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出版者:Springer Verlag

作者:Zannier, Umberto (EDT)

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:34.95

装帧:Pap

isbn号码:9788876422065

丛书系列:

图书标签:

• Diophantine equations
• Arithmetic geometry
• Number theory
• Algebraic geometry
• Algebraic varieties
• Height functions
• Mordell conjecture
• Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
• Elliptic curves
• Modular forms

数论中的几何之舞：一部深入费马大定理与椭圆曲线的经典之旅 书名：《数论中的几何之舞：深入费马大定理与椭圆曲线》 作者：[虚构作者姓名，例如：阿历克斯·里德（Alex Reed）] 出版社：[虚构出版社名称，例如：普林斯顿大学出版社] 页数：约 650 页 --- 简介： 本书是一部雄心勃勃的著作，旨在为严肃的数学爱好者和专业研究人员提供一座坚实的桥梁，连接抽象的代数数论与直观的几何直觉。它并非对“丢番图几何”这一特定领域的直接概述，而是着重于支撑该领域最宏伟成就的两个核心支柱：费马大定理（Fermat’s Last Theorem, FLT）的最终证明，以及椭圆曲线理论在解决古老代数方程中的核心作用。我们摒弃了对丢番图方程本身过于宽泛的分类，而是聚焦于自19世纪末以来，特别是近五十年间，数学家们如何利用现代几何工具，尤其是模空间和伽罗瓦表示，来征服那些看似无解的整数方程。 全书共分为七个部分，层层递进，力求在保持数学严谨性的同时，揭示隐藏在数字背后的深刻结构。 第一部分：基础回顾与历史脉络 本部分首先为读者建立必要的代数和几何基础。我们不会花费过多篇幅在基础的初等数论上，而是迅速转向涉及数域扩张和环论的概念。重点在于介绍代数整数的概念，以及理想在唯一分解性缺失（例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）中所扮演的关键角色。 随后，我们详细梳理了费马大定理的历史发展脉络，从欧拉、勒让德到库默尔的“理想数”思想，为后续引入模形式理论做铺垫。我们特别强调了赫尔穆特·哈斯（Helmut Hasse）在20世纪30年代提出的“局部-全局原理”的重要性，这为后续证明中的“切片”思维奠定了基础。 第二部分：椭圆曲线的代数建模 椭圆曲线在本书中占据了核心地位，它们被视为解决特定丢番图方程（如 $y^2 = x^3 + ax + b$）的自然框架。本部分严格定义了射影空间中的曲线，并推导出维尔斯特拉斯标准型。 核心内容聚焦于椭圆曲线上的群结构。通过几何上的“弦与切线法”，我们严谨地证明了有理点集构成一个阿贝尔群。随后，我们引入了J-不变量和模函数的概念，尽管尚未深入模形式，但已为理解曲线的分类（同构）提供了代数工具。本部分结束于对能斯特定理（Nagell-Lutz Theorem）的详述，用以确定曲线上挠点的性质。 第三部分：函数域与莫德尔猜想的萌芽 在深入到高难度模形式之前，我们首先探索了函数域上的类比——德利涅对黎曼猜想的证明。这部分作为对代数几何工具的预热，介绍了代数簇的概念及其上定义的阿贝尔簇（椭圆曲线）。 随后，我们转向莫德尔猜想（Mordell Conjecture，现为法尔廷斯定理）。本书不直接证明法尔廷斯定理，而是详细阐述了其背后的思想：将丢番图方程的有限解问题转化为代数簇的亏格（genus）。通过引入布里耶-韦伊配对（Weil Pairing）和阿贝尔簇的同构类，我们展示了为什么亏格大于1的曲线只可能有有限个有理点，从而间接说明了许多丢番图方程的有限解性。 第四部分：模形式的结构与伽罗瓦表示 本部分是连接代数几何与数论的“桥梁”。我们将模形式视为具有特定对称性的复函数，重点讨论$ ext{SL}_2(mathbb{Z})$作用下的模形式空间。我们详细分析了尖点（cusps）和模函数空间的结构，并阐释了拉马努金 $Delta$ 函数和爱森斯坦级数的构造。 核心进展在于伽罗瓦表示的引入。我们详细构造了椭圆曲线 $E$ 上 $n$ 阶点群 $E[n]$ 上的伽罗瓦表示 $ ho_E, n$。通过对这些表示的分析，我们揭示了模形式与椭圆曲线之间深刻的算术联系——塔尼耶里-山内定理 (Taniyama-Shimura Conjecture)的早期形式。 第五部分：费马大定理的代数重构 本部分是全书的高潮之一。我们利用第四部分的工具，将费马大定理转化为一个关于椭圆曲线存在性的命题——里贝特定理（Ribet's Theorem，或称$varepsilon$ 传染性）。 我们详细构建了弗雷曲线（Frey Curve） $E_{a,b,c}$: $y^2 = x(x-a^l)(x+b^l)$，并证明了如果费马方程 $a^l + b^l = c^l$ 存在非平凡整数解，则会产生一条具有极度“怪异”伽罗瓦表示的椭圆曲线。里贝特定理精确地证明了，如果存在这样的弗雷曲线，那么其对应的模形式将是半稳定的（semistable）但不可模化（non-modular）的。 第六部分：塔尼耶里-山内定理的现代进展 本部分将重点放在证明塔尼耶里-山内猜想（现为定理）中半稳定情况的证明，即布雷伊-科尔德维尔-维尔斯（Breuil-Conrad-Diamond-Taylor, BCDT）的工作。 我们深入探讨了如何使用Deformation Theory of Galois Representations（伽罗瓦表示的形变理论）。通过莱布里希（Ribet）和海尔戈特（Hida）的工作，我们展示了如何将模空间上的局部信息“提升”到全局的伽罗瓦表示上。核心概念包括“升模”（lifting the modularity）和“切断”（Taylor-Wiles’ patching method）的思想，尽管不求完全复现该证明的细节，但会清晰阐述其策略：证明所有必要的半稳定椭圆曲线的伽罗瓦表示都是可模化的。 第七部分：结论与展望 在最后一部分，我们将把里贝特定理（费马方程的解 $implies$ 不可模化的弗雷曲线）与布雷伊等人对塔尼耶里-山内定理的证明（所有半稳定椭圆曲线都是可模化的）相结合，从而完成费马大定理的最终证明：由于弗雷曲线是半稳定的，它必须是可模化的；但如果存在解，它又必须是不可模化的，这导致了矛盾。因此，费马方程无非零整数解。 本书最后回顾了这些工具如何应用于其他丢番图问题，例如模曲线上的有理点，并展望了对椭圆曲线上的庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）的几何类比，强调了代数几何与数论的持续深度融合。 --- 本书特色： 本书的价值在于其清晰的结构和对证明思想的深入剖析，它将费马大定理的解决过程视为现代数论发展的一个里程碑，而非孤立的成就。它侧重于几何 intuition 如何转化为严谨的代数证明，特别适合那些希望在代数几何的严谨性和古典数论的优雅之间架起桥梁的研究者。读者将在阅读过程中，体验到数学家们如何将看似不相关的领域——模函数、椭圆曲线、伽罗瓦群——整合起来，共同攻克最古老的数学难题。

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