Calculus with Complex Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Reade, John B.

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:2003-3

价格:$ 44.01

装帧:Pap

isbn号码:9780415308472

丛书系列:

图书标签:

• math
• 微积分
• 复变函数
• 数学分析
• 高等数学
• 工程数学
• 理工科
• 大学教材
• Calculus
• Complex Numbers
• 数学

超越无界：现代代数与结构探索 书籍名称：超越无界：现代代数与结构探索 (Boundless Horizons: Explorations in Modern Algebra and Structure) 内容提要： 《超越无界：现代代数与结构探索》是一本旨在为高等数学学习者和研究人员提供坚实理论基础与深刻洞察力的专著。本书的核心聚焦于抽象代数——这一数学分支中关于结构、对称性与变换的精妙艺术。我们致力于构建一个清晰、严谨且富有启发性的学习路径，引导读者从基础集合论概念出发，逐步深入到群论、环论、域论乃至更高级的伽罗瓦理论的广阔领域。 本书的叙事结构精心设计，力求在保持数学严谨性的同时，最大限度地激发读者的直觉理解与探索欲望。我们避免陷入纯粹的技巧堆砌，而是将重点放在概念的起源、内在联系以及它们在数学与其他科学领域中的应用潜力上。 第一部分：基础结构的奠基石 (Foundations of Algebraic Structures) 本部分从集合论的视角回顾了关系、函数与构造的重要性，为后续的抽象化过程打下坚实的基础。 第一章：从集合到代数结构预备。 详细讨论了二元运算的封闭性、结合律、分配律等基本性质。引入了同余关系、商集（Factor Sets）的构造方法，这些是理解同构、同态的先决条件。我们特别关注了离散结构中的基本单元，例如半群（Semigroups）和独异点（Monoids），并探讨了它们在计算机科学和形式语言理论中的初步应用。 第二章：群论的宏伟殿堂 (The Grand Architecture of Group Theory)。 群（Groups）是本书的第一个核心支柱。我们不仅定义了群的公理，更深入剖析了子群、陪集（Cosets）和拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的深刻含义。书中花费大量篇幅讨论了循环群、二面体群（Dihedral Groups）以及一般线性群（General Linear Groups）的构造和性质。 接下来的章节重点阐述了群作用（Group Actions）的概念，这为理解对称性提供了动态视角。我们通过戴尔（Dihedral）和点群（Point Groups）的实例，展示了群论如何精确描述物理和化学中的对称操作。Sylow定理作为群论中的巅峰成果，将得到详尽、清晰的证明，并辅以大量结构分析的范例，帮助读者掌握如何利用这些定理来分解有限群的结构。 第二部分：环与域的拓扑延伸 (Rings and Fields: Extending the Topological View) 在掌握了群论的对称性框架后，本书将视野扩展到包含两种运算的代数系统——环（Rings）。 第三章：环论的构建与分解 (Construction and Decomposition in Ring Theory)。 环的定义及其作为“加法群，带有乘法运算”的本质被清晰阐述。本书侧重于理解理想（Ideals）的概念，将其视为环中的“正规子群”的推广。通过对左、右、双边理想的区分，读者将理解商环（Quotient Rings）是如何构造的。我们详细考察了整环（Integral Domains）和分式域（Fields of Fractions）的构建过程，为理解域的代数性质做好准备。 第四章：特殊环类的精细分析。 本章深入研究了几个关键的环的类别：主理想域（Principal Ideal Domains, PIDs）、唯一分解域（Unique Factorization Domains, UFDs）以及诺特环（Noetherian Rings）。通过对欧几里得整环（Euclidean Domains）的经典例子（如$mathbb{Z}$和多项式环$F[x]$）的分析，我们将展示如何利用这些结构性质来设计算法和进行素性判定。特别地，我们将探讨Noetherian和Artinian结构理论，揭示环分解的深层机制。 第三部分：域理论与伽罗瓦的遗产 (Field Theory and the Legacy of Galois) 本部分是本书抽象层次的顶峰，它将代数结构与方程的求解问题紧密联系起来。 第五章：域的扩张与构造 (Field Extensions and Constructions)。 域（Fields）作为除法有意义的代数结构，是研究方程解的天然舞台。本章系统介绍了域扩张的概念，包括代数扩张和超越扩张。我们详尽阐述了最小多项式（Minimal Polynomials）的构造及其重要性，并引入了塔定理（Tower Law）来计算扩张次数。 第六章：伽罗瓦理论的精髓 (The Essence of Galois Theory)。 伽罗瓦理论将域扩张的代数问题与群论中的伽罗瓦群（Galois Group）联系起来，实现了深刻的统一。本书将以一种直观且严谨的方式，介绍伽罗瓦群的定义、性质以及其在判断多项式是否可被根式求解中的决定性作用。我们将详细讨论可解群（Solvable Groups）与多项式可解性的关系，并提供对五次及以上方程不可解性的现代代数证明。 拓展与应用： 本书的最后一部分超越了基础理论，探讨了现代代数在更广阔领域中的应用： 拓扑与代数交汇点： 简要介绍同调代数（Homological Algebra）的初步概念，展示代数结构如何用于研究拓扑空间的“洞”。 编码理论中的应用： 探讨有限域（Galois Fields）在构造纠错码（如Reed-Solomon码）中的核心作用，展示代数抽象如何直接服务于信息安全和传输。 几何中的对称性： 讨论代数群（Algebraic Groups）的概念，连接了李代数（Lie Algebras）与微分几何的桥梁。 目标读者： 本书适合数学、物理、计算机科学以及工程领域的高年级本科生、研究生，以及希望系统回顾和深化抽象代数知识的研究人员。对读者预期的数学背景要求包括：扎实的微积分基础、线性代数的熟练掌握，以及对集合论和离散数学基本概念的理解。 本书特点： 1. 概念驱动的叙事： 每个定理的引入都伴随着其历史背景和解决的根本问题，而非孤立的公式展示。 2. 丰富的例题与练习： 每章末尾均包含大量分级练习，从基础验证到需要综合多重概念的难题。 3. 清晰的证明结构： 复杂的证明被分解为逻辑清晰的步骤，关键引理和中间结论被突出显示，便于学习和复习。 4. 现代视野： 强调代数结构在密码学、拓扑学和理论物理等前沿领域中的持续影响力。 《超越无界》旨在将读者从具体的计算推向抽象的洞察，使他们能够以代数的眼光审视和理解复杂的数学世界，为未来的深入研究打下坚不可摧的理论基石。

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