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出版者:McGraw-Hill College

作者:Barnett, Raymond A./ Ziegler, Michael R./ Byleen, Karl E.

出品人:

页数:1192

译者:

出版时间:2007-2

价格:$ 205.66

装帧:HRD

isbn号码:9780073312637

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

高等代数：理论与应用 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的高等代数知识体系，深入探讨代数结构、矩阵理论、向量空间以及线性变换等核心概念。本书不仅强调理论的严谨性，更注重其在科学、工程、计算机科学等多个领域的实际应用。 第一部分：数系与基本代数结构 本书首先从数系的基础出发，系统回顾并拓展了实数和复数的性质。我们将详细阐述复数的几何解释，代数形式与三角形式之间的转换，以及德莫弗定理的应用。 在此基础上，本书将引入更广阔的代数结构概念。我们将深入探讨群论的基础，包括群的定义、子群、陪集、拉格朗日定理及其在密码学中的初步应用。随后，我们将转向环论，定义环、理想、域，并详细分析多项式环的性质，特别是整环和域的结构。伽罗瓦理论的引入将展示代数方程解的深刻联系，虽然本书不会深入到伽罗瓦理论的全部细节，但会构建理解域扩张的基础。 第二部分：线性代数的核心——向量空间 线性代数是现代数学的基石之一。本书将向量空间定义为具有加法和标量乘法运算的集合，并严格证明其满足八条公理。我们将重点分析 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$ 上的标准向量空间，并引入抽象向量空间的例子，例如函数空间 $C[a, b]$ 和多项式空间 $P_n(x)$，以此拓宽读者的思维边界。 子空间的概念随后被引入，包括生成子集、线性组合和线性无关性。我们将严格区分线性相关与线性无关，并引入基（Basis）和维数（Dimension）的概念。维数的证明将基于基的选择性和唯一性，展示其作为向量空间“大小”的度量方式的内在一致性。 第三部分：线性变换与矩阵表示 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本书将从函数角度定义线性变换 $T: V o W$，并证明其保持向量加法和标量乘法。我们将探讨线性变换的核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range），以及维度定理（Rank-Nullity Theorem）在统一概念中的重要性。 矩阵作为线性变换在特定基下的表示，是计算的核心工具。本书将详细讲解矩阵乘法的定义如何对应于线性变换的复合，以及矩阵的初等行变换如何实现基的转换。我们将深入研究矩阵的秩，以及它与线性方程组解集的紧密联系。 第四部分：线性方程组的求解 求解线性方程组是线性代数最直接的应用。本书将系统介绍高斯消元法和高斯-约旦消元法，并从矩阵的角度分析解的存在性与唯一性：零空间（Null Space）决定了齐次方程的非零解的存在，而增广矩阵的结构决定了非齐次方程的解集。 我们将进一步讨论矩阵的逆、初等矩阵以及矩阵的LU分解。LU分解不仅是求解大规模方程组的高效方法，也是数值分析中的重要预处理技术。 第五部分：行列式——矩阵的内在属性 行列式作为与方阵相关联的标量值，蕴含了大量关于矩阵结构的信息。本书将从置换和逆序对的定义出发，严谨推导出行列式的性质，包括行列式与矩阵乘法、转置的关系，以及如何利用行变换计算行列式。 我们将重点研究行列式在以下方面的应用：克莱默法则（Cramer's Rule）作为理论工具的展示，以及行列式为零性与矩阵可逆性的等价关系证明。 第六部分：特征值与特征向量 特征值和特征向量揭示了线性变换在特定方向上仅进行伸缩而不改变方向的本质。我们将定义特征方程，并详细介绍求特征值和特征向量的算法。 本书的重点将放在对角化上。我们将探讨矩阵可对角化的充要条件（即代数重数等于几何重数），并阐述对角化在矩阵幂运算 $A^k$ 和动力系统中的巨大威力。对于不可对角化的矩阵，我们将引入若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的概念，作为对角化理论的自然延伸，用以处理更一般的线性变换。 第七部分：内积空间与正交性 为了在抽象向量空间中引入长度、角度和投影等几何概念，本书引入了内积的概念。我们将分析实内积和复内积（共轭转置），并基于内积定义范数和正交性。 正交基的构建是本章的核心。我们将详细介绍施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，用于将任意向量组转化为一组正交基。随后，我们将讨论正交补空间，以及投影定理在最小二乘问题中的关键作用，这在数据拟合和回归分析中至关重要。 第八部分：对称矩阵与二次型 对于实对称矩阵，我们将证明其特征值都是实数，且存在一组正交特征向量作为基（谱定理）。这一强大结论使得对称矩阵在物理学和优化问题中具有特殊地位。 本书将利用正交对角化来分析二次型。我们将展示任意二次型都可以通过坐标旋转转化为规范形，并引入正定、半正定矩阵的概念，这些概念是优化问题中二阶条件判断的基础。 本书特色： 1. 深度融合理论与计算： 每引入一个抽象概念，都配有具体的 $mathbb{R}^n$ 上的计算实例。 2. 应用导向： 包含大量与图论、信息论（如奇异值分解SVD的初步介绍）、微分方程基础解法等领域的联系。 3. 严谨的证明结构： 遵循数学的逻辑链条，确保读者对核心定理的理解建立在坚实的逻辑基础之上。 适合读者： 学习微积分或分析学后，希望为深入研究数学、物理、工程、计算机科学（特别是机器学习和数据分析）打下坚实代数基础的学生和专业人士。

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