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出版者:Springer

作者:J. Norberto Pires

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:2006-11-10

价格:USD 119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387233253

丛书系列:

图书标签:

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《微观世界与宏观秩序：量子场论的几何拓扑基础》 内容简介 本书深入探讨了当代理论物理学最前沿的领域之一：量子场论（QFT）的几何拓扑基础。它旨在为具有扎实数学物理背景的读者提供一个全面、严谨且富有洞察力的视角，理解为什么现代物理学必须依赖于深刻的几何结构和拓扑概念来描述自然界的基本相互作用。全书避免了标准教科书中侧重于微扰计算和具体模型的叙事路径，而是将重点放在重整化群的底层几何意义、规范场论的同调结构，以及高维超对称理论中的共形场论（CFT）与奇异几何的交汇点。 本书的结构围绕三个核心支柱展开：拓扑量子场论（TQFT）、非阿贝尔规范理论的几何化，以及量子引力理论中的背景独立性挑战。 --- 第一部分：拓扑场论的数学结构与物理图像 第一部分奠定了理解拓扑性质在量子场论中扮演角色的基础。我们从Witten的洞察出发，探讨拓扑场论如何作为连接低维拓扑学和高维物理学的桥梁。 第一章：拓扑不变量与路径积分的规范 本章首先回顾了标准量子场论中的路径积分表述及其在解析延拓中遇到的困难。随后，引入了Chern-Simons理论作为理解TQFT的最简单非平凡例子。重点讨论了如何通过选择恰当的度规无关的拉格朗日量，使得积分结果仅依赖于流形本身的拓扑结构（如亏格和连通分支数），而非局部度规的细节。我们详尽推导了Jones多项式在三维Chern-Simons理论中作为威尔逊环（Wilson Loop）期望值的具体关联，揭示了经典拓扑不变量在量子场论中的重生。 第二章：莫雷定理与局部上同调 深入研究TQFT的代数框架。本章聚焦于莫雷（Atiyah）的公理系统，将TQFT定义为范畴之间的函子，特别是从（d-1）维拓扑流形的特定范畴到（d维玻恩纳-盖尔曼）向量空间之间的映射。我们详细分析了Cech上同调与De Rham上同调在经典场论中的作用，并将其推广到量子层次。特别讨论了如何使用奇异上同调来处理非平滑或具有奇异点的流形上的场论，这对于理解相变界面和真空简并至关重要。 第三章：非微扰效应与世界面（Worldsheet）的拓扑 本章将视角转向了弦理论的背景，探讨二维共形场论（CFT）作为更高维理论的边界理论或有效理论。我们分析了拓扑弦论中A模型和B模型的结构差异，并使用格罗莫夫-威滕（Gromov-Witten）不变量来量化这些理论中对复杂几何（如卡拉比-丘流形）的依赖性。强调了CFT中模空间的几何如何决定了理论的非微扰物理，例如在边界上的反限制（AdS/CFT对偶中的边界条件）。 --- 第二部分：规范场论的几何化与规范群的代数结构 第二部分专注于将电磁场、弱核力和强核力所描述的规范场，提升到纯粹的微分几何框架中进行分析。 第四章：纤维丛、联络与杨-米尔斯作用量 本章是对杨-米尔斯理论的严格几何重构。我们将规范场视为主纤维丛上的联络（Connection），规范变换则对应于丛的自同构群作用。详细分析了曲率（Curvature）的几何定义，并证明了杨-米尔斯作用量是曲率的二次形式，在规范变换下具有特定的协变性。讨论了规范群（Gauge Group）的结构（如SU(N)的李代数结构）如何内嵌于纤维丛的结构群中。 第五章：霍普夫纤维丛与瞬子（Instanton）的拓扑荷 深入研究具有非平凡拓扑的规范场配置。我们使用霍普夫纤维丛（Hopf Fibration）作为理解三维空间中电磁场（或SU(2)场）如何产生拓扑荷的经典模型。核心在于贝里相位（Berry Phase）的几何解释以及瞬子的定义。通过牛顿-辛（Newton-Singer）定理和Adler-Bell-Jackiw（ABJ）异常的几何起源，阐明了为什么在某些维度和规范群下，规范理论的拓扑性质会导致量子力学中的非零反常。 第六章：规范场论中的同调流与磁单极子 本章考察了规范场理论中拓扑荷的守恒量。我们将磁单极子（如迪拉克单极子或吴-杨单极子）视为在特定拓扑空间上定义的“电流”的积分。详细讨论了德拉姆定理在理解磁荷（$int F wedge F$）如何被编码在纤维丛的第二陈类中。引入了同调流的概念，用以区分具有相同作用量但不同拓扑属性的场组态。 --- 第三部分：量子引力的拓扑约束与背景独立性 第三部分探讨了当我们将几何本身视为量子场（即量子引力）时，所面临的根本性挑战，特别是背景独立性的要求。 第七章：量子引力中的度规涨落与背景无关性 本章批判性地审视了在固定背景下定义量子场论的局限性。我们引入了DeWitt公式来描述度规的微小量子涨落，并探讨了在非微扰重整化群（RG）中，物理定律如何从短距离的“微观”描述演化到长距离的“宏观”描述，而无需预设一个平坦的时空背景。核心论点是，真正的量子引力理论必须在其基本公式中体现出对坐标选择的同胚不变性。 第八章：循环量子引力与自旋网络几何 作为对背景依赖理论的替代，本章介绍了循环量子引力（LQG）的几何框架。重点分析了阿什特卡变量（Ashtekar Variables）如何将引力动力学转化为一种规范理论，其动力学由汉密顿约束和微分同胚约束决定。详细阐述了自旋网络（Spin Networks）和自旋泡沫（Spin Foams）如何对离散化的时空进行编码，并解释了如何从这些离散化的拓扑对象中恢复出经典的微分几何。 第九章：AdS/CFT与边界的拓扑约束 最后，我们将视角转向AdS/CFT对偶。虽然AdS背景本身是固定的，但对偶性要求我们理解共形场论（CFT）的拓扑结构如何精确地反映了Bulk（体）时空的几何。本章分析了Ryu-Takayanagi公式背后的几何意义——视界面积如何对应于边界上的纠缠熵。这表明即使在“有效”的量子场论中，信息和拓扑结构之间的深刻联系也是描述引力的关键。讨论了高阶修正（如Lovasz-Szegedy项）如何引入对复杂流形拓扑的依赖。 --- 总结 本书并非一本操作手册，而是对理论物理学深层结构的一次哲学与数学的探险。它坚持认为，理解物质和时空的基本规律，必须从对称性、不变量和拓扑结构这些最稳定的数学概念出发，而不是从可变的、依赖于观测者的经典场量出发。本书为有志于探索量子场论下一代理论框架的研究人员提供了必要的几何直觉和代数工具。

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