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《高等代数基础与应用》 图书简介 作者： 史蒂文·J·米勒 约翰·D·罗伯茨 出版社： 环球学术出版社 出版日期： 2023年9月 ISBN： 978-1-64598-776-2 --- 内容概述： 《高等代数基础与应用》是一本专为初次接触高等数学，尤其是那些需要在工程学、物理学、经济学及计算机科学领域打下坚实数学基础的理工科及商科学生设计的权威教材。本书旨在超越传统微积分预备课程的范畴，深入探讨线性代数、复数系统、矩阵理论、多项式理论以及离散数学的初步概念，为学生未来学习更高级的数学分支（如线性代数、抽象代数、微分方程等）做好充分的准备。 本书的编排逻辑严谨，从最基础的集合论和逻辑推理开始，逐步过渡到代数结构的核心概念。我们特别强调理论与实际应用的紧密结合，力求在抽象概念的阐述中，始终辅以大量的、贴近现代科学研究和工程实践的具体案例。 第一部分：代数基础的巩固与拓展 本部分着重于对高中代数知识的系统性回顾与深化，并引入高等数学所需的关键工具。 第一章：预备知识与逻辑基础 本章详细回顾了实数、有理数和无理数的性质，强调了数学归纳法在证明中的核心作用。我们引入了严谨的命题逻辑和集合论基础，包括集合的运算、笛卡尔积以及函数（映射）的精确定义，为后续所有数学对象的讨论奠定坚实的语言基础。 第二章：复数系统与代数几何入门 我们从实数域的完备性出发，构建复数域 $mathbb{C}$。详细讲解复数的四种表示形式（代数式、极坐标式、指数形式），并深入探讨棣莫弗定理及其在根式计算中的应用。本章引入了二维和三维空间中的点和向量，通过距离公式和中点公式，为后续的线性代数学习做好了几何直觉上的准备。 第三章：多项式理论与有理函数 本章聚焦于一元多项式的结构。内容涵盖多项式的加减乘除、余数定理和因子定理。重点解析代数基本定理及其推论，讨论多项式的根（实根与复根）的存在性与性质。此外，详细介绍了有理函数的性质、零点、极点以及多项式长除法和综合除法在简化表达式中的应用。 第二部分：线性代数的核心概念 本部分是全书的重点，旨在提供对线性系统、向量空间和矩阵运算的直观理解。 第四章：线性方程组与矩阵代数 本章以线性方程组的求解为起点，引入矩阵这一核心工具。详细讲解矩阵的加法、数乘、乘法（强调非交换性）以及矩阵的转置。着重介绍求解线性系统的方法，包括高斯消元法和行阶梯形的构建。本章还引入了矩阵的秩和线性相关性的概念。 第五章：逆矩阵与行列式 本章深入探讨矩阵的逆矩阵及其唯一性。详细讲解求解逆矩阵的几种方法，包括伴随矩阵法和初等矩阵法。随后，引入行列式的概念，推导其基本性质（如乘法性质和代数余子式展开）。行列式被应用于判断线性系统的唯一解性（克莱默法则）。 第六章：向量空间与子空间 本章是理论提升的关键。首次引入抽象的向量空间定义，并给出 $mathbb{R}^n$ 上的具体实例。深入探讨子空间、生成（张成）集合、基（Basis） 和维数（Dimension） 的概念。重点讲解行空间、列空间和零空间之间的关系，以及基变换对坐标表示的影响。 第三部分：线性变换与特征值问题 本部分将代数运算提升到函数变换的层面，并处理动态系统中最关键的特征值问题。 第七章：线性变换 本章将矩阵视为一种线性变换（Linear Transformation） 的表示。详细分析线性变换的性质，包括核（Kernel） 和像（Range），并利用秩-零化度定理将线性变换的理论与矩阵的性质紧密联系起来。 第八章：特征值与特征向量 这是解决微分方程和动力学系统问题的基石。本章详细讲解如何求解特征多项式，确定特征值和特征向量。深入探讨特征值问题的几何意义，并介绍相似矩阵的概念。本章的最后，我们将简要介绍对角化（Diagonalization）在线性系统稳定性分析中的初步应用。 第九章：正交性与最小二乘法 本章引入内积空间的概念，定义正交和规范正交基。着重讲解施密特正交化过程，这是数值计算和数据分析中的重要工具。最后，将这些概念应用于解决超定系统（即方程多于未知数的情况），通过最小二乘法找到最佳近似解。 本书特色： 1. 概念驱动，应用导向： 每章均以实际应用场景（如电路分析、数据拟合、经济模型）引入抽象概念，确保学生理解“为什么学”和“如何用”。 2. 丰富的例题与习题： 包含数百个精心设计的例题，覆盖基础计算到复杂理论证明。每节末尾均设有“检验你的理解”小测验，便于即时反馈。 3. 计算工具集成： 鼓励使用计算软件（如MATLAB, Python/NumPy）来验证复杂的矩阵运算和求解过程，培养现代科学计算能力。 4. 清晰的数学证明： 在确保可读性的前提下，为关键定理提供了详细且严谨的证明步骤，帮助学生建立严密的数学思维。 《高等代数基础与应用》是为下一阶段的专业学习铺设坚实桥梁的理想选择，确保每一位学生都能以自信和深入的理解迈向更高阶的数学殿堂。
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