Seminaire De Probabilites pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Donati-martin, Catherine (EDT)/ Emery, Michel (EDT)/ Rouault, Alain (EDT)/ Stricker, Christophe (EDT

出品人:

页数:470

译者:

出版时间:

价格:89.95

装帧:Pap

isbn号码:9783540711889

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 概率论与数理统计
• 数学
• 高等数学
• 随机过程
• Stochastic Processes
• Probability
• Mathematical Statistics
• 法国数学
• Seminaire

现代数学前沿探索：概率论与数理统计的深度解析 书名：概率的几何与统计的艺术 引言：在不确定性中寻找确定性的逻辑框架 在科学研究与工程实践的广袤领域中，不确定性无处不在。从量子物理的微观世界到金融市场的宏观波动，如何量化、预测和管理这种固有的随机性，是现代科学面临的核心挑战之一。《概率的几何与统计的艺术》旨在提供一个全面而深入的视角，超越传统概率论的表面叙述，直抵其背后的数学结构与哲学意涵。本书并非对某一特定教材内容的简单复述，而是基于对概率论和数理统计核心概念的深刻理解，构建的一套更具现代视角和应用导向的知识体系。 第一部分：概率论的基石——测度论的优雅与直觉的重塑 本书的第一部分将重点围绕概率论的严格数学基础——勒贝格-斯蒂尔切斯测度论及其在概率空间构建中的作用展开。我们不满足于将概率简单地视为频率的极限，而是将其提升至公理化、结构化的高度。 第一章：从集合论到概率空间：测度的重建 本章将详细阐述 $sigma$-代数（可测集族）的构造及其必要性。我们将深入探讨波雷尔 $sigma$-代数（Borel $sigma$-algebra）在实数轴上的作用，并讨论如何利用它来定义随机现象的“事件”。随后，测度（Measure）的概念将作为概率的量化工具被引入。重点在于理解如何从一个有限可加的集合函数，通过柯尔莫哥洛夫的推广定理，构造出完全可加的概率测度（Probability Measure）。特别地，我们将引入测度的拓扑性质，如正则性和完备性，这对于理解连续随机变量的积分至关重要。 第二章：随机变量的升华：函数空间中的映射 传统的随机变量定义往往过于侧重于其取值范围。本章则将其视为定义在概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 上的可测映射。我们将探讨不同类型的随机变量——离散型、连续型以及混合型——如何统一于这一框架之下。更进一步，我们将引入随机向量（Random Vectors）和随机过程（Stochastic Processes）的概念，它们不再仅仅是多个随机变量的简单组合，而是具有内在依赖结构的对象。傅立叶变换（Characteristic Functions）作为分析随机变量和检验收敛性的强有力工具将被深入剖析，包括其与概率密度的关系，以及它在解决卷积问题中的核心地位。 第三章：期望的本质：勒贝格积分与随机变量的“平均” 期望（Expectation）是概率论的核心操作。本书将严谨地从勒贝格积分的定义出发，构建出简单函数、非负可测函数，最终推广到一般可测函数的期望。我们将详细区分黎曼积分与勒贝格积分在处理奇异性、不连续点时的优势，尤其是在处理定义在复杂集合上的随机变量时。同时，条件期望（Conditional Expectation）的定义将基于测度论中的投影定理或 $L^2$ 空间中的正交投影，从而摆脱了传统定义对“细致划分”的依赖，揭示其作为信息更新机制的本质。 第二部分：极限的艺术——随机过程与收敛性的精妙展现 随机过程是描述时间演化系统的核心工具。本部分关注的是随机现象的动态特性和统计量的极限行为。 第四章：序列的命运：依概率收敛与依分布收敛的辨析 大数定律（Law of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论的“双壁”。本章将对各种收敛概念——依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、依平方可积收敛（Convergence in $L^2$）以及几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）进行细致的比较和区分，并展示它们之间的相互关系和推导路径。我们将超越经典的独立同分布（i.i.d.）假设，探讨如鞅论（Martingale Theory）背景下的强大收敛定理，例如鞅差分序列的中心极限定理。 第五章：随机游走与连续时间过程 本章聚焦于具有时间结构的随机模型。布朗运动（Brownian Motion）将作为描述连续时间随机现象的基础模型被引入，重点在于其马尔可夫性、路径的处处不可微性及其与分式微积分的联系。我们将讨论如何利用布朗运动的二次变差（Quadratic Variation）来定义随机积分（Itô Integral），这是连接概率论与随机微分方程（SDEs）的桥梁。 第三部分：数理统计的构造——从数据到推断的严谨路径 数理统计学是利用概率论来从有限样本中推断总体特征的学科。本书的统计部分强调推断的有效性和方法的严谨性。 第六章：估计理论的几何与代数 本章系统地介绍点估计（Point Estimation）的原理。我们将详细讨论估计量的优良性质，包括无偏性（Unbiasedness）、一致性（Consistency）和有效性（Efficiency）。费舍尔信息量（Fisher Information）和克拉美-劳下界（Cramér-Rao Lower Bound）将作为衡量估计器性能的内在尺度被引入。矩估计法（Method of Moments）和极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的构造过程及其渐近性质（如渐近正态性和渐近有效性）将被深入分析。 第七章：假设检验与模型选择的统计决策论 假设检验（Hypothesis Testing）被置于统计决策论的框架下进行讨论。我们将从 Neyman-Pearson 引理出发，构建最有效似然比检验（Likelihood Ratio Test）。本章还将覆盖卡方检验、t检验等常用检验方法背后的概率模型假设，并探讨 P 值在现代统计实践中的正确解读与潜在误区。模型的拟合优度检验，如 AIC 和 BIC 准则，将被置于信息论的视角下进行评价，以平衡模型的复杂性与解释力。 第八章：贝叶斯范式的回归与现代应用 本书最后将回归到贝叶斯统计（Bayesian Statistics）的现代视角。我们不再将先验（Prior）视为一种主观偏好，而是将其视为一种对未知参数空间结构的数学约束。重点在于 MCMC（Markov Chain Monte Carlo）方法，特别是 Metropolis-Hastings 算法和 Gibbs 抽样的实际应用与收敛诊断，展示如何利用计算工具来解决传统解析方法难以处理的复杂高维积分问题。 结语：概率思维的跨学科价值 《概率的几何与统计的艺术》旨在培养读者一种深刻的概率思维，使其能够识别问题中的随机结构，并利用严谨的数学工具对其进行精确建模和有效推断。本书超越了对计算技巧的罗列，聚焦于理论的深刻性、概念的统一性以及方法论的普适性，为致力于深入研究随机现象的学者和工程师提供一个坚实的理论基石。

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