Linear and Nonlinear Inverse Problems for Parabolic Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Brill Academic Pub

作者:Kozhanov, A. I.

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:

价格:161

装帧:HRD

isbn号码:9789004154216

丛书系列:

图书标签:

• Inverse Problems
• Parabolic Equations
• Nonlinear Analysis
• Functional Analysis
• Numerical Analysis
• Regularization
• Well-Posedness
• PDEs
• Mathematical Physics
• Optimization

现代物理与工程中的跨学科前沿：数值分析、数据同化与不适定问题求解 本书深入探讨了现代科学与工程领域中一类核心的挑战——不适定逆问题（Ill-posed Inverse Problems）。这些问题广泛存在于从地球物理勘探、医学成像到金融建模和流体力学等多个学科中。与经典数学中数据精确、模型完备的适定问题（Well-posed Problems）不同，逆问题通常表现出对输入数据中的微小扰动极其敏感，解的存在性、唯一性或稳定性无法得到保证。 本书的叙事线索聚焦于将理论框架、数值方法与实际应用紧密结合，旨在为读者提供一套系统的工具箱，用以处理和求解那些在数学上具有内在不稳定性但对实际决策至关重要的数学模型。 第一部分：逆问题的理论基础与模型构建 在深入探讨数值解法之前，本书首先奠定了坚实的理论基础。我们详细剖析了逆问题的数学本质，特别是其与偏微分方程（PDEs），尤其是抛物型方程（Parabolic Equations，尽管本书核心不涉及其逆问题，但我们会从其相关的适定性理论出发进行对比和引入），在正问题（Forward Problem）中的联系。 1. 适定性与不适定性分析： 严格阐述了Hadamard对适定性的三要素定义。随后，我们通过分析算子理论（Operator Theory），特别是边界积分算子在积分方程形式下的性质，揭示了逆问题通常对应于具有紧凑支撑或低秩结构的线性算子 $mathcal{A}$ 的逆 $mathcal{A}^{-1}$，该逆通常是不连续的，从而导致解的不稳定性。我们使用谱分解（Spectral Decomposition）的概念，清晰地展示了高频分量在反演过程中如何被不成比例地放大，这是不适定的根源。 2. 问题的正则化视角： 逆问题的核心在于“正则化”（Regularization）。本书详细介绍了Tikhonov正则化的数学原理及其在实际中的应用。我们推导了标准Tikhonov泛函的变分形式，并探讨了正则化参数 $lambda$ 的选择至关重要性。参数的选择是在“拟合数据”和“保持解的平滑性”之间进行精妙权衡的过程。我们引入了L曲线（L-Curve）分析法，作为一种诊断最优正则化参数的实用工具，并从统计学的角度探讨了正则化对模型误差和数据误差的联合影响。 3. 随机过程与贝叶斯框架： 超越了经典的频率域或范数约束方法，本书引入了更强大的概率性视角。我们将逆问题解释为一个贝叶斯推断问题。在这一框架下，先验信息（Prior Information）被明确地编码为先验概率分布，而观测数据则通过似然函数（Likelihood Function）引入。我们详细探讨了如何利用马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法（如Metropolis-Hastings算法），从后验分布中抽取统计学上有意义的解集，而非仅仅一个点估计。这对于量化解的不确定性至关重要。 第二部分：高效的数值方法与优化技术 理论框架确立后，本书的重点转向如何高效、稳定地计算这些逆问题的数值解。 4. 迭代反演算法： 对于大型稀疏系统，直接求解或通过矩阵求逆是不可行的。我们转向迭代方法，重点分析了基于梯度下降的算法在正则化问题中的收敛性。特别地，我们深入研究了迭代收缩阈值算法（Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm, ISTA）及其加速版本（FISTA），这些方法在处理L1范数正则化（Lasso问题）时表现出色，是稀疏表示和压缩感知（Compressed Sensing）理论的数值基石。 5. 矩阵代数与子空间方法： 对于线性逆问题，当数据矩阵 $mathcal{A}$ 是病态的（Ill-conditioned）时，我们利用截断奇异值分解（Truncated Singular Value Decomposition, TSVD）来稳定解。本书详细论述了如何确定截断的秩 $k$，以及TSVD与谱截断正则化的内在联系。此外，我们探讨了Krylov子空间方法（如GMRES和Lanczos方法）在求解大规模正则化系统时的优势，它们通过在低维子空间内寻找近似解，有效规避了直接矩阵求逆的数值不稳定。 6. 全局优化与非线性反演： 许多实际问题被建模为非线性逆问题（例如，通过非线性算子 $mathcal{F}(mathbf{m}) = mathbf{d}$）。我们探讨了牛顿法在非线性反演中的应用，特别是如何有效地计算伴随算子（Adjoint Operator）和雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的乘积，这通常涉及求解相关的正问题或伴随问题。针对目标函数可能存在的多个局部极小值，我们介绍了全局优化策略，例如模拟退火（Simulated Annealing）和遗传算法（Genetic Algorithms），用于跳出局部陷阱，搜索更具物理意义的全局最优解。 第三部分：数据驱动与高维挑战 本书最后一部分展望了现代计算科学中对大规模、高维数据处理的需求，以及机器学习方法在逆问题求解中的新兴角色。 7. 深度学习作为正则化器： 我们探讨了深度神经网络（DNNs）作为一种强大的、数据驱动的隐式正则化工具。在特定应用场景下，训练好的网络可以学习到先验知识的复杂结构，从而在反演过程中提供比传统范数约束（如L2或L1）更精细的约束。我们分析了深度反演网络（Deep Inversion Networks）的架构设计，并讨论了如何将经典的优化算法（如梯度下降）嵌入到网络训练过程中，实现“可解释的”深度学习反演。 8. 分布式计算与并行化： 面对海量数据和复杂的模型（例如全波形反演），计算资源的限制成为了瓶颈。本书最后简要介绍了用于加速大规模逆问题迭代求解的域分解方法（Domain Decomposition Methods）和预条件子技术（Preconditioning Techniques），强调了现代高性能计算（HPC）环境对解决尖端科学和工程逆问题的支撑作用。 本书的整体风格旨在将严谨的数学推导与实际问题的工程需求相结合，为研究生、研究人员及在工程实践中面临不适定问题挑战的专业人士提供一份全面的、前沿的参考指南。

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