Computing the Continuous Discretely pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Matthias Beck

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:2007-07-01

价格:USD 49.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387291390

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

美國
數學
计算数学
离散数学
数值分析
算法
计算机科学
科学计算
数学建模
连续数学
离散化方法
计算方法

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具体描述

This textbook illuminates the field of discrete mathematics with examples, theory, and applications of the discrete volume of a polytope. The authors have weaved a unifying thread through basic yet deep ideas in discrete geometry, combinatorics, and number theory. We encounter here a friendly invitation to the field of "counting integer points in polytopes", and its various connections to elementary finite Fourier analysis, generating functions, the Frobenius coin-exchange problem, solid angles, magic squares, Dedekind sums, computational geometry, and more. With 250 exercises and open problems, the reader feels like an active participant.

理论物理与数学：在无限与有限之间的探寻本书深入探讨了现代物理学与数学领域中，关于“连续性”与“离散性”这对核心概念的深刻关联与复杂张力。它并非专注于计算特定离散系统，而是着眼于构建连接连续理论框架与实际观测数据之间的桥梁，尤其侧重于如何利用离散化的方法来理解和求解本质上是连续的问题。第一部分：连续统的基石与极限的语言本卷伊始，我们将追溯微积分在物理学中的奠基性作用。我们将详细考察微分几何在描述时空结构中的核心地位，特别是黎曼几何在广义相对论中的数学语言构建。重点不在于重复已知的公式推导，而在于剖析连续性假设在理论建构中所隐含的哲学与物理前提。例如，在连续介质力学中，我们如何从分子层面的离散相互作用，过渡到宏观上可描述的应力张量和流体动力学方程？这部分将通过对经典场论（如电磁场、引力场）的再审视，强调对连续场方程的解的正则性的严格要求。我们随后将深入分析泛函分析在处理无限维空间中的重要性。薛定谔方程、狄拉克方程等量子力学核心方程，其解空间是希尔伯特空间——一个典型的连续结构。本书将探讨在这些空间中，如何处理算符的谱理论，以及谱在物理上的意义——即可观测量的取值往往是离散的（本征值）。这涉及对拓扑结构的深入理解，以及如何通过拓扑不变量来区分不同物理状态。连续的波函数与离散的能量本征值之间的张力，是理解量子现象的关键。第二部分：离散化：从网格到信息理论物理的挑战在于，我们最终需要用有限的资源（计算、实验测量）来验证和应用这些连续理论。因此，离散化并非仅仅是数值计算的手段，它更是一种深刻的认识论工具。本章将详细考察离散动力学系统的构建。不同于直接求解偏微分方程，我们关注的是如何构造保持原连续系统关键特征（如守恒律、对称性）的离散近似。例如，在数值相对论中，如何将爱因斯坦场方程转化为有限差分或有限元形式，同时保证时间演化的稳定性和空间近似的精度？这需要对离散算子的谱结构进行细致分析，以确保离散化过程不会引入不自然的（非物理的）模式。信息论在现代物理中的崛起，为我们提供了理解“离散”的新视角。我们将探讨量子信息论的基础，特别是纠缠、熵的概念如何挑战了我们对连续性物理实在的直觉。例如，如何用量子比特（离散变量）来描述连续的物理系统？卡茨-冯·诺依曼熵如何与热力学熵关联，而热力学熵本质上是统计力学中对大量微观离散态的宏观统计？第三部分：晶格、格点与规范场本书将重点剖析格点场论（Lattice Field Theory）在粒子物理中的应用。在强相互作用（QCD）的研究中，我们必须将闵可夫斯基时空进行空间上的离散化，即构建一个四维格点。然而，处理这个离散系统以恢复连续时空下的物理结果（如强子的质量谱）是一个极具挑战性的数学任务。我们将深入讨论西蒙斯旋转（Wick Rotation）在其中扮演的关键角色，它如何将欧几里得（实时间）格点场论与洛伦兹（复时间）理论联系起来。讨论的焦点在于“连续极限”的恢复：当我们让格点间距趋近于零时，有限截断引入的误差如何收敛，以及这种收敛过程所依赖的重整化群的数学结构。重整化群本身就是一套描述物理系统在不同尺度下（即不同程度的离散化下）行为变换的理论。第四部分：几何的离散化与拓扑的维护最后，本书将探讨离散化如何被用来研究拓扑现象。在凝聚态物理中，拓扑绝缘体的研究展示了离散的晶格结构如何能产生出在连续能带理论中难以解释的拓扑不变量（如陈数）。这些不变量是定义系统特性的本质属性，它们对局部的微小扰动具有鲁棒性。我们将考察计算机代数几何（Computational Algebraic Geometry）在分析连续系统近似中的潜在用途。例如，在求解复杂非线性偏微分方程组时，方法的选择（如有限元法、谱方法）实质上是在连续解空间上构建了不同的、但彼此关联的离散逼近子空间。这些方法的优劣，取决于它们对原连续系统内在几何结构的忠实程度。本书旨在为读者提供一个跨越纯数学、计算科学与理论物理的综合视角，理解连续性描述并非终极真理，而是特定尺度和能量下对更深层、可能更离散的实在的一种有效近似。它着重于分析“从连续到离散”和“从离散到连续”转换过程中的数学严谨性与物理意义的保持。