The Method of Approximate Inverse pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Schuster, Thomas

出品人:

页数:198

译者:

出版时间:

价格:$ 67.74

装帧:Pap

isbn号码:9783540712268

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 矩阵计算
• 近似逆矩阵
• 迭代法
• 科学计算
• 数学
• 算法
• 线性代数
• 数值线性代数
• 优化方法

探秘未知：数值逼近与计算方法的新疆域 （图书简介——不含《The Method of Approximate Inverse》的具体内容） 本书旨在为广大读者，特别是数学、物理、工程学及计算机科学领域的专业人士和研究人员，提供一个关于现代数值分析和计算方法领域的全面而深入的概述。我们聚焦于一系列核心的计算难题，探讨如何利用精妙的数学工具和高效的算法设计来解决那些传统解析方法束手无策的复杂问题。全书结构严谨，内容涵盖从基础理论的夯实到前沿应用技术的探讨，力求在理论深度与实践可行性之间找到最佳的平衡点。 第一部分：离散化与误差的艺术 本部分首先为读者构建起数值计算的理论基石。我们详尽阐述了连续问题如何转化为可计算的离散模型，这是所有数值逼近的起点。 1. 函数逼近与插值理论的深化： 我们将超越牛顿插值和拉格朗日插值的基本形式，深入探讨了样条函数（Spline Functions）在光滑度控制和数据拟合中的关键作用。重点解析了分段三次样条（Cubic Splines）的构造原理、边界条件的设定及其在工程设计中的实际应用，例如曲线拟合和数据平滑。同时，我们还将介绍基于正交多项式（Orthogonal Polynomials）的函数逼近，如切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）在最小二乘逼近中的优越性，探讨其如何最小化全局误差。 2. 误差分析的精微之处： 离开了对误差的精确控制，任何数值计算都将是空中楼阁。本章细致区分了截断误差（Truncation Error）与舍入误差（Round-off Error）的来源、传播机制及其对最终结果稳定性的影响。我们将引入条件数（Condition Number）的概念，阐明问题本身的敏感性如何限制了任何算法的精度上限，并探讨如何通过重构问题或选择更稳定的算法来缓解病态问题。 3. 数值积分的高效策略： 介绍超越牛顿-科茨公式（Newton-Cotes）的局限性，我们转向更强大的高斯求积（Gaussian Quadrature）方法。详细推导了高斯-勒让德求积的节点和权重选择原则，解释了其远超同等节点数的牛顿-科茨方法的精度优势。此外，还将涉及奇异积分（Singular Integrals）的处理技巧，这是许多物理模型中不可避免的挑战。 第二部分：线性系统的迭代与矩阵分解 线性代数方程组是科学与工程计算的核心，本部分着重探讨求解大规模线性系统的高效算法。 4. 直接法的深入剖析： 虽然迭代法在处理超大规模稀疏矩阵时占据优势，但对于稠密矩阵和高精度要求的场合，直接法依然不可替代。我们详细分析了LU分解（LU Decomposition）的稳定性和计算成本，并探讨了Cholesky分解在正定系统中的应用。更进一步，我们将考察Householder 变换和Givens 旋转在构造正交矩阵和实现数值稳定性方面的优雅机制，特别是在最小二乘问题的求解中。 5. 迭代法的动态优化： 针对无限维或超大规模稀疏系统，迭代法是唯一的现实选择。本章系统梳理了经典的雅可比（Jacobi）和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法，并重点引入了收敛加速技术。我们将详细介绍迭代加速技术，例如SDR（Successive Displacement Relaxation）的变体，以及对这些方法的收敛性分析，包括其特征值的分布限制。 6. 稀疏矩阵存储与预处理技术： 现代计算的瓶颈往往在于内存和I/O。本节专门讨论如何高效地存储和操作稀疏矩阵，包括坐标列表（COO）、压缩行存储（CSR）和压缩列存储（CSC）格式的优劣比较。关键在于预处理技术（Preconditioning），我们将介绍不完全LU分解（ILU）和代数多重网格法（Algebraic Multigrid, AMG）作为加速迭代收敛的强大工具，它们极大地提升了大型稀疏系统求解的效率。 第三部分：微分方程的数值模拟 常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值解法是连接数学模型与物理现实的桥梁，本部分关注解的演化与稳定控制。 7. 常微分方程的积分： 我们从欧拉方法（Euler Method）出发，逐步过渡到高阶的龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，特别是经典四阶RK4的构造。重点在于理解局部截断误差的性质和全局误差的累积。此外，我们将详细分析隐式方法（如后向欧拉法）在求解刚性方程组（Stiff Equations）中的必要性，并讨论如何根据方程的特性选择合适的积分步长和方法类型。 8. 偏微分方程的离散化范式： 本章的核心是PDE的数值解法。有限差分法（Finite Difference Method, FDM）的网格划分、边界条件的离散化处理（Dirichlet, Neumann, Robin）将被详细阐述。随后，我们将引入更为灵活的有限元方法（Finite Element Method, FEM）的理论框架，包括形函数（Shape Functions）的选择、刚度矩阵（Stiffness Matrix）的组装过程，以及其在求解二维和三维稳态问题中的强大能力。对于对流占优问题，将探讨迎风格式（Upwind Schemes）和中心差分的稳定性和精度权衡。 9. 演化问题的时间推进： 针对瞬态问题（时间依赖性），我们关注解的稳定性。除了一阶显式方法，还将分析Crank-Nicolson方法等无条件稳定的隐式时间步进方案，以及它们在保持物理系统能量守恒或耗散特性方面的重要性。 第四部分：特征值问题的数值求解 特征值和特征向量在模态分析、稳定性判断和主成分分析中至关重要。 10. 特征值计算的迭代路径： 本部分聚焦于如何高效地计算大型矩阵的主导特征值。我们将深入讲解幂法（Power Iteration）及其局限性，并引入反幂法（Inverse Iteration）来定位特定区域的特征值。QR算法，作为最强大和可靠的特征值求解工具，其核心分解步骤、平移（Shifting）策略以及如何收敛到Hessenberg或Tridiagonal形式将被详尽解析，这是求解一般非对称矩阵特征值的基石。 11. 稀疏特征值问题的高级技术： 对于存储和计算成本高昂的超大型稀疏矩阵，传统的全矩阵方法不再适用。本章将重点介绍Lanczos算法及其变体Arnoldi迭代，它们通过在Krylov子空间内寻找近似解，实现了对少数几个最大或最小特征值的精确估计，是现代大规模计算物理和量子化学模拟中的核心技术。 全书内容组织上注重逻辑递进，从基础概念到复杂应用的过渡自然流畅。我们力求通过清晰的数学推导、算法伪代码的描述以及对收敛性、稳定性和计算复杂度的严格分析，帮助读者不仅掌握“如何做”，更能理解“为什么这样做是最佳选择”。本书是一份致力于提升数值计算实践能力和理论洞察力的深度指南。

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