Mathematical Aspects of Nonlinear Dispersive Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Bourgain, Jean (EDT)/ Kenig, Carlos E. (EDT)/ Klainerman, S. (EDT)

出品人:

页数:310

译者:

出版时间:2007-6

价格:$ 71.13

装帧:Pap

isbn号码:9780691129556

丛书系列:Annals of Mathematics Studies

图书标签:

• 数学
• 数学
• 非线性
• 色散方程
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 调和分析
• 动力系统
• 数值分析
• 应用数学
• 常微分方程

专题研讨会论文集：非线性偏微分方程的最新进展 内容提要 本论文集汇集了近年来在非线性偏微分方程（PDEs）领域最具创新性和影响力的研究成果。聚焦于理论分析、数值方法以及物理应用的前沿交叉地带，本书为数学家、物理学家、工程师以及相关领域的研究人员提供了一个全面而深入的视角。探讨的主题横跨多个核心领域，包括但不限于：非线性椭圆型方程的正则性和奇性分析、具有耗散和色散效应的演化方程的长期行为、随机性在非线性系统中的作用，以及新型数学工具在解决复杂物理模型中的应用。 本书的特点在于其内容的广度和深度，强调了现代分析技术，如微局部分析、调和分析工具（特别是傅里叶积分算子理论）在处理高阶非线性项和复杂边界条件问题上的威力。同时，也收录了关于奇点形成、爆破现象的精细几何分析，以及在流体力学、凝聚态物理和广义相对论中出现的特定非线性方程的解的存在性与稳定性研究。 --- 第一部分：色散与耗散系统的演化动力学 本部分集中探讨了描述波传播和能量耗散的非线性演化方程。重点关注薛定谔方程的推广形式、KdV类方程的更高阶变体以及涉及到梯度结构（如Swift-Hohenberg方程）的系统。 第一章：高维非线性薛定谔方程的全局适解性与小数据奇性 本章深入研究了在强耦合非线性项（如分数阶拉普拉斯算子或更高次幂的非线性项）作用下的高维非线性薛定谔方程（NLSE）。分析的核心在于利用能量泛函的构造和临界指数的辨识，来确定小初值条件下解的全局存在性。特别地，我们详细考察了由复化指数项或梯度耦合项引入的非局部效应如何影响解的规范不变性以及在临界Sobolev空间 $dot{H}^s(mathbb{R}^d)$ 下的等距映射性质。章节采用了拟线性化技巧，将问题转化为形式上是线性但系数依赖于解的结构，从而应用更精细的调和分析技术来控制非线性项产生的误差项。对于涉及负指数的非线性项，探讨了其在强耦合作用下可能导致的非物理性奇点形成机制，并提出了基于几何平均速度估计的新方法来界定爆破时间。 第二章：非线性波方程中的能量渗透与多尺度相互作用 本章侧重于涉及色散和耗散项并存的非线性方程组，例如 Korteweg-de Vries (KdV) 与 Burgers 方程的混合模型，或涉及粘性项的非线性波动方程。我们关注能量在不同尺度成分之间的转移规律。通过傅里叶空间中的符号分析，我们揭示了耗散项如何抑制高频成分的增长，而色散项则如何维持或重构低频波包的相干性。本章引入了“能量重分布算子”的概念，用以量化系统在长时间演化中达到稳定或周期性状态的速率。对于具有强非线性项的系统，我们利用规范变换将原方程转化为形式上更简单的守恒系统，并借助 $mathrm{BKP}$ 层次结构分析其可积性条件与非可积性后果。 第三章：随机对流-扩散方程的遍历性与稳态解 本部分转向包含白噪声或有色噪声驱动的非线性对流-扩散系统。这通常出现在湍流模型或生物物理过程的建模中。我们重点分析了以下形式的方程：$partial_t u + u cdot abla u + mathcal{L} u = epsilon xi(t, x)$，其中 $mathcal{L}$ 是一个非局部扩散算子，$xi$ 是噪声项。本章的核心贡献在于证明了在特定噪声强度下，系统解的概率分布（或弱解的随机演化路径）收敛到唯一的平稳分布（遍历性）。分析方法结合了随机偏微分方程（SPDEs）中的Malliavin微积分和遍历性理论中的Lyapunov函数构造法。特别地，对于涉及 $Delta^2 u$ 形式的高阶扩散项，我们利用其带来的更强正则性来简化对路径积分的估计。 --- 第二部分：椭圆型与拟线性系统的正则性与奇点 本部分聚焦于平衡态或稳态问题的数学结构，主要涉及非线性椭圆型方程的正则性理论，以及在极端条件下解的局部性质（如爆破和边界层）。 