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出版者:Thomson Learning

作者:Peterson, John C.

出品人:

页数:1568

译者:

出版时间:2003-8

价格:$ 306.17

装帧:HRD

isbn号码:9780766861893

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微积分
• 技术数学
• 工程数学
• 应用数学
• 高等数学
• 理工科
• 计算
• 公式
• 解题

《工程数学导论：理论与实践的桥梁》 内容提要 本书旨在为工程、计算机科学及物理学领域的初学者，系统地构建坚实的数学基础，并着重展示这些抽象概念在实际工程问题中的应用。我们摒弃了传统教科书中过于繁复的纯理论推导，转而采用一种直观、案例驱动的教学方法，使读者能够迅速掌握核心数学工具，并将其转化为解决现实挑战的能力。全书结构清晰，循序渐进，覆盖了从基础代数、三角函数到微积分核心概念的广阔领域，为后续学习更高级的数学分支（如微分方程、线性代数）铺平道路。 第一部分：数学基础与分析的基石 (Foundations of Mathematical Analysis) 本部分着重于确保读者对高中阶段数学知识的精确理解，并引入分析思维的初步概念。 第一章：代数与函数关系的重构 本章从数系的严格定义出发，不仅复习了有理数和无理数的性质，更深入探讨了复数的几何意义，这对于理解信号处理和电路分析至关重要。我们详细分析了多项式方程的求解技巧，特别是通过因式分解和根式公式的应用。 关键的篇幅集中于函数的概念——定义域、值域、函数的图像绘制及变换。我们引入了反函数和复合函数的严格定义，并通过大量涉及物理量之间依赖关系的实例（如速度、加速度与时间的关系）来巩固理解。最后，本章介绍了指数函数和对数函数的特性，强调了它们在描述自然增长和衰减过程中的核心作用，例如放射性衰变或复利计算。 第二章：几何、三角学与空间想象力 本章将代数与几何直观相结合。我们首先回顾了欧几里得几何的基本原理，重点放在解析几何上，包括直线、圆、抛物线、椭圆和双曲线的标准方程及其几何性质的代数表达。对圆锥曲线的讨论不仅限于其代数形式，更强调其在光学和轨道力学中的实际意义。 三角学部分超越了简单的SOH CAH TOA规则。我们详细阐述了弧度制的必要性，并严格定义了六种三角函数的周期性、奇偶性和图像特征。和差角公式、倍角公式等被置于单位圆的背景下进行推导，以增强几何直觉。最后，本章引入了正弦定理和余弦定理，并展示了它们在三维空间测量，例如测量无法直接接触的建筑物高度或距离时的应用。 第二部分：微积分核心：变化率与累积 (The Calculus Core: Rates of Change and Accumulation) 这是全书的核心，我们将“变化”这一核心物理概念，转化为严谨的数学工具。 第三章：极限：微积分的逻辑起点 本章是理解微积分概念的门槛。我们采用严谨但易于理解的方式定义极限，通过$epsilon-delta$语言的直观解释（而非苛刻的证明），帮助读者把握当变量趋近于某一点时函数行为的趋势。本章深入分析了单侧极限、无穷极限，以及渐近线的概念。我们详细讨论了函数在特定点连续性的条件，并探讨了不连续点的分类（可去、跳跃、无穷不连续）。连续性在工程模型（如传感器读数、系统稳定性）中的重要性被贯穿始终地强调。 第四章：导数：瞬间变化率的度量 导数被定义为极限的应用，即瞬时变化率。本章从平均变化率过渡到瞬时变化率，引入了导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。 我们系统地推导和应用了基本求导法则：幂法则、常数倍数法则、和差法则。接下来，重点讲解了乘积法则、商法则以及对复合函数的求导——链式法则。链式法则的推导被放在一个单独的章节详细分析，因为它在涉及多变量转换时极其关键。我们还覆盖了三角函数、指数函数和对数函数的导数。 本章的高潮是对隐函数求导和相关变化率问题的解决。通过详细的实例，如水箱注水速率与水面上升速率之间的关系，读者能够熟练地将实际情境转化为导数方程。 第五章：导数的应用：优化与图形分析 掌握了导数工具后，本章专注于利用它来分析函数行为。 我们利用一阶导数来确定函数的单调性（递增或递减区间）和临界点。凹性分析通过二阶导数引入，帮助我们定位拐点和判断曲线的弯曲方向。 最核心的应用是最优化问题。通过寻找导数为零的点，并利用一阶或二阶导数检验来确定局部最大值和最小值。这些应用实例涵盖了：最小化材料使用量、最大化生产效率、以及在给定约束条件下寻找最优设计参数。本章还简要介绍了洛必达法则，用以处理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式极限，这是许多优化和分析问题中的常见陷阱。 第三部分：累积与积分：总量的计算 (Integration: Calculating the Whole) 如果说导数关注的是“局部”，那么积分则关注“整体的累积效应”。 第六章：定积分：面积与累积效应 本章从黎曼和的概念出发，定义了定积分作为无限逼近的矩形面积之和。我们讨论了黎曼和的局限性，并引出了定积分的几何解释——曲线下方的净面积。本章强调了积分的线性性质和比较性质。 第七章：微积分基本定理：微分与积分的连接 这是微积分理论的精髓。我们详细阐述了微积分基本定理（FTC）的两个部分：第一部分展示了积分可以被视为一个导数的反向操作，第二部分提供了计算定积分的实际方法。 通过FTC，我们系统学习不定积分（反导数）的计算，以及常用的积分技巧，包括换元积分法（u-substitution）。换元法被视为链式法则的逆向应用，在处理复杂函数积分时至关重要。我们通过物理中的位移、速度和加速度之间的关系来直观展示积分如何“累积”变化率得到总量。 第八章：积分的应用：从面积到物理量 本章将积分工具应用于更广泛的工程领域。 1. 计算面积与体积： 使用“圆盘法”和“壳层法”计算由旋转产生的固体体积，这在设计容器和机械部件时非常实用。 2. 应用到物理学： 积分计算功（力随距离的变化），以及质心（Center of Mass）的计算。 3. 平均值定理： 利用积分计算函数在某个区间上的平均值，这在统计过程控制和信号分析中具有实际价值。 全书的叙述风格注重概念的清晰阐述和步骤的完整展示，确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为什么这样做”。每章末尾均附有大量难度适中的练习题，分为“概念检验”和“应用求解”两类，以巩固理论与实践的结合。

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