Glencoe Advanced Mathematical Concepts pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Glencoe/McGraw-Hill/ Holliday, Berchie

出品人:

页数:983

译者:

出版时间:2005-1

价格:$ 185.60

装帧:HRD

isbn号码:9780078682278

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 高级数学
• 概念
• 预微积分
• 代数
• 三角学
• 函数
• 数学分析
• 教材
• Glencoe

深入解析高等数学的基石：一本聚焦于严谨证明与深刻洞察的教材 本书旨在为已经掌握基础微积分知识的学生提供一个全面且深入的探索高级数学概念的平台。我们着重于构建坚实的理论基础，强调数学思维的严谨性，并引导读者从基础概念过渡到现代数学研究的核心领域。本书的结构经过精心设计，力求在概念介绍的清晰性与论证过程的完整性之间取得完美的平衡。 第一部分：实数系统的基础与极限的严格定义 本部分从最基础的公理化结构出发，对实数系统 $mathbb{R}$ 进行了深入的考察。我们不仅回顾了实数的完备性（Completeness Axiom）及其在构建拓扑结构中的核心地位，还详细探讨了有界性、上确界（Supremum）和下确界（Infimum）的概念。理解这些概念是后续所有微积分和分析学内容得以严谨建立的基石。 随后，我们将焦点转向极限的$epsilon-delta$ 语言的严格表述。不同于初级微积分中直观的极限描述，本书要求读者掌握使用逻辑量词（$forall, exists$）来精确定义序列收敛性、函数极限以及一致连续性。我们通过大量的范例和反例，展示如何运用这些定义来证明收敛性或不存在性。 关键主题包括： 1. 实数集的拓扑性质： 开集、闭集、紧集（Compact Sets）的定义及其重要性质（如 Heine-Borel 定理）。 2. 序列与级数收敛性： 探讨单调收敛定理、Cauchy 序列，以及比值检验、根值检验等收敛判据的严格证明。 3. 函数极限的深度剖析： 深入分析单侧极限、无穷极限，以及函数在某点连续性的 $epsilon-delta$ 证明。我们将特别关注 Weierstrass 极限定理的预备工作。 第二部分：微分学的深化与中值定理的严谨推导 在巩固了极限和连续性的基础上，本部分对微分学进行了更加严格和全面的审视。我们不再仅仅满足于导数的计算，而是将重点放在导数存在的本质、中值定理的几何和代数意义，以及高阶导数的应用上。 中值定理的证明与应用是本部分的重中之重： Rolle 定理、均值定理（Mean Value Theorem, MVT）的证明，及其在函数性质分析中的作用。 Cauchy 中值定理的引入，它是洛必达法则（L'Hôpital's Rule）严格证明的桥梁。我们将详细推导洛必达法则在不同不定型情况下的适用条件。 Taylor 定理的完整表述： 我们将考察带有拉格朗日余项和柯西余项的 Taylor 公式，并讨论其在函数近似和误差估计中的精确应用。这为理解泰勒级数的收敛性提供了必要的工具。 此外，我们探讨了导数的更高阶性质，包括Derivability vs. Continuity 的细微差别，以及单调性、极值点与导数零点之间的严格关系。 第三部分：积分理论的提升——黎曼积分的拓扑视角 本书的积分部分超越了基础微积分中对矩形求和的直观理解，深入探讨了黎曼积分的理论基础及其局限性。 核心内容围绕黎曼可积性展开： 1. 上和与下和（Upper and Lower Sums）： 严格定义黎曼上积分与黎曼下积分，并建立两者之间的关系。 2. 可积性的判定： 证明一个函数成为黎曼可积的充要条件是其不连续点的集合测度为零（即Darboux 定理的简化版讨论）。我们将分析连续函数、单调函数的可积性。 3. 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）： 本定理的两个部分都将给予详尽且严谨的证明，揭示微分与积分之间的深刻对偶关系。 为了预示后续的分析学课程，我们还会简要介绍黎曼-斯蒂尔切斯积分（Riemann-Stieltjes Integration）的概念，展示如何通过引入权重函数来扩展传统积分的适用范围。 第四部分：序列与函数的收敛性——从逐点到一致的飞跃 这是本书难度显著提升的部分，它将分析学从有限维空间扩展到函数空间，是理解泛函分析和偏微分方程的关键前奏。 一致收敛性是本章的核心： 一致收敛的定义： 与逐点收敛进行鲜明对比，深入分析一致收敛的 $epsilon-N$ 定义，并阐明其在交换极限和积分/微分操作中的重要性。 一致收敛的优良性质： 证明一致收敛序列的极限函数保持连续性，且一致收敛级数可以逐项求导或积分。我们将用反例说明逐点收敛在这些操作下是如何失效的。 Weierstrass M-Test： 专门用于判定函数项级数一致收敛性的强大工具。 函数空间初步探索： 等度连续性（Equicontinuity）： 介绍 Ascoli-Arzelà 定理的背景，理解函数族在紧集上的紧致性概念，这对于证明存在收敛子序列至关重要。 第五部分：多变量函数的微分学（进阶） 本部分将单变量的微分概念提升到 $n$ 维空间，为多元微积分打下坚实的理论基础。 1. 偏导数与方向导数： 明确区分这些概念与总微分（Total Differential）之间的联系与区别。 2. 多变量函数的链式法则： 给出清晰的、基于线性近似的链式法则的严格推导，适用于复杂的复合函数结构。 3. Hessian 矩阵与二阶偏导数： 探讨 Clairaut 定理（混合偏导数相等定理）的条件和证明。 4. 隐函数定理与反函数定理： 这是多变量微分学的核心应用。我们将用简洁的推论（而非复杂的几何直觉）来阐述这些定理的精确条件（如 Jacobian 行列式非零）及其在局部坐标变换中的应用。 通过对这些高级数学概念的系统性、循序渐进的论证和考察，本书旨在培养读者独立进行数学思考、理解复杂证明结构的能力，为未来探索更高级的拓扑学、实分析或抽象代数做好充分的准备。每一章都伴随着大量的挑战性习题，旨在巩固理论理解并激发更深层次的探究。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