第四章：具有临界指数非线性项的椭圆型方程的先验估计 本章考察了形如 $-Delta u + g(u) = f$ 的非线性椭圆方程，其中 $g(u)$ 是一个临界次幂的非线性函数（例如 $g(u)=|u|^{p-1}u$ 且 $p$ 接近 Sobolev 临界值）。我们应用 Gidas-Ni-Segel 型的对称性破缺原理，结合 “截断函数法”（Moser’s iteration technique）来建立解的先验 $L^infty$ 估计。一个关键的创新点在于，我们成功地构造了一种新的边界值函数，该函数能够更好地耦合内部的非线性增长和外部的源项 $f$，从而在更高维度上突破了传统方法的限制。此外，本章还探讨了在非凸能量泛函下，是否存在非平凡的、非孤立的鞍点解。 第五章：非均匀介质中界面问题的自由边界条件分析 本章研究了涉及界面或相变的非线性椭圆系统，例如描述合金凝固或磁性翻转的Stefan型问题。关键挑战在于自由边界的运动由解本身的性质（如温度梯度或磁化强度）决定。我们采用了 “运动的几何测度理论” (Geometric Measure Theory for Evolving Interfaces) 来定义和处理解的弱梯度。通过对该系统的梯度流的分析，我们证明了在满足一定局部正则性条件下，界面光滑演化的充分条件。对于欧拉-拉格朗日混合描述的界面问题，本章发展了一种新的粘性解法，该方法通过引入一个依赖于界面曲率的“表面张力项”来保证解的唯一性。 第六章：非线性泊松方程中孤立奇点的拓扑特性 本章聚焦于在源项 $f$ 具有奇性或解 $u$ 自身在有限点集上发散的情况。研究对象包括 $Delta u = u^p$ 在 $mathbb{R}^2$ 上的有限时间爆破解以及在多孔介质方程中出现的压力奇点。我们运用 “局部重标度” 技巧，将奇点附近的解映射到 $mathbb{R}^d$ 上的一个局部动力系统，从而分析奇点点的局部拓扑结构。通过利用“击穿不等式”（Blow-up Inequality），我们确定了在不同维数下，奇点集是否可以由特定的函数族（如自相似解）来近似，并对这些近似解的稳定性进行了线性化分析。 --- 第三部分：现代分析工具与物理模型的耦合 本部分关注于将先进的数学工具（如微局部分析和调和分析）应用于具体的、具有挑战性的物理模型。 第七章：非线性流体力学中的弱解与能量耗散 本章分析了二维和三维可压缩 Navier-Stokes 方程（或其对偶的非线性对流项）中的弱解。重点在于证明在缺乏 $mathbb{R}^3$ 中能量守恒的严格意义下，解的粘性项（耗散项）确实负责能量的最终耗散。我们利用 “Bony 乘积分解” 理论来精确分离对流项和压力项的相互作用，并证明了在 $L^3$ 范数意义下，非线性项的“平滑化”效果，从而保证了在 $L^2$ 范数下的能量演化是适定的。对于涉及非牛顿流体（如幂律流体）的模型，我们发展了处理非局部应力张量的积分方程方法，以绕过经典黎卡提方程的限制。 第八章：广义相对论中的 Penrose 结构与奇点定理的非线性推广 本章从数学物理的角度出发，研究了爱因斯坦场方程在某些简化模型（如爱因斯坦-麦克斯韦方程）下的解的性质。核心是通过引入新的 “曲率控制函数” 来重述 Penrose 奇点定理，将其从半黎曼流形推广到具有非线性边界条件的 Finsler 几何框架下。我们着重分析了在奇异时空中，类光锥（Null Cones）的演化如何受到物质能量张量非线性的影响。通过构造适当的共形因子，我们将几何演化方程转化为一个规范不变的演化系统，从而更容易地分析其对奇点形成的敏感性。 第九章：量子场论中的非线性势模型与散射理论 本章探讨了在非线性势场（如 $phi^4$ 理论或势相关的薛定谔方程）中，如何构建稳健的散射理论。标准方法往往依赖于线性化近似，但本章旨在处理强相互作用的极限情况。我们利用“粘性方法”（Viscosity Method）来处理非线性项产生的非线性势阱，证明了在特定条件下，散射波被成功地定义，且散射矩阵（S-matrix）的元素可以被有效计算。关键在于，我们展示了如何利用 “时间切片方法”，将无穷远处的渐近行为与近场中的非线性耦合有效地分离，从而建立了精确的散射公式。 --- 结论 本论文集体现了非线性偏微分方程研究领域在方法论上的深刻变革。通过对这些前沿工作的系统梳理与深入剖析，我们期望能激发更多跨学科的合作，特别是在利用高阶调和分析工具解决物理模型中的核心难题方面。本书是向着完全理解和精确控制复杂非线性现象迈出的坚实一步。

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