先搜索 (DFS) 和广度优先搜索 (BFS) 算法的原理、实现细节及其在求解连通分量、拓扑排序和查找简单路径中的应用。拓扑排序对于项目依赖关系管理（如编译器依赖分析）至关重要。 第八章：最短路径、最小生成树与网络流 本章侧重于图论在优化问题中的应用。我们将详尽分析经典的路径寻找算法：迪杰斯特拉算法 (Dijkstra's Algorithm) 和 弗洛伊德-沃沙尔算法 (Floyd-Warshall Algorithm)，以及它们在处理负权边时的限制。 随后，我们将探索最小生成树 (MST) 的构建，对比普里姆算法 (Prim's) 和克鲁斯卡尔算法 (Kruskal's)，理解它们在构建成本最低网络时的差异。最后，本章将引入网络流 (Network Flow) 的概念，并介绍最大流最小割定理的基本思想，这对于资源分配和容量限制分析极为关键。 第四部分：代数结构与应用 (Algebraic Structures and Applications) 本部分将视角提升到抽象结构层面，探讨那些具有良好运算规则的数学系统。 第九章：代数结构初探：群、环与域的特性 我们聚焦于群论 (Group Theory)，这是描述对称性和变换的基础。我们将详细定义群的公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并分析子群、陪集和拉格朗日定理。群论在密码学（如有限域上的运算）和编码理论中扮演着核心角色。 本章也将简要介绍环和域的概念，为读者理解更高级的抽象代数和现代密码学（如椭圆曲线加密）打下基础。 第十章：布尔代数与逻辑电路设计 本书的收官部分将逻辑系统与工程实践紧密结合。布尔代数作为离散数学的另一个重要基石，是理解数字电路的理论语言。我们将学习如何使用德摩根定律和吸收律等工具来简化布尔表达式，并介绍卡诺图 (Karnaugh Maps)，用于优化逻辑门的数量，从而设计出更高效、更低功耗的数字电路。 结语：通往计算思维的桥梁 《离散结构与算法基础》不仅仅是一本数学工具书，它更是一本关于精确思维的指南。通过对逻辑、结构和关系的深刻理解，读者将能够超越表面的编程语法，掌握驱动所有计算系统的深层原理。掌握这些离散数学的知识，意味着获得了分析复杂问题、构建健壮算法和设计创新系统的能力。本书致力于为读者建立一座坚实的桥梁，从基础数学概念直接通往高阶的理论计算机科学与工程实践。

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