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出版者:Addison-Wesley

作者:Dugopolski, Mark

出品人:

页数:696

译者:

出版时间:

价格:126.67

装帧:HRD

isbn号码:9780201755268

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
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• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

《高等数学基础：从代数到微积分的桥梁》 本书导读 《高等数学基础：从代数到微积分的桥梁》旨在为学生提供一个坚实、深入且直观的高等数学学习基础。我们深知，从传统的代数概念过渡到更高级的微积分思维是一个关键的飞跃，因此，本书的设计核心在于弥合这一差距，确保学习者不仅掌握计算技巧，更能理解背后的数学原理和逻辑结构。 第一部分：代数基石的巩固与深化 本书的开篇并非仅仅重复高中代数的知识点，而是对核心代数概念进行一次系统的、更具批判性的重审。我们认为，只有对代数结构有深刻的认识，才能有效应对后续的复杂函数和极限问题。 第一章：实数系统与数域的拓展 本章首先回顾了实数的完备性与拓扑性质，这对于理解极限的严谨定义至关重要。我们将深入探讨有理数和无理数的内在区别，并引入数系之间的同构与嵌入关系。重点在于理解代数结构（如域和环）的概念，而非停留在简单的运算层面。我们将通过构造性的例子展示如何从皮亚诺公理出发构建自然数，进而推广到整数、有理数和实数域。这部分为后续的函数分析奠定了严格的理论基础。 第二章：函数概念的全面解析 函数是高等数学的语言。本章超越了简单输入输出的定义，深入探讨了函数的结构性质。我们将详细分析定义域、值域、奇偶性、周期性，并引入复合函数的性质传递。特殊函数部分，我们不仅涵盖多项式和有理函数，更会详细阐述指数函数和对数函数的自然对数底 $e$ 的定义，并从连续复利模型的角度解释其重要性。三角函数部分，我们将使用单位圆与欧拉公式的视角，而非仅仅依赖直角三角形的比例，来定义和分析三角函数的周期性与和差化积的几何意义。 第三章：方程与不等式的代数求解艺术 本章专注于求解策略的系统化。对于多项式方程，我们不仅讲解因式分解和有理根定理，还将引入伽罗瓦理论的初步思想，解释为什么五次及以上方程不存在一般的代数解法，从而引出数值逼近法的必要性。不等式部分，我们强调零点分析法和区间测试法的严谨应用，并探讨涉及绝对值和分式不等式的技巧，确保解集的准确性。 第四章：序列与级数的基础 本章为微积分中的级数收敛性做铺垫。我们从数列的极限定义入手，详细区分有界、单调数列的收敛性。级数部分，我们将严格定义几何级数和调和级数，并通过对比它们的增长速度，直观地介绍积分判别法和比较判别法的直观思想，强调“无限求和”的严谨性要求。 第二部分：超越代数——解析几何与线性结构的交汇 在巩固了纯代数工具后，本书转向解析几何，展示如何将代数语言映射到几何空间中，并初步接触向量代数。 第五章：解析几何的重构：坐标系与曲线的代数表达 本章系统地回顾了二维平面上的点、线、圆，但重点在于推广到三维空间。我们详细分析圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的标准方程推导，并强调如何通过二次型判别式来识别曲线的类型。更重要的是，我们引入了参数方程的概念，展示如何用参数来描述运动轨迹，这是微积分中曲线积分和微分的先驱。 第六章：向量与空间几何初步 向量不再仅仅是位移，而是具有方向和大小的代数实体。本章介绍了二维与三维向量的加减法、标量乘法，以及至关重要的点积（内积）和叉积（外积）。点积用于分析投影和角度，而叉积则直接关联到垂直性和面积计算。通过向量，我们重新审视直线和平面的方程，理解它们在空间中的法向量的几何意义，为三维微积分中的梯度概念打下基础。 第三部分：极限的奠基——通往微积分的最后一步 本书的第三部分是至关重要的一环，它将代数工具转化为描述变化率和累积量的能力，为正式的微积分学习做好充分准备。 第七章：极限的严谨定义与性质 本章是本书的理论核心之一。我们从直观的“无限接近”过渡到 $epsilon-delta$ 语言的严谨定义。我们通过大量具体的函数例子（尤其是分段函数和含有绝对值的函数），演示如何构造和验证极限的存在性与唯一性。本章还详细分析了单侧极限、无穷极限和渐近线的概念，理解它们如何描述函数在边界行为。 第八章：连续性：函数的“不间断”特性 在掌握极限后，我们引入连续性的概念。本章将连续性定义为极限值等于函数值。我们深入探讨连续函数的代数性质，特别是介值定理和最大值最小值定理的几何直观与代数证明。理解函数在何处是连续的，对于应用微积分工具至关重要。 第九章：从代数到分析的过渡：变化率的初步探讨 本章是本书对微积分最直接的预备。我们不直接引入导数公式，而是从平均变化率和平面的割线斜率出发，自然地引出瞬时变化率的概念。通过考察抛物体运动的速度和曲线某点切线的斜率，学生将体会到“极限过程”如何将静态的代数表达转化为动态的分析工具。我们还将探讨斜率在几何上和物理上的多重含义，为下一阶段的学习提供清晰的动机和方向感。 本书特色 强调严谨性： 从第一章开始，就引入数学证明和逻辑推理，避免“想当然”的结论。 概念的结构化： 每一个新概念都建立在前面章节已证实的理论基础之上，形成一个逻辑严密的知识体系。 丰富的例题与练习： 章节末的习题难度分层，既有巩固基本计算的练习，也有引导学生思考理论深度的挑战题。 连接性设计： 刻意在代数章节中预埋微积分所需的关键概念（如 $e$ 的定义、数列极限、 $epsilon-delta$ 思想），确保学习的平滑过渡。 本书的目标读者是那些希望在进入微积分学习之前，能够以更深入、更少遗漏的方式掌握高等数学基础概念的学生群体，为他们未来的分析学和应用数学学习打下不可动摇的根基。

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